Suite de polynômes orthogonaux

En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math ... à coefficients réels, dans laquelle chaque Modèle:Math est de degré Modèle:Mvar, et telle que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné.

Cette notion est utilisée par exemple en cryptologie ou en analyse numérique. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en mécanique des fluides, en mécanique quantique ou en traitement du signal. De nombreux types de polynômes orthogonaux particuliers comme ceux de Legendre, de Tchebychev permettent d'approcher une fonction et, par leurs propriétés, de résoudre plus simplement des équations différentielles complexes.

Introduction

Le produit scalaire de fonctions le plus simple est l'intégrale du produit de ces fonctions, sur un intervalle borné :

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$

Plus généralement, on peut introduire une « fonction poids » Modèle:Math dans l'intégrale (sur l'intervalle d'intégration Modèle:Math, Modèle:Mvar doit être à valeurs finies et strictement positives, et l'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie ; les bornes Modèle:Math peuvent être infinies) :

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)W(x)\mathrm{d}x$

Avec cette définition du produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro). On introduit alors la norme associée : $||f||=\sqrt{⟨f,f⟩}$ ; le produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie un espace de Hilbert.

L'intervalle d'intégration est appelé intervalle d'orthogonalité.

Le domaine des polynômes orthogonaux s'est développé à la fin du Modèle:S- à partir d'une étude sur les fractions continues par Pafnouti Tchebychev et a été poursuivi par Andreï Markov et Thomas Joannes Stieltjes. Gábor Szegő, Sergueï Bernstein, Naum Akhiezer, Modèle:Lien, Yakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Modèle:Lien, Modèle:Lien, Modèle:Lien et Richard Askey ont également travaillé sur le sujet. De multiples applications en ont découlé en mathématiques et en physique.

Exemple : les polynômes de Legendre

Les six premiers polynômes de Legendre

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est ]-1, 1[ et la fonction poids est la fonction constante de valeur 1 :

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$

$P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}$

$P_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}{8}$

$\dots$

Ils sont tous orthogonaux sur ]-1, 1[ :

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=0\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}m\ne n$

Propriétés

Toute suite de polynômes Modèle:Math, où chaque Modèle:Mvar est de degré k, est une base de l'espace vectoriel $ℝ[x]$ (de dimension infinie) de tous les polynômes, « adaptée au drapeau $({ℝ}_n[x]{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ». Une suite de polynômes orthogonaux est une telle base qui est, de plus, orthogonale pour un certain produit scalaire. Ce produit scalaire étant fixé, une telle suite est presque unique (unique à produit près de ses vecteurs par des scalaires non nuls), et peut s'obtenir à partir de la base canonique Modèle:Math (non orthogonale en général), par le procédé de Gram-Schmidt.

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre orthonormale, c'est-à-dire telle que $⟨p_n,p_n⟩=1$ pour tout n, en divisant chaque Modèle:Mvar par sa norme. Dans le cas des polynômes, on préfère ne pas imposer cette condition supplémentaire car il en résulterait souvent des coefficients contenant des racines carrées. On préfère souvent choisir un multiplicateur tel que les coefficients restent rationnels, et donnent des formules aussi simples que possible. C'est la standardisation. Les polynômes « classiques » énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ou leur valeur en un point ont été mis à une quantité donnée (pour les polynômes de Legendre, Modèle:Math). Cette standardisation est une convention qui pourrait aussi parfois être obtenue par une mise à l'échelle de la fonction poids correspondante. Notons

$h_n=⟨p_n,p_n⟩$

(la norme de Modèle:Mvar est la racine carrée de Modèle:Mvar). Les valeurs de Modèle:Mvar pour les polynômes standardisés sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

$⟨p_m,p_n⟩={\delta }_{mn}{h}_n$ ;

où Modèle:Mvar est le symbole de Kronecker.

Toute suite Modèle:Math de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés remarquables. Pour commencer :

• Lemme 1 : Modèle:Math est une base de ${ℝ}_n[x]$
• Lemme 2 : Modèle:Mvar est orthogonal à ${ℝ}_{n-1}[x]$.

