Voir la source de Suite de polynômes orthogonaux

En [[mathématiques]], une '''suite de polynômes orthogonaux''' est une [[Suite de polynômes|suite infinie de polynômes]] {{math|''p''<sub>0</sub>(''x'')}}, {{math|''p''<sub>1</sub>(''x'')}},
{{math|''p''<sub>2</sub>(''x'')}} ... à coefficients réels, dans laquelle chaque {{math|''p''<sub>''n''</sub>(''x'')}} est de degré {{mvar|n}}, et telle que les [[polynôme]]s de la [[Suite (mathématiques)|suite]] sont orthogonaux deux à deux pour un [[produit scalaire]] de fonctions donné.

Cette notion est utilisée par exemple en [[cryptologie]] ou en [[analyse numérique]]. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en [[mécanique des fluides]], en [[mécanique quantique]] ou en [[traitement du signal]]. De nombreux types de [[:catégorie:polynômes orthogonaux|polynômes orthogonaux particuliers]] comme ceux [[Polynôme de Legendre|de Legendre]], [[Polynôme de Tchebychev|de Tchebychev]] permettent d'approcher une fonction et, par leurs propriétés, de résoudre plus simplement des [[équation différentielle|équations différentielles]] complexes.

== Introduction ==

Le [[produit scalaire]] de fonctions le plus simple est l'[[intégration (mathématiques)|intégrale]] du produit de ces fonctions, sur un intervalle borné :

:<math>\langle f,g \rangle=\int_a^b f(x)g(x)~\mathrm dx</math>

Plus généralement, on peut introduire une « [[fonction poids]] » {{math|''W''(''x'')}} dans l'intégrale (sur l'intervalle d'intégration {{math|]''a'' , ''b''[}}, {{mvar|W}} doit être à valeurs finies et strictement positives, et l'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie ; les bornes {{math|''a'' , ''b''}} peuvent être infinies) :

:<math>\langle f,g \rangle=\int_a^b f(x)g(x)W(x)~\mathrm dx</math>

Avec cette définition du produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro). On introduit alors la [[Norme (mathématiques)|norme]] associée : <math>||f||=\sqrt{\langle f,f \rangle}</math> ; le produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie un [[espace de Hilbert]].

L'intervalle d'intégration est appelé '''intervalle d'orthogonalité'''.

Le domaine des polynômes orthogonaux s'est développé à la fin du {{s-|XIX}} à partir d'une étude sur les fractions continues par [[Pafnouti Tchebychev]] et a été poursuivi par [[Andreï Markov (mathématicien)|Andreï Markov]] et [[Thomas Joannes Stieltjes]]. [[Gábor Szegő]], [[Sergueï Natanovitch Bernstein|Sergueï Bernstein]], [[Naum Akhiezer]], {{Lien|langue=en|fr=Arthur Erdélyi}}, [[Yakov Geronimus]], [[Wolfgang Hahn]], {{Lien|langue=en|fr=Theodore Seio Chihara}}, {{Lien|langue=en|fr=Mourad Ismail}}, {{Lien|langue=en|fr=Waleed Al-Salam}} et [[Richard Askey]] ont également travaillé sur le sujet. De multiples applications en ont découlé en mathématiques et en [[physique]].

== Exemple : les polynômes de Legendre ==
[[Fichier:Legendre poly.svg|vignette|upright=1.5|Les six premiers polynômes de Legendre]]
Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les [[polynômes de Legendre]] pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est ]-1,&nbsp;1[ et la fonction poids est la [[fonction constante]] de valeur 1 :

:<math>P_0(x) = 1</math>

:<math>P_1(x) = x</math>

:<math>P_2(x) = \frac{3x^2-1}2</math>

:<math>P_3(x) = \frac{5x^3-3x}2</math>

:<math>P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}8</math>

:<math>\dots\,</math>

Ils sont tous orthogonaux sur ]-1,&nbsp;1[ :

:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)~\mathrm dx = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n</math>

== Propriétés ==

Toute suite de polynômes {{math|''p''{{ind|0}}, ''p''{{ind|1}},...}}, où chaque {{mvar|p{{ind|k}}}} est de degré ''k'', est une base de l'espace vectoriel <math>\R[x]</math> (de dimension infinie) de tous les polynômes, « adaptée au [[drapeau (mathématiques)|drapeau]] <math>(\R_n[x])_{n\in\N}</math> ». Une suite de polynômes orthogonaux est une telle base qui est, de plus, orthogonale pour un certain produit scalaire. Ce produit scalaire étant fixé, une telle suite est presque unique (unique à produit près de ses vecteurs par des scalaires non nuls), et peut s'obtenir à partir de la base canonique {{math|(1, ''x'', ''x''{{2}}, ...)}} (non orthogonale en général), par le [[procédé de Gram-Schmidt]].

