Voir la source de Somme de Riemann

{{ébauche|mathématiques}}
{{Confusion|Série de Riemann}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], les '''sommes de Riemann''' sont des [[somme (arithmétique)|sommes]] finies approchant des [[intégration (mathématiques)|intégrales]]. En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des [[Longueur d'un arc|longueurs d'arcs]], ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes. Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration. Leur nom vient du mathématicien allemand [[Bernhard Riemann]].

L'idée directrice derrière la construction des sommes revient à approcher la courbe par une [[fonction constante]] par morceaux, avec des valeurs choisies de sorte à approcher au mieux la fonction originelle, puis à additionner les aires des rectangles ainsi formés, et enfin réduire la largeur de ces rectangles. C'est la mise en application de l'[[intégrale de Riemann]]. 

== Définition du cas le plus usuel ==
{{multiple image
 | direction = vertical
 | width = 250
 | footer = Calcul d'une même intégrale, par la méthode des points médians, sur deux subdivisions : à pas constant et à pas variable. Les deux méthodes tendent vers la même valeur tant que le pas tend vers 0.
 | image1 = Riemann integral regular.gif
 | alt1 = 
 | caption1 = Avec pas constant.
 | image2 = Riemann integral irregular.gif
 | alt2 = 
 | caption2 = Avec pas variable.
}}

Soit <math>f:[a,b]\rightarrow\R</math> une [[fonction (mathématique)|fonction]] définie en tout point du [[Segment (mathématiques)|segment]] {{math|[''a'' , ''b'']}}. On se donne une [[Subdivision d'un intervalle|subdivision marquée]] {{math|''σ'' {{=}} (''a {{=}} x''{{ind|0}} < ''x''{{ind|1}} < ''x''{{ind|2}} < ... < ''x{{ind|n}} {{=}} b'' ; ''t{{ind|i}} ''∈ [''x''{{ind|''i ''– 1}}, ''x{{ind|i}}''] pour ''i'' {{=}} 1, … , ''n'')}}. La somme de Riemann de {{mvar|f}} sur {{math|[''a'' , ''b'']}} liée à {{mvar|σ}} est définie par : 

<center><math>S(f,\sigma) =\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(t_i).</math></center>

Si le pas de la subdivision {{mvar|σ}} tend vers zéro, alors la somme de Riemann générale converge vers <math>\int_a^b f(t)~\mathrm dt</math>. C'est d'ailleurs la définition originale  par Riemann de [[Intégrale de Riemann|son intégrale]]<ref>{{Lien web|url=https://web.archive.org/web/20070219061139/http://jf.burnol.free.fr/0506L312annexeRiemann.pdf|titre=Notes d'un cours}}reproduisant le texte de Riemann.</ref>.

Si, au lieu de demander que les sommes de Riemann convergent vers une limite {{mvar|L}} lorsque le pas est majoré par un nombre {{mvar|δ}} qui tend vers zéro, on demande que les sommes de Riemann puissent être rendues arbitrairement proches d'une valeur {{mvar|L}} lorsque {{math|''x{{ind|i}} ''–''x''{{ind|''i ''– 1}} ≤ δ(''t{{ind|i}}''), ''t{{ind|i}} ''∈ [''x''{{ind|''i ''– 1}}, ''x{{ind|i}}'']}}, avec {{mvar|δ}} une fonction strictement positive, on arrive au concept de l'[[intégrale de Kurzweil-Henstock]]. C'est une généralisation qui permet d'intégrer plus de fonctions, mais qui donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann.

