Voir la source de Somme de Gauss

{{Voir homonymes|Somme}}
{{Confusion|Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers{{!}}la méthode de Gauss pour calculer la somme des n premiers entiers}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[arithmétique modulaire]], une '''somme de Gauss''' est un [[nombre complexe]] dont la définition utilise les outils de l'[[analyse harmonique sur un groupe abélien fini]] sur le [[corps fini]] [[Anneau Z/nZ|ℤ/''p''ℤ]] où ''p'' désigne un [[nombre premier]] impair et ℤ l'ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]].

Elles ont été introduites par le mathématicien [[Carl Friedrich Gauss]] dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', parues en [[1801 en science|1801]].

{{refnec|date=mai 2011|Elles sont utilisées dans la théorie des [[polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]] et possèdent de nombreuses applications.}} On peut citer par exemple une démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]].

== Définition ==
Dans cet article, ''p'' désigne un nombre premier impair, '''F'''<sub>''p''</sub> le [[corps fini]] ℤ/''p''ℤ et '''F'''<sub>''p''</sub>* le [[groupe des unités|groupe multiplicatif de ses éléments non nuls]].

{{énoncé|Soit ψ un [[caractère d'un groupe fini|caractère]] du [[groupe abélien fini|groupe additif]] ('''F'''<sub>''p''</sub>, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif ('''F'''<sub>''p''</sub>*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté ''G''(χ, ψ) et défini par :
<center><math>G(\chi,\psi)=\sum_{x\in\mathbb F_p^*}\chi(x)\psi(x).</math></center>
}}

En termes de [[transformée de Fourier]], on peut considérer l'application qui à χ associe ''G''(χ{{-1}}, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à '''F'''<sub>''p''</sub> par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe ''G''(χ{{-1}}, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à '''F'''<sub>''p''</sub>*.

== Propriétés ==
L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples.

{{énoncé|
*Si ''m'' est un entier [[nombres premiers entre eux|premier à]] ''p'', alors<center><math>G(\chi,\psi^m)=\frac1{\chi(m)}G(\chi,\psi).</math></center>
*Si les deux caractères χ et ψ sont non [[Trivial|triviaux]] — c'est-à-dire non constamment égaux à 1 — alors<center><math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\chi(-1)p.</math></center>
}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
* '''Si ''m'' est un entier premier à ''p'', alors'''<center><math>G(\chi,\psi^m)=\frac1{\chi(m)}G(\chi,\psi).</math></center>En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :<center><math>G(\chi,\psi^m)=\sum_{k\in\mathbb F_p^*}\chi(k)\psi(mk).</math></center>Par le changement de variable ''u'' = ''mk'', on a donc bien :<center><math>G(\chi,\psi^m)=\sum_{u\in\mathbb F_p^*}\chi(m)^{-1}\chi(u)\psi(u)=\frac1{\chi(m)}G(\chi,\psi).</math></center>
*'''Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux, alors'''<center><math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\chi(-1)p.</math></center>En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :<center><math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\sum_{k,l\in\mathbb F_p^*}\chi (k)\psi(k)\chi(l)^{-1}\psi(l)=\sum_{k,l\in\mathbb F_p^*}\chi(kl^{-1}) \psi(k+l).</math></center>Par le changement de variable ''u'' = ''kl''{{-1}}, on obtient :<center><math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\sum_{u\in F_p^*} \chi (u)\left(-1+\sum_{l\in \mathbb F_p}\psi((u+1)l)\right).</math></center>Or la [[Caractère d'un groupe fini#L'espace hermitien ℂG|somme des valeurs du caractère]] additif ''l'' ↦ ψ((''u'' + 1)''l'') est nulle sauf lorsque ce caractère est trivial, c'est-à-dire lorsque ''u'' = –1. On en déduit :<center><math>G(\chi, \psi)G(\chi^{-1},\psi)=\left(-\sum_{u\in\mathbb F_p^*}\chi (u)\right)+\chi(-1)p.</math></center>De même, la somme des valeurs du caractère multiplicatif non trivial {{math|χ}} est nulle, ce qui termine la démonstration.
{{Démonstration/fin}}

Cette seconde propriété possède le [[corollaire (mathématiques)|corollaire]] immédiat suivant :

{{énoncé|Si μ(''a'') désigne le [[symbole de Legendre]] (''a''/''p'') — égal à 1 si ''a'' est un carré dans '''F'''<sub>''p''</sub>* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial,<center><math>G(\mu,\psi)^2=\left(\frac{-1}p\right) p.</math></center>}}

== Applications ==
=== Loi de réciprocité quadratique ===
{{Article détaillé|Loi de réciprocité quadratique}}
La loi s'exprime de la manière suivante si ''q'' est aussi un nombre premier impair, distinct de ''p'' :
<center><math>\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}.</math></center>