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre [[base orthonormale|orthonormale]], c'est-à-dire telle que <math>\langle p_n, p_n \rangle\ =\ 1</math> pour tout ''n'', en divisant chaque {{mvar|p{{ind|n}}}} par sa norme. Dans le cas des polynômes, on préfère ne pas imposer cette condition supplémentaire car il en résulterait souvent des coefficients contenant des racines carrées. On préfère souvent choisir un multiplicateur tel que les coefficients restent rationnels, et donnent des formules aussi simples que possible. C'est la standardisation. Les polynômes « classiques » énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ou leur valeur en un point ont été mis à une quantité donnée (pour les polynômes de Legendre, {{math|''P'{{ind|n}}''(1){{=}}1}}). Cette standardisation est une convention qui pourrait aussi parfois être obtenue par une mise à l'échelle de la fonction poids correspondante. Notons
:<math>h_n=\langle p_n,\ p_n \rangle</math>

(la norme de {{mvar|p{{ind|n}}}} est la [[racine carrée]] de {{mvar|h{{ind|n}}}}). Les valeurs de {{mvar|h{{ind|n}}}} pour les polynômes standardisés sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

:<math>\langle p_m,\ p_n \rangle=\delta_{mn}h_n</math> ;
où {{mvar|δ{{ind|mn}}}} est le [[symbole de Kronecker]].

Toute suite {{math|(''p{{ind|k}}'')}} de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés remarquables. Pour commencer :

* '''Lemme 1 :''' {{math|(''p''{{ind|0}}, ''p''{{ind|1}},...,''p{{ind|n}}'')}} est une [[base (algèbre linéaire)|base]] de <math>\R_n[x]</math>
* '''Lemme 2 :''' {{mvar|p{{ind|n}}}} est orthogonal à <math>\R_{n-1}[x]</math>.

Le lemme 1 est dû au fait que {{mvar|p{{ind|k}}}} est de degré ''k''. Le lemme 2 vient de ce que, de plus, les {{mvar|p{{ind|k}}}} sont orthogonaux deux à deux.

=== Relation de récurrence ===
Pour toute suite de polynômes orthogonaux, il existe une [[relation de récurrence]] relativement à trois polynômes consécutifs.
:<math>p_{n+1}\ =\ (a_nx+b_n)\ p_n\ -\ c_n\ p_{n-1}</math>
Les coefficients {{math|''a{{ind|n}}'' , ''b{{ind|n}}'' , ''c{{ind|n}}''}} sont donnés par
:<math>a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\qquad b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -
\frac{k_n'}{k_n} \right),\qquad c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right),</math>
où {{mvar|k{{ind|j}}}} et {{mvar|k{{ind|j}}'}} désignent les deux premiers coefficients de {{mvar|p{{ind|j}}}} :
:<math>p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots</math>
et {{mvar|h{{ind|j}}}} le produit scalaire de {{mvar|p{{ind|j}}}} par lui-même :
:<math>h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle</math>.
(Par convention, {{math|''c''{{ind|0}}}}, {{math|''p''{{ind|–1}}}}, {{math|''k'''{{ind|0}}}} sont nuls.)

{{démonstration|contenu=Avec les valeurs données pour {{mvar|a{{ind|n}}}} et {{mvar|b{{ind|n}}}}, le polynôme
{{math|(''a{{ind|n}} x'' + ''b{{ind|n}}'')''p{{ind|n}}'' – ''p''{{ind|''n''+1}}}} est de degré inférieur à ''n'' (les termes de degrés ''n''+1 et ''n'' s'éliminent).
On peut donc l'exprimer sous forme d'une combinaison linéaire des éléments de la base {{math|(''p{{ind|j}}''){{indexp|''j''{{=}}0|''n''–1}}}} de <math>\R_{n-1}[x]</math> :
:<math>(a_nx+b_n)p_n-p_{n+1}= \sum_{j=0}^{n-1}\mu_{n,j}p_j,</math>
avec
:<math>h_j\mu_{n,j}=\langle (a_nx+b_n)p_n-p_{n+1},p_j\rangle=a_n\langle xp_n,p_j\rangle</math>
(car pour ''j''<''n'', {{mvar|p{{ind|j}}}} est orthogonal à {{mvar|p{{ind|n}}}} et {{math|''p''<sub>''n''+1</sub>}}).