;Cas particuliers

Certains choix de {{mvar|t{{ind|i}}}} sont plus répandus<ref>{{Demailly1}}</ref> :
* pour {{math|''t{{ind|i}} {{=}} x''{{ind|''i'' – 1}}}} pour tout {{mvar|i}}, on parle de '''méthode des rectangles à gauche'''
* pour {{mvar|t{{ind|i}} {{=}} x{{ind|i}}}} pour tout {{mvar|i}}, on parle de '''méthode des rectangles à droite'''
* pour {{math|''t{{ind|i}}'' {{=}} {{sfrac|1|2}}(''x''{{ind|''i'' – 1}} + ''x''{{ind|''i''}})}} pour tout {{mvar|i}}, on parle de '''méthode du point médian'''
* pour {{math|''f''(''t{{ind|i}}'') {{=}} sup {''f''(''t''), ''t{{ind|i}}'' ∈ [''x''{{ind|''i ''– 1}}, ''x{{ind|i}}'']}<nowiki/>}} pour tout {{mvar|i}}, on parle de '''somme de Riemann supérieure''' ou '''somme de Darboux supérieure'''
* pour {{math|''f''(''t{{ind|i}}'') {{=}} inf {''f''(''t''), ''t{{ind|i}}'' ∈ [''x''{{ind|''i ''– 1}}, ''x{{ind|i}}'']}<nowiki/>}} pour tout {{mvar|i}}, on parle de '''somme de Riemann inférieure''' ou '''somme de Darboux inférieure'''

Ces deux derniers cas constituent la base de l'[[intégrale de Darboux]].

Un cas couramment rencontré est celui d'une subdivision à pas constant : pour un entier {{math|''n'' > 0}} et une subdivision régulière
<center><math>x_k=a+k\frac{b-a}{n}\quad\text{avec}\quad 0\leq k\leq n,</math></center>

la somme de Riemann ({{refnec|la plus communément rencontrée}}) associée à {{mvar|f}} est alors :

<center><math>S_n(f)=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}n\right)=\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1}) f(x_k).</math></center>

Ces sommes de Riemann équidistantes sont celles de la [[Calcul numérique d'une intégrale#Formules du rectangle et du point milieu|méthode des rectangles (à droite)]] pour le calcul des intégrales ; leur intérêt principal vient du « théorème » suivant, qui est en réalité un cas particulier de la définition de l'intégrale de Riemann : si {{mvar|f}} est [[Intégrale de Riemann|intégrable au sens de Riemann]],

<center><math>\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n(f)=\int_a^bf(t)~\mathrm dt.</math></center>

{{Démonstration|titre=« Démonstration » dans le cas particulier d'une fonction continue|
La « démonstration » qui suit ''admet qu'une fonction continue sur un segment est intégrable'' et utilise les propriétés de l'intégrale suivantes :
* la valeur de l'intégrale d'une constante  : <math>\int_a^b C~\mathrm dx=(b-a)C,</math>
* la [[application linéaire|linéarité]] : <math>\int_a^b f(x)+Cg(x)~\mathrm dx=\int_a^b f(x)~\mathrm dx+C\int_a^b g(x)~\mathrm dx,</math>
* la [[relation de Chasles]] : <math>\int_a^b f(x)~\mathrm dx+\int_b^c f(x)~\mathrm dx=\int_a^c f(x)~\mathrm dx</math>
* la positivité de l'intégrale : si, pour tout {{mvar|x}} de l'intervalle {{math|[''a'' , ''b'']}}, on a {{math|''f''(''x'') ≥ 0}}, alors <math>\int_a^b f(x)~\mathrm dx \ge 0.</math>

En remarquant que 
<center><math>(x_k-x_{k-1})f(x_k)=\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)~\mathrm dt,</math></center>
on a
<center><math>(x_k-x_{k-1})f(x_k)-\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)\,\mathrm dt=\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t))~\mathrm dt</math></center>
puis 
<center><math>S_n(f)-\int_a^b f(t)~\mathrm dt=\sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}(f(x_k)-f(t))~\mathrm dt.</math></center>

Posons pour chaque {{math|''δ'' > 0}} : 

<center><math>\omega(\delta) = \sup\{|f(u)-f(t)|\;, a\leq u,t\leq b, |u-t|\leq\delta\}.</math></center>

On a ainsi :

<center><math>\left|S_n(f)-\int_a^b f(t)\,\mathrm dt\right|\leq \sum_{k=1}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}\omega\left(\frac{b-a}{n}\right)~\mathrm dt = (b-a)\omega\left(\frac{b-a}{n}\right).</math></center>