{{Démonstration|contenu=
Soit ψ un caractère additif non trivial de '''F'''<sub>''p''</sub>. Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). L'[[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|anneau ℤ[ω]]] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de τ{{exp|''q''–1}} dans l'[[anneau quotient]] ℤ[ω]/''q''ℤ[ω]. La [[formule du binôme de Newton]] et les diviseurs des [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] montrent que modulo ''q'',
<center><math>\tau^q\equiv\sum_{x\in\mathbb F_p^*}\mu(x)^q\psi(x)^q=\sum_{x\in\mathbb F_p^*}\mu(x)\psi^q(x)=G(\mu,\psi^q).</math></center>
Or la première des deux [[#Propriétés|propriétés des sommes de Gauss]] montre que
<center><math>G(\mu,\psi^q)=\mu(q)^{-1}\tau=\left(\frac qp\right)\tau</math></center>
et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que
<center><math>\tau^{q-1}=\left(\tau^2\right)^{\frac{q-1}2}=\left((-1)^{\frac{p-1}2}p\right)^{\frac{q-1}2}=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}p^{\frac {q-1}2}\equiv(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}\left(\frac pq\right)\pmod q.</math></center>
On en déduit la congruence :
<center><math>(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}\left(\frac pq\right)\equiv\left(\frac qp\right)\pmod q.</math></center>
Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est [[Inverse modulaire|inversible mod ''q'']], cette congruence est une égalité.
}}

=== Somme quadratique de Gauss ===
{{article détaillé|somme quadratique de Gauss}}
{{énoncé|Pour toute [[Racine de l'unité|racine ''p''-ième de l'unité]] ω différente de 1, avec ''p'' premier
<center><math>\left(\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k^2}\right)^2=\left(\frac {-1}p\right) p.</math></center>}}

{{Démonstration|contenu=
Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, ''H'' le sous-groupe du groupe multiplicatif '''F'''<sub>''p''</sub>* composé des [[résidu quadratique|résidus quadratiques]] de '''F'''<sub>''p''</sub>*, ''P''<sub>1</sub> la somme des valeurs de ψ sur ''H'' et ''P''<sub>2</sub> la somme des valeurs de ψ sur le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] de ''H'' dans '''F'''<sub>''p''</sub>*. L'application de '''F'''<sub>''p''</sub>* dans ''H'' qui à tout élément associe son carré est une application [[surjective]] telle que toute image admet exactement deux [[Antécédent (mathématiques)|antécédents]] ; en conséquence :
<center><math>\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k^2}=1+\sum_{x\in \mathbb F_p^*}\psi(x^2)=1+2P_1.</math></center>
Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du [[#Propriétés|§ « Propriétés »]] — la somme 1 + ''P''{{ind|1}} + ''P''{{ind|2}} de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure :
<center><math>\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k^2}=1 + 2 P_1=-P_2+P_1=G(\mu,\psi).</math></center>
Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration.
}}

Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes [[à quelque chose près|au signe près]] pour ''tout'' entier ''n'' > 0 :
<center><math>\sum_{k=0}^{n-1}\exp\left(\frac{2\pi{\rm i}k^2}n\right)=\begin{cases}(1+{\rm i})\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv0\mod 4\\\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv1\mod 4\\0&{\rm si}\ n\equiv2\mod 4\\{\rm i}\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv3\mod 4,\end{cases}</math></center>
[[Conjecture|conjecturant]] alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = {{math|exp(2πi/''n'')}}, et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Edwards]]|titre=Fermat's Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=50|année=2000|numéro d'édition=3|pages totales=407|passage=360|isbn=978-0-387-95002-0|lire en ligne={{Google Livres|_IxN-5PW8asC|page=360}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} [[Henry John Stephen Smith]], « Report on the theory of numbers, Part I », 1859, réimpr. en 1984 dans ''The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith'', [https://archive.org/stream/67319720_001#page/62/mode/2up Art. 20].</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Kenneth Ireland|auteur2=[[Michael Rosen (mathématicien)|Michael Rosen]]|titre=A Classical Introduction to Modern Number Theory|éditeur=Springer|collection=GTM|numéro dans collection=84|année=1990|numéro d'édition=2|réimpression=1998|pages totales=389|passage=73|isbn=978-0-387-97329-6|lire en ligne={{Google Livres|jhAXHuP2y04C|page=73}}}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Demazure1}}
* {{Serre1}}
* [[André Warusfel]], ''Structures algébriques finies'', Hachette, 1971
* Gabriel Peyré, ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'', [[Éditions Ellipses]], 2004 {{ISBN|978-2-72981867-8}}
=== Articles connexes ===
*[[Somme d'Eisenstein]]
*[[Somme exponentielle]]
* [[Théorème de Stickelberger]]

=== Liens externes ===
* [http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Recipro/node27.html Lemme sur la somme de Gauss] par C. Banderier de l'[[université Paris-XIII]], 1998
* [http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/harmonique/finis_commutatifs/pdf/fourier_groupe_fini.pdf Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs] par A. Bechata
* {{Ouvrage|prénom1=Bas|nom1=Edixhoven|lien auteur1=Bas Edixhoven|prénom2=Laurent|nom2=Moret-Bailly|titre=Théorie algébrique des nombres, cours de [[Maîtrise (France)|maîtrise]] de mathématiques|éditeur=[[université de Rennes 1]]|année=2004|isbn=|lire en ligne=http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf}}

{{Palette|Gauss}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse harmonique discrète]]
[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]
[[Catégorie:Entier quadratique]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]
[[Catégorie:Corps cyclotomiques]]