De plus, de par la forme intégrale du produit scalaire,
:<math>\langle xp_n,p_j\rangle=\langle p_n,xp_j\rangle.</math>
Pour ''j''<''n''-1, ce produit scalaire est nul car {{mvar|x p{{ind|j}}}} est de degré <''n''.

Pour ''j''=''n''-1, il est égal à <math>\frac{h_n}{a_{n-1}}</math> car (par le même raisonnement qu'au début) {{math|''a''{{ind|''n'' –1}} ''x p''{{ind|''n''–1}}–''p{{ind|n}}''}} est de degré inférieur à ''n''.

On peut conclure :
:<math>(a_nx+b_n)p_n-p_{n+1}= c_np_{n-1},\,</math>
avec
:<math>c_n=\mu_{n,n-1}=\frac {a_n}{h_{n-1}}\ \frac{h_n}{a_{n-1}}=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).</math>
}}
Ce résultat admet une réciproque, le [[théorème de Favard]], affirmant que sous certaines conditions supplémentaires, une suite de polynômes satisfaisant cette récurrence est une suite de polynômes orthogonaux (pour une certaine fonction de pondération ''W'').

=== Noyau de Christoffel-Darboux ===
Dans l'[[espace L2|espace L{{2}}]] associé à ''W'', notons {{mvar|S{{ind|n}}}} la [[projection orthogonale]] sur <math>\R_n[x]</math> : pour toute fonction {{mvar|f}} telle que <math>\int_a^bf^2(x)W(x)~\mathrm dx<\infty</math>,
:<math>(S_nf)(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\langle f,p_k\rangle}{h_k}p_k(x)=\int_a^bK_n(x,y)f(y)W(y)~\mathrm dy,</math>
où {{mvar|K{{ind|n}}}} est le [[Opérateur intégral|noyau]] de [[Elwin Bruno Christoffel|Christoffel]]-[[Gaston Darboux|Darboux]], défini par :
:<math>K_n(x,y)=\sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}.</math>
La relation de récurrence précédente permet alors de montrer :
:<math>K_n(x,y)=\frac {k_n}{k_{n+1}h_n}\ \frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n+1}(y)}{x-y},</math>
:<math>K_n(x,x)=\frac {k_n}{k_{n+1}h_n}\ (p'_{n+1}(x)p_n(x)-p'_n(x)p_{n+1}(x)).</math>
{{démonstration|contenu=Démontrons la première de ces deux formules (la seconde s'en déduit en faisant tendre ''y'' vers ''x''), par récurrence sur ''n''. Pour ''n''=-1 elle est vraie (par convention, ''K''<sub>-1</sub>=0). Supposons-la vraie au rang ''n''-1 et prouvons-la au rang ''n''. En remplaçant {{math|''p''{{ind|''n''+1}}}} on obtient
:<math>p_{n+1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n+1}(y)=a_n(x-y)p_n(x)p_n(y)-c_n\left(p_{n-1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n-1}(y)\right)\,</math>
avec, par hypothèse de récurrence,
:<math>-c_n\left(p_{n-1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n-1}(y)\right)=c_na_{n-1}h_{n-1}(x-y)K_{n-1}(x,y)=a_nh_n(x-y)K_{n-1}(x,y),\,</math>
d'où
:<math>\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n+1}(y)}{a_nh_n(x-y)}=\frac{p_n(x)p_n(y)}{h_n}+K_{n-1}(x,y)=K_n(x,y).</math>
}}

=== Existence de racines réelles ===

Tout polynôme d'une suite de polynômes orthogonaux dont le degré ''n'' est supérieur ou égal à 1 admet ''n'' racines distinctes, toutes réelles, et situées strictement à l'intérieur de l'intervalle d'intégration<ref>Voir par exemple la question II.2 de [http://les.mathematiques.free.fr/pdf/Analyse_00.pdf ce problème] du [[CAPES]] externe 2000 ({{1re|épreuve}}) et [http://www.mathom.fr/mathom/sauvageot/CAPES/solutions/capes00-1.pdf son corrigé], ou {{Note autre projet|Wikiversité|Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers#Exercice 5-3|cet exercice corrigé|début=}}</ref> (c'est une propriété remarquable :
il est rare, pour un polynôme de degré élevé dont les coefficients ont été choisis au hasard, d'avoir toutes ses racines réelles).