Le [[théorème de Heine]] affirme que {{mvar|f}} est uniformément continue sur le segment {{math|[''a'' , ''b'']}}, ce qui équivaut à dire que <math>\lim_{\delta\to 0^+} \omega(\delta) = 0</math>. La convergence des {{math|''S{{ind|n}}''(''f'')}} vers <math>\int_a^b f(t)~\mathrm dt</math> en résulte.
}}

Exemple : la somme de Riemann associée à la fonction <math>x \mapsto \sqrt{1-x^2}</math> sur une subdivision régulière de {{math|[0 ; 1]}} converge vers {{math|π/4}} :
{{retrait|<math>\frac{\pi}4=\int_0^1\sqrt{1-x^2}~{\rm d}x=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1-\left(\frac kn\right)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n\sqrt{n^2-k^2}.</math>}}

Du point de vue du [[Calcul numérique d'une intégrale|calcul numérique]] il est plus avantageux de considérer les sommes  ([[Calcul intégral#Calcul numérique d'une intégrale|méthode des trapèzes]]) :
<center><math>T_n=\frac{b-a}{n}\left(\frac12 f(a) + f\left(a+\frac{b-a}n\right) + \dots + f\left(a+(n-1)\frac{b-a}n\right) + \frac12f(b)\right),</math></center>
qui s'obtiennent en faisant la moyenne des méthodes des rectangles à gauche et à droite.

=== Applications ===

{{style|Une application des Sommes de Riemann est la [[Formule d'Euler-Maclaurin|formule sommatoire d'Euler-MacLaurin]], permettant notamment d'accélérer le calcul de limite de séries lentement convergentes.|date=12 avril 2020}}

Les sommes à pas variables ont aussi leur utilité dans les mathématiques, et ce dès le niveau lycée, comme le montre la méthode de [[John Wallis|Wallis]] pour faire la quadrature des fonctions puissances {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x{{exp|α}}''}}. Soit {{math|''b'' > ''a'' > 0}} et {{math|''N'' ≥ 1}}. Écrivons {{mvar|b {{=}} a ω{{exp|N}}}}, et prenons comme subdivision du segment {{math|[''a'' , ''b'']}} celle définie par les {{math|''x{{ind|k}}'' {{=}} ''a ω{{exp|k}}''}}. Avec comme points d'évaluations {{math|''ξ{{ind|k}}'' {{=}} ''x''{{ind|''k'' –1}}}}, on obtient la somme 
: <math>S_N = \sum_{k = 0}^{N-1} a \omega^{k}(\omega - 1) a^\alpha \omega^{k\alpha} = a^{\alpha+1} \frac{(\omega-1)(\omega^{N(\alpha+1)} -1)}{\omega^{\alpha+1} - 1} = \frac{\omega-1}{\omega^{\alpha+1} - 1}(b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1})</math>
Lorsque {{math|''N'' → ∞}}, on a {{math|''ω'' → 1}} (en effet avec {{math|''ω'' {{=}} 1 + ''h''}}, on a {{math|''b''/''a'' ≥ 1 + ''Nh'' > 1}}) et <font style="vertical-align:+10%;"><math>\frac{\omega^{\alpha+1} - 1}{\omega-1}\to {\alpha+1}</math></font>, (facile lorsque {{mvar|α}} est entier puisque le quotient vaut alors {{math|1 + ''ω'' + ''ω''{{2}} + ... + ''ω{{exp|α}}''}} et vrai en général). D'où
: <math>\lim S_N = \frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha+1}</math>
Le pas de la subdivision est {{math|''δ'' {{=}} ''b'' – ''b''/''ω''}} et il tend vers zéro puisque comme nous l'avons déjà indiqué {{math|''ω'' → 1}} pour {{math|''N'' → ∞}} (concrètement {{math|''δ'' {{=}} ''bh''/''ω'' < ''bh'' ≤ {{sfrac|1|''n''}} ''b'' (''b''/''a'' –1)}} avec à nouveau {{math|''ω'' {{=}} 1 + ''h''}}). On trouve ou retrouve donc
: <math>\int_a^b x^\alpha\,\mathrm dx = \frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha+1}</math>