Le lemme 1 est dû au fait que Modèle:Mvar est de degré k. Le lemme 2 vient de ce que, de plus, les Modèle:Mvar sont orthogonaux deux à deux.

Relation de récurrence

Pour toute suite de polynômes orthogonaux, il existe une relation de récurrence relativement à trois polynômes consécutifs.

$p_{n+1}=(a_{n}x+b_n)p_n-c_n{p}_{n-1}$

Les coefficients Modèle:Math sont donnés par

$a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},b_n=a_n(\frac{k_{n^{\prime }+1}}{k_{n+1}}-\frac{{k_n}^{\prime }}{k_n}),c_n=a_n\left(\frac{k_{n-1}{h}_n}{k_n{h}_{n-1}}\right),$

où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar désignent les deux premiers coefficients de Modèle:Mvar :

$p_j(x)=k_j{x}^j+{k_j}^{\prime }{x}^{j-1}+\cdots$

et Modèle:Mvar le produit scalaire de Modèle:Mvar par lui-même :

$h_j=⟨p_j,p_j⟩$.

(Par convention, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math sont nuls.)

Modèle:Démonstration Ce résultat admet une réciproque, le théorème de Favard, affirmant que sous certaines conditions supplémentaires, une suite de polynômes satisfaisant cette récurrence est une suite de polynômes orthogonaux (pour une certaine fonction de pondération W).

Noyau de Christoffel-Darboux

Dans l'[[espace L2|espace LModèle:2]] associé à W, notons Modèle:Mvar la projection orthogonale sur ${ℝ}_n[x]$ : pour toute fonction Modèle:Mvar telle que $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)W(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }$,

$(S_{n}f)(x)=\sum _{k=0}^n\frac{⟨f,p_k⟩}{h_k}{p}_k(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{K}_n(x,y)f(y)W(y)\mathrm{d}y,$

où Modèle:Mvar est le noyau de Christoffel-Darboux, défini par :

$K_n(x,y)=\sum _{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}.$

La relation de récurrence précédente permet alors de montrer :

$K_n(x,y)=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_n(x)p_{n+1}(y)}{x-y},$

$K_n(x,x)=\frac{k_n}{k_{n+1}{h}_n}(p{\text{'}}_{n+1}(x)p_n(x)-p{\text{'}}_n(x)p_{n+1}(x)).$

Existence de racines réelles

Tout polynôme d'une suite de polynômes orthogonaux dont le degré n est supérieur ou égal à 1 admet n racines distinctes, toutes réelles, et situées strictement à l'intérieur de l'intervalle d'intégration (c'est une propriété remarquable : il est rare, pour un polynôme de degré élevé dont les coefficients ont été choisis au hasard, d'avoir toutes ses racines réelles).

Position des racines

Les racines des polynômes se trouvent strictement entre les racines du polynôme de degré supérieur dans la suite. Modèle:Démonstration

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une équation différentielle de Sturm-Liouville de la forme

$Q(x)f^{″}+L(x)f^{\prime }+\lambda f=0$

où Q est un polynôme quadratique donné et L un polynôme linéaire donné. La fonction f est inconnue, et la constante λ est un paramètre. On peut remarquer qu'une solution polynomiale est a priori envisageable pour une telle équation, les degrés des termes étant compatibles. Cependant, les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de ces valeurs λModèle:Ind, λModèle:Ind, λModèle:Ind, etc. conduit à une suite de polynômes solutions PModèle:Ind, PModèle:Ind, PModèle:Ind... si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

1. Q est vraiment quadratique et a deux racines réelles distinctes, L est linéaire et sa racine est située entre les deux racines de Q, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe.
2. Q n'est pas quadratique, mais linéaire, L est linéaire, les racines de Q et L sont différentes, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe si la racine de L est plus petite que celle de Q, ou inversement.
3. Q est un polynôme constant non nul, L est linéaire, et le terme de plus haut degré de L est de signe opposé à celui de Q.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de Jacobi, de Laguerre et d'Hermite. Pour chacun de ces cas :