=== Position des racines ===
Les racines des polynômes se trouvent strictement entre les racines du polynôme de degré supérieur dans la suite.
{{démonstration|contenu=
On met d'abord tous les polynômes sous une forme standardisée telle que le coefficient dominant soit positif (ce qui ne change pas les racines), puis on effectue une récurrence sur ''n''. Pour ''n''=0 il n'y a rien à démontrer. Supposons la propriété acquise jusqu'au rang ''n''. Notons {{math|''x''{{ind|1}} < ... < ''x{{ind|n}}''}} les racines de {{mvar|p{{ind|n}}}} et {{math|''y''{{ind|0}} < ... < ''y{{ind|n}}''}} celles de {{math|''p''{{ind|''n''+1}}}}. La relation de récurrence donne {{math|''p''{{ind|''n''+1}}(''x{{ind|j}}'') {{=}} –''c{{ind|n}}'' ''p''{{ind|''n''–1}}(''x{{ind|j}}'')}} avec (d'après le choix de standardisation) {{math|''c{{ind|n}}'' > 0}}. Or par hypothèse de récurrence, {{math|(–1){{exp|''n''–''j''}}''p''{{ind|''n''–1}}(''x{{ind|j}}'')>0}}. On en déduit {{math|(–1){{exp|''n''+1–''j''}}''p''{{ind|''n''+1}}(''x{{ind|j}}'')>0}} . En outre, {{math|∀ ''x'' > ''y{{ind|n}}'', ''p''{{ind|''n''+1}}(''x'') > 0}} et {{math|∀ ''x''<''y''{{ind|0}}, (–1){{ind|''n''+1}}''p''{{ind|''n''+1}}(''x'') > 0}}. Ceci permet de conclure : {{math|''y''{{ind|0}} < ''x''{{ind|1}} < ''y''{{ind|1}} < ... < ''x{{ind|n}}'' < ''y{{ind|n}}''}}.

Une autre méthode de démonstration est de prouver (par récurrence, ou plus simplement en utilisant le noyau de Christoffel-Darboux) que pour tout ''n'' et tout ''x'', {{math|''p''{{ind|''n''+1}}'(''x'') ''p{{ind|n}}''(''x'') > ''p''{{ind|''n''+1}}(''x'') ''p''{{ind|''n''}}'(''x'')}}, pour en déduire que {{math|''p''{{ind|''n''+1}}'(''y{{ind|j}}'')}} et {{math|''p{{ind|n}}''(''y{{ind|j}}'')}} ont même signe, si bien que {{math|(–1){{exp|''n''–''j''}} ''p''{{ind|''n''}}(''y{{ind|j}}'') > 0}}, ce qui permet de conclure que {{mvar|p{{ind|n}}}} s'annule entre les {{mvar|y{{ind|j}}}}.}}

== Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux ==
Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une [[Théorie de Sturm-Liouville|équation différentielle de Sturm-Liouville]] de la forme

:<math>{Q(x)}\,f'' + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0\,</math>

où ''Q'' est un polynôme quadratique donné et ''L'' un polynôme linéaire donné. La fonction ''f'' est inconnue, et la constante λ est un paramètre. On peut remarquer qu'une solution polynomiale est a priori envisageable pour une telle équation, les degrés des termes étant compatibles. Cependant, les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de ces valeurs λ{{ind|0}}, λ{{ind|1}}, λ{{ind|2}}, etc. conduit à une suite de polynômes solutions ''P''{{ind|0}}, ''P''{{ind|1}}, ''P''{{ind|2}}... si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