Le cas {{math|''α'' {{=}} –1}} (quadrature de l'[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]]), était exclu dans le calcul ci-dessus et en effet il est particulier. On doit reprendre le calcul de {{mvar|S{{ind|N}}}} qui vaut maintenant {{math|''S{{ind|N}} {{=}} N''(''ω'' – 1)}}. On obtient la relation suivante :
: <math>\lim N((b/a)^{\frac1N} -1) = \int_a^b \frac{{\rm d}t}t \quad (= \ln(b/a))</math>
Une relation bien connue qui s'insère dans la théorie générale des fonctions [[logarithme]] et [[Fonction exponentielle|exponentielle]] et de leurs rapports avec les [[Fonction puissance|fonctions puissances]]. Si ces fonctions et leurs propriétés sont connues, on peut en effet retrouver la limite ci-dessus en écrivant
: <math>N((b/a)^{\frac1N} -1)  = \frac{{\rm e}^{\frac1N\log(b/a)} -1}{\frac1N}</math>
et en rappelant que <font style="vertical-align:+10%;"><math>\lim_{\epsilon\to0} \frac{{\rm e}^{\epsilon x} -1}{\epsilon} = x</math></font> car cela revient à calculer la dérivée au point {{math|''t'' {{=}} 0}} de la fonction <font style="vertical-align:+10%;"><math>t\mapsto{\rm e}^{t x}</math>.</font>

== Animations ==
<gallery>
Image:Riemann sum (leftbox).gif|Somme à gauche.
Image:Riemann sum (rightbox).gif|Somme à droite.
Image:Riemann sum (middlebox).gif|Somme au milieu.
Image:Riemann sum (y=x^2).gif|Avec <math>y=x^2</math>.
</gallery>

== Définitions pour les dimensions supérieures ==

L'idée générale de l'intégrale de Riemann est de découper le domaine d'intégration en sous-domaines, définir une mesure de chaque sous-domaine et la pondérer par une valeur de la fonction à intégrer en un point à l'intérieur du sous-domaine, et de sommer toutes ces valeurs. On voit ainsi que cette idée peut être généralisée simplement aux cas d'intégrales multi-dimensionnelles ou avec une mesure autre que la mesure (usuelle) de Lebesgue.

;Dimension supérieure à 2
Le domaine {{math|Ω}} de dimension {{mvar|n}} est découpé en un nombre fini de cellules {{math|{Ω{{ind|1}}, Ω{{ind|2}}, ..., Ω{{ind|''p''}} }<nowiki/>}}, de volumes respectifs {{math|{ΔΩ{{ind|1}}, ΔΩ{{ind|2}}, ..., ΔΩ{{ind|''p''}}<nowiki/>}<nowiki/>}} disjoints deux à deux, dont la réunion vaut {{math|Ω}}.

Une somme de Riemann d'une fonction {{mvar|f}} à valeur réelles définie sur {{math|Ω}} s'écrit alors :
:<math>S = \sum_{k=1}^p f(t_k) \times \Delta \Omega_k,</math>
avec {{mvar|t{{ind|k}}}}, un point quelconque de {{math|Ω{{ind|''k''}}}}.

Les volumes correspondent ainsi aux longueurs des intervalles en dimension 1, aux surfaces des cellules en dimensions 2, aux volumes des cellules en dimensions 3, etc.

;Pour une mesure différente
Formellement, on peut utiliser une autre mesure que le volume. On introduit ainsi une [[mesure (mathématiques)|mesure]] positive {{mvar|μ}}. La somme de Riemann s'écrit alors :
:<math>S = \sum_{k=1}^p f(t_k) \mu( \Omega_k).</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Riemann sum|891611831}}
{{références}}

== Articles connexes ==
* [[Calcul numérique d'une intégrale]]

== Liens externes ==
*{{MathWorld |id=RiemannSum |titre=Riemann Sum}}

{{Palette|Bernhard Riemann}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]
[[Catégorie:Bernhard Riemann]]