Voir la source de Sphère inscrite

{{À sourcer|date=décembre 2020}}

{{ébauche|géométrie}}
{{Infobox
|image=Cube with inscribed sphere.png
|légende=Cube (en noir) avec une sphère inscrite (en rouge)}}
En [[géométrie]], une '''sphère inscrite''' dans un [[polyèdre]] est une [[sphère]] contenue dans ce polyèdre et telle que toutes les faces du polyèdre soient [[Plan tangent|tangentes]] à la surface de la sphère. Il s'agit d'une extension à [[trois dimensions]] du [[cercle inscrit]].

== Construction ==
Tout [[tétraèdre]] non dégénéré (soit formé par quatre plans non coplanaires) permet de définir une sphère, ainsi tout tétraèdre non dégénéré a une sphère inscrite et les quatre faces du tétraèdre sont tangentes à la sphère.

Dans le cas de polyèdres convexes à  ''n'' faces, on peut définir la sphère inscrite comme la sphère parmi les <math display=inline>\binom{n}{4}</math> sphères inscrits constructibles à partir des tous les quadruplets de faces celle qui ne traverse aucune face et qui est mécaniquement stable (qu'on ne peut bouger à l'intérieur du polyèdre)<ref>{{article |lang=en |auteur1=K.K. Sahu |auteur2=A.K. Lahiri |année=2004 |titre=Finding the insphere of a convex polyhedron: an analytical approach |périodique=Philosophical Magazine |volume=84 |numéro=12 |pages=1185 — 1196 |doi=10.1080/14786430310001647159}}</ref>.

== Sphère inscrite dans un polyèdre régulier ==
{{article détaillé|Polyèdre régulier}}

Tous les polyèdres réguliers convexes ([[solide de Platon]]) ont une sphère inscrite qui est tangente aux centres de toutes les faces. 

<gallery caption="Solides de Platon avec leurs sphères circonscrites (en bleu) et inscrites (en rouge)" heights="200px" widths="200px">
File:01 Tetraeder-Größen.png|Tétraèdre
File:01 Würfel-Größen.png|Cube
File:01 Oktaeder-Größen.png|Octaèdre
File:01 Dodekaeder-Größen.png|Dodécaèdre
File:01 Ikosaeder-Größen.png|Icosaèdre
</gallery>

=== Propriétés ===
Le rayon de la sphère inscrite d'un [[polyèdre régulier]] à ''n'' faces et de longueur d'arête ''s'' est de<ref>{{article |lang=en |périodique=Journal of Physics: Conference Series |titre=The study of circumsphere and insphere of a regular polyhedron |auteur1=D. Noviyanti |auteur2=H.P. Lestari |année=2020 |volume=1581 |numéro=012054 |doi=10.1088/1742-6596/1581/1/012054}}</ref>:
:<math>r = \frac{s}{2} \cot\left(\frac{\pi}{2n}\right)\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
où ''&theta;'' désigne l'[[angle dièdre]] entre deux faces.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets| commons=Category:Inscribed spheres}}

=== Articles connexes ===
* [[Sphère circonscrite]]

=== Liens externes ===
* {{mathworld | nom_url= Insphere | titre = Insphere}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie dans l'espace]]
[[Catégorie:Sphère|inscrite]]