# ''Q'' est vraiment quadratique et a deux racines réelles distinctes, ''L'' est linéaire et sa racine est située entre les deux racines de ''Q'', et les termes de plus haut degré de ''Q'' et ''L'' ont le même signe.
# ''Q'' n'est pas quadratique, mais linéaire, ''L'' est linéaire, les racines de ''Q'' et ''L'' sont différentes, et les termes de plus haut degré de ''Q'' et ''L'' ont le même signe si la racine de ''L'' est plus petite que celle de ''Q'', ou inversement.
# ''Q'' est un polynôme constant non nul, ''L'' est linéaire, et le terme de plus haut degré de ''L'' est de signe opposé à celui de ''Q''.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de ''[[Polynôme de Jacobi|Jacobi]]'', de ''[[Polynôme de Laguerre|Laguerre]]'' et d'''[[Polynômes d'Hermite|Hermite]]''.
Pour chacun de ces cas :
* La solution est une suite de polynômes ''P''{{ind|0}}, ''P''{{ind|1}}, ''P''{{ind|2}}…, chaque ''P{{ind|n}}'' ayant un degré ''n'', et correspondant au nombre λ{{ind|''n''}} ;
* L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de ''Q'' ;
* La racine de ''L'' est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
* En notant <math>R(x) = \exp\left(\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}~\mathrm dt\right)\,</math>, les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids <math>W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}\,</math>
* ''W''(''x'') ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire aux extrémités.
* ''W''(''x'') peut être choisi positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par –1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité ''R''(''x'') est définie à une constante multiplicative près. Le [[#Tableau des polynômes orthogonaux classiques|tableau]] ci-dessous donne les valeurs "officielles" de ''R''(''x'') et ''W''(''x'').

=== Formule de Rodrigues ===
Avec les hypothèses de la section précédente,
''P''<sub>''n''</sub>(''x'') est proportionnel à <math>\frac{1}{W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)</math>

équation mieux connue sous le nom de « [[formule de Rodrigues]] », du nom d'[[Olinde Rodrigues]]. Elle est souvent écrite :

:<math>P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \  \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)</math>

où les nombres ''e''<sub>''n''</sub> dépendent de la normalisation. Les valeurs de ''e''<sub>''n''</sub> sont données dans le [[#Tableau des polynômes orthogonaux classiques|tableau]] plus bas.

Pour démontrer cette formule on vérifie, dans chacun des trois cas ci-dessus, que le ''P''<sub>''n''</sub> qu'elle fournit est bien un polynôme de degré ''n'', puis, par intégrations par parties répétées, que pour tout polynôme ''P'',
<math>\left\langle \frac 1 W (WQ^n)^{(n)},P\right\rangle</math> est égal à <math>(-1)^n\langle Q^n,P^{(n)}\rangle,</math> donc est nul si ''P'' est de degré inférieur à ''n''. Cette méthode montre en outre que <math>h_ne_n=(-1)^n n! k_n\int_a^b(Q(x))^nW(x)~\mathrm dx</math>.

=== Les nombres λ<sub>n</sub> ===

Avec les hypothèses de la section précédente,

:<math>{\lambda}_n =  n \left( \frac{1-n}{2}\ Q'' - L' \right)</math>

On remarquera que ''Q'' étant quadratique et ''L'' linéaire, ''Q{{''}}'' et ''L{{'}}'' sont bien des constantes.

=== Seconde forme de l'équation différentielle ===

Avec <math>R(x) = \exp \left(\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}~\mathrm dt \right)\,</math>.

Alors

:<math>(Ry')' = R\,y'' + R'\,y' = R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y'</math>

En multipliant maintenant l'équation différentielle

:<math>{Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,</math>

par ''R''/''Q'', on obtient

:<math>R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,</math>

ou encore

:<math>(Ry')' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,</math>

C'est la forme normalisée de [[Théorie de Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] de l'équation.

=== Troisième forme de l'équation différentielle ===

En posant <math>S(x) = \sqrt{R(x)} = \exp \left(\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{2\,Q(t)}~\mathrm dt \right)\,</math>.

Alors :

:<math>S' = \frac{S\,L}{2\,Q}.</math>

En multipliant maintenant l'équation différentielle

:<math>{Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,</math>

par ''S''/''Q'', on obtient :

:<math>S\,y'' + \frac{S\,L}{Q}\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,</math>

ou encore

:<math>S\,y'' + 2\,S'\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,</math>

Mais <math>(S\,y)'' = S\,y'' + 2\,S'\,y' + S''\,y</math>, donc

:<math>(S\,y)'' + \left(\frac{S\,\lambda}{Q} - S''\right)\,y = 0,\,</math>

ou, en posant ''u'' = ''Sy'',

:<math>u'' + \left(\frac{\lambda}{Q} - \frac{S''}{S}\right)\,u = 0.\,</math>

== Tableau des polynômes orthogonaux classiques ==
<small>Pour des raisons de mise en page, ce tableau est scindé en trois parties.</small>
<center>

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-----
! Nom et symbole conventionnel
! [[Polynôme de Tchebychev|Tchebychev]], <math>\ T_n</math>
! [[Polynôme de Tchebychev|Tchebychev]]<br />(seconde sorte), <math>\ U_n</math>
! [[Polynôme de Legendre|Legendre]], <math>\ P_n</math>
! [[Polynôme d'Hermite|Hermite]] (forme physique), <math>\ H_n</math>
|-----
| Limite d'orthogonalité || <math>-1, 1\,</math>
| <math>-1, 1\,</math>
| <math>-1, 1\,</math> || <math>-\infty, \infty</math>
|-----
| Poids, <math>W(x)\,</math> || <math>(1-x^2)^{-1/2}\,</math>
| <math>(1-x^2)^{1/2}\,</math>
| <math>1\,</math> || <math>\mathrm{e}^{-x^2}</math>
|-----
| Normalisation || <math>T_n(1)=1\,</math>
| <math>U_n(1)=n+1\,</math> || <math>P_n(1)=1\,</math>
| Coefficient dominant = <math>2^n\,</math>
|-----
| Carré de la norme <math>h_n\,</math>
| <math>\left\{
\begin{matrix}
\pi   &:~n=0 \\
\pi/2 &:~n\ne 0
\end{matrix}\right.
</math>
| <math>\pi/2\,</math> || <math>\frac{2}{2n+1}</math>
| <math>2^n\,n!\,\sqrt{\pi}</math>
|-----
| Coefficient dominant <math>k_n\,</math>
| <math>\left\{
\begin{matrix}
1   &:~n=0 \\
2^{n-1} &:~n\ne 0
\end{matrix}\right.
</math> 
|| <math>2^n\,</math>
| <math>\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\,</math>
| <math>2^n\,</math>
|-----
| Coefficient suivant <math>k'_n\,</math> || <math>0\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>0\,</math> || <math>0\,</math>
|-----
| <math>Q\,</math> || <math>1-x^2\,</math>
| <math>1-x^2\,</math>
| <math>1-x^2\,</math> || <math>1\,</math>
|-----
| <math>L\,</math> || <math>-x\,</math>
| <math>-3x\,</math>
| <math>-2x\,</math> || <math>-2x\,</math>
|-----
| <math display=inline>R(x) =\exp\left(\int \frac{L(x)}{Q(x)}~\mathrm dx\right)</math>
| <math>(1-x^2)^{1/2}\,</math> || <math>(1-x^2)^{3/2}\,</math>
| <math>1-x^2\,</math> || <math>\mathrm{e}^{-x^2}\,</math>
|-----
| Constante dans l'équation différentielle <math>{\lambda}_n\,</math>
| <math>n^2\,</math> || <math>n(n+2)\,</math>
| <math>n(n+1)\,</math> || <math>2n\,</math>
|-----
| Constante dans la [[Polynômes orthogonaux#Formule de Rodrigues|formule de Rodrigues]] <math>e_n\,</math>
| <math>(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\,</math>
| <math>2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\,</math>
| <math>(-2)^n\,n!\,</math> || <math>(-1)^n\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>a_n\,</math>
| <math>2\,</math> || <math>2\,</math>
| <math>\frac{2n+1}{n+1}\,</math> || <math>2\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>b_n\,</math>
| <math>0\,</math> || <math>0\,</math>
| <math>0\,</math> || <math>0\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>c_n\,</math>
| <math>1\,</math> || <math>1\,</math>
| <math>\frac{n}{n+1}\,</math> || <math>2n\,</math>
|}
</center>

<center>
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-----
! Nom et symbole
! [[Polynôme de Laguerre#Polynômes de Laguerre généralisés|Laguerre associé]] <math>L_n^{(\alpha)}</math>
! [[Polynôme de Laguerre|Laguerre]] <math>\ L_n</math>
|-----
| Limites d'orthogonalité || <math>0, \infty\,</math>
| <math>0, \infty\,</math>
|-----
| Poids, <math>W(x)\,</math> || <math>x^{\alpha}\mathrm{e}^{-x}\,</math>
| <math>\mathrm{e}^{-x}\,</math>
|-----
| Normalisation
| Coefficient dominant = <math>\frac{(-1)^n}{n!}\,</math>
| Coefficient dominant = <math>\frac{(-1)^n}{n!}\,</math>
|-----
| Carré de la norme <math>h_n\,</math>
| <math>1\,</math> || <math>1\,</math>
|-----
| Coefficient dominant <math>k_n\,</math>
| <math>\frac{(-1)^n}{n!}\,</math> || <math>\frac{(-1)^n}{n!}\,</math>
|-----
| Coefficient suivant <math>k'_n\,</math>
| <math>\frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\,</math>
| <math>\frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,</math>
|-----
| <math>Q\,</math> || <math>x\,</math>
| <math>x\,</math>
|-----
| <math>L\,</math> || <math>\alpha+1-x\,</math>
| <math>1-x\,</math>
|-----
| <math display=inline>R(x) =\exp\left(\int \frac{L(x)}{Q(x)}~\mathrm dx\right)</math>
| <math>x^{\alpha+1}\,\mathrm{e}^{-x}\,</math> || <math>x\,\mathrm{e}^{-x}\,</math>
|-----
| Constante dans l'équation différentielle <math>{\lambda}_n\,</math>
| <math>n\,</math> || <math>n\,</math>
|-----
| Constante dans la relation de Rodrigues <math>e_n\,</math>
| <math>n!\,</math> || <math>n!\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>a_n\,</math>
| <math>\frac{-1}{n+1}\,</math> || <math>\frac{-1}{n+1}\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>b_n\,</math>
| <math>\frac{2n+1+\alpha}{n+1}\,</math>
| <math>\frac{2n+1}{n+1}\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>c_n\,</math>
| <math>\frac{n+\alpha}{n+1}\,</math> || <math>\frac{n}{n+1}\,</math>
|}
</center>

<center>
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-----
! Nom et symbole
! [[Polynôme de Gegenbauer|Gegenbauer]] <math>C_n^{(\alpha)}</math>
! [[Polynôme de Jacobi|Jacobi]] <math>P_n^{(\alpha, \beta)}</math>
|-----
| Limites d'orthogonalité || <math>-1, 1\,</math>
| <math>-1, 1\,</math>
|-----
| Poids <math>W(x)\,</math> || <math>(1-x^2)^{\alpha-1/2}\,</math>
| <math>(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,</math>
|-----
| Normalisation
| <math>C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\,</math> si <math>\alpha\ne0</math>
| <math>P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,</math>
|-----
| Carré de la norme <math>h_n\,</math>
| <math>\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}</math>
| <math>\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)}
{n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}</math>
|-----
| Coefficient dominant <math>k_n\,</math>
| <math>\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\,</math>
| <math>\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,</math>
|-----
| Coefficient suivant <math>k'_n\,</math> || <math>0\,</math>
| <math>\frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,</math>
|-----
| <math>Q\,</math> || <math>1-x^2\,</math>
| <math>1-x^2\,</math>
|-----
| <math>L\,</math> || <math>-(2\alpha+1)\,x\,</math>
| <math>\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,</math>
|-----
| <math display=inline>R(x) =\exp\left(\int \frac{L(x)}{Q(x)}~\mathrm dx\right)</math>
| <math>(1-x^2)^{\alpha+1/2}\,</math>
| <math>(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,</math>
|-----
| Constante dans l'équation différentielle <math>{\lambda}_n\,</math>
| <math>n(n+2\alpha)\,</math> || <math>n(n+1+\alpha+\beta)\,</math>
|-----
| Constante dans l'équation de Rodrigues <math>e_n\,</math>
| <math>\frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)}
{\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}</math>
| <math>(-2)^n\,n!\,</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>a_n\,</math>
| <math>\frac{2(n+\alpha)}{n+1}\,</math>
| <math>\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>b_n\,</math>
| <math>0\,</math>
| <math>\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}</math>
|-----
| Relation de récurrence <math>c_n\,</math>
| <math>\frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\,</math>
| <math>\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}</math>
|}
</center>

== Généralisations et termes avancés ==

=== Polynômes orthogonaux à plusieurs variables ===
Il est possible de définir des polynômes orthogonaux à plusieurs variables à l'aide d'[[intégrale multiple|intégrales multiples]]. C'est par exemple le cas des [[Polynôme de Zernike|polynômes de Zernike]], utiles en optique géométrique et en ophtalmologie, ou, plus généralement encore, celui des [[harmonique sphérique|harmoniques sphériques]].

=== Polynômes orthogonaux multiples ===
{{article détaillé|polynômes orthogonaux multiples}}
Une autre généralisation sont les [[polynômes orthogonaux multiples]], qui sont des polynômes orthogonaux par rapport à un ensemble fini de mesures.

=== Polynômes orthogonaux discrets ===
Les polynômes orthogonaux discrets sont des polynômes orthogonaux par rapport à une [[mesure discrète]].

=== Polynômes quantiques ===
Les polynômes quantiques ou les q-polynômes sont des [[q-analogue|q-analogues]] des polynômes orthogonaux.

=== Polynômes orthogonaux avec matrices ===
Ce sont des polynômes orthogonaux impliquant des [[matrice (mathématiques)|matrices]]. Les matrices peuvent être soit les coefficients <math>\{a_i\}</math> soit l'[[indéterminée]] <math>x</math> :
* Variante 1 : <math>P(x)=A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots + A_1x +A_0</math>, où <math>\{A_{ i}\}</math> sont des matrices de taille <math>p\times p</math>.
* Variante 2 : <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_1X +a_0I_p</math>, où <math>X</math> est une matrice de taille <math>p\times p</math> et <math>I_p</math> est la [[matrice identité]].

=== Polynômes orthogonaux de Sobolev ===
Ce sont des polynômes orthogonaux par rapport à une [[Espace de Sobolev|produit intérieur de Sobolev]], c'est-à-dire un produit intérieur avec des dérivés.

== Note ==
{{Références}}

== Annexes ==
=== Bibliographie en français ===
* {{chapitre |auteur=Jean Dieudonné |titre chapitre=Fractions continuées et polynômes orthogonaux |auteurs ouvrage=E.N. Laguerre |titre ouvrage=Polynômes orthogonaux et applications |éditeur=Springer  |année=1985 |passage=1-15 |lire en ligne={{Google Livres |id=AGp6CwAAQBAJ |p=586 |surligne=Polynomes Orthogonaux et Applications: Proceedings of the Laguerre Symposium}} }}
* Jean-Louis Ovaert, ''Polynômes orthogonaux'', dans ''Dictionnaire des mathématiques, algèbre, analyse, géométrie'', [[éditions Albin Michel|Albin Michel]] et [[Encyclopædia Universalis]], Paris, 1997

=== Bibliographie en anglais ===
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)|numéro chapitre=22|titre chapitre=Orthogonal Polynomials|passage=773-792}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=en|fr=Theodore Seio Chihara}}|titre=An Introduction to Orthogonal Polynomials|éditeur=[[Dover Publications]]|année=2011|année première édition=1978|pages totales=270|isbn=978-0-486-47929-3|lire en ligne={{Google Livres|71CVAwAAQBAJ}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=en|fr=Mourad Ismail|texte=Mourad E. H. Ismail}}|titre=Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable|lieu=Cambridge (GB)|éditeur=[[Cambridge University Press]]|collection=Encyclopedia of mathematics and its applications|numéro dans collection=98|année=2005|pages totales=706|isbn=978-0-521-78201-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=GYyehv81-2kC}}
* {{Chapitre|lang=en|auteur=[[Tom Koornwinder|Tom H. Koornwinder]]|auteur2=Roderick S. C. Wong|auteur3=Roelof Koekoek|auteur4=René F. Swarttouw|url=http://dlmf.nist.gov/18|numéro chapitre=18|titre ouvrage=[[Digital Library of Mathematical Functions]]|auteurs ouvrage=[[Frank W. J. Olver]] {{et al.}}|titre=Orthogonal Polynomials}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Qazi Ibadur Rahman]]|auteur2=Gerhard Schmeisser|titre=Analytic Theory of Polynomials|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=2002|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|FzFEEVO3PXYC}}}}
* {{encycloMath|titre=Orthogonal polynomials|id=p/o070340|prénom1=P. K.|nom1=Suetin}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Gábor Szegő]]|titre=Orthogonal Polynomials|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=Colloquium Publications|numéro dans collection=23|année=1939|isbn=978-0-8218-1023-1|lire en ligne={{Google Livres|RemVAwAAQBAJ}}}}

=== Articles connexes ===
* [[Matrice aléatoire]]
* [[Mesure secondaire]] et [[Polynôme secondaire]]
* [[Polynôme d'Askey-Wilson]]
* [[Série de Fourier généralisée]]
* [[Développements asymptotiques de Plancherel-Rotach]]

{{Palette|Analyse Numérique}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Polynôme|Orthogonaux]]
[[Catégorie:Orthogonalité]]
[[Catégorie:Polynômes orthogonaux]]