• La solution est une suite de polynômes PModèle:Ind, PModèle:Ind, PModèle:Ind…, chaque PModèle:Ind ayant un degré n, et correspondant au nombre λModèle:Ind ;
• L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de Q ;
• La racine de L est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
• En notant $R(x)=\exp \left(\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{L(t)}{Q(t)}\mathrm{d}t\right)$, les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids $W(x)=\frac{R(x)}{Q(x)}$
• W(x) ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire aux extrémités.
• W(x) peut être choisi positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par –1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité R(x) est définie à une constante multiplicative près. Le tableau ci-dessous donne les valeurs "officielles" de R(x) et W(x).

Formule de Rodrigues

Avec les hypothèses de la section précédente, P_n(x) est proportionnel à $\frac{1}{W(x)}\frac{d^n}{d{x}^n}(W(x)[Q(x){]}^n)$

équation mieux connue sous le nom de « formule de Rodrigues », du nom d'Olinde Rodrigues. Elle est souvent écrite :

$P_n(x)=\frac{1}{e_{n}W(x)}\frac{d^n}{d{x}^n}(W(x)[Q(x){]}^n)$

où les nombres e_n dépendent de la normalisation. Les valeurs de e_n sont données dans le tableau plus bas.

Pour démontrer cette formule on vérifie, dans chacun des trois cas ci-dessus, que le P_n qu'elle fournit est bien un polynôme de degré n, puis, par intégrations par parties répétées, que pour tout polynôme P, $⟨\frac{1}{W}(W{Q}^n{)}^{(n)},P⟩$ est égal à $(-1{)}^n⟨Q^n,P^{(n)}⟩,$ donc est nul si P est de degré inférieur à n. Cette méthode montre en outre que $h_n{e}_n=(-1{)}^{n}n!k_n\underset{a}{\overset{b}{\int }}(Q(x){)}^{n}W(x)\mathrm{d}x$.

Les nombres λ_n

Avec les hypothèses de la section précédente,

${\lambda }_n=n(\frac{1-n}{2}{Q}^{″}-L^{\prime })$

On remarquera que Q étant quadratique et L linéaire, QModèle:'' et LModèle:' sont bien des constantes.

Seconde forme de l'équation différentielle

Avec $R(x)=\exp \left(\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{L(t)}{Q(t)}\mathrm{d}t\right)$.

Alors

$(R{y}^{\prime }{)}^{\prime }=R{y}^{″}+R^{\prime }{y}^{\prime }=R{y}^{″}+\frac{RL}{Q}{y}^{\prime }$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

$Q{y}^{″}+L{y}^{\prime }+\lambda y=0$

par R/Q, on obtient

$R{y}^{″}+\frac{RL}{Q}{y}^{\prime }+\frac{R\lambda }{Q}y=0$

ou encore

$(R{y}^{\prime }{)}^{\prime }+\frac{R\lambda }{Q}y=0$

C'est la forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

Troisième forme de l'équation différentielle

En posant $S(x)=\sqrt{R(x)}=\exp \left(\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{L(t)}{2Q(t)}\mathrm{d}t\right)$.

Alors :

$S^{\prime }=\frac{SL}{2Q}.$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

$Q{y}^{″}+L{y}^{\prime }+\lambda y=0$

par S/Q, on obtient :

$S{y}^{″}+\frac{SL}{Q}{y}^{\prime }+\frac{S\lambda }{Q}y=0$

ou encore

$S{y}^{″}+2S^{\prime }{y}^{\prime }+\frac{S\lambda }{Q}y=0$

Mais $(Sy{)}^{″}=S{y}^{″}+2S^{\prime }{y}^{\prime }+S^{″}y$, donc

$(Sy{)}^{″}+(\frac{S\lambda }{Q}-S^{″})y=0,$

ou, en posant u = Sy,

$u^{″}+(\frac{\lambda }{Q}-\frac{S^{″}}{S})u=0.$

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Pour des raisons de mise en page, ce tableau est scindé en trois parties.

Nom et symbole conventionnel	Tchebychev, $T_n$	Tchebychev (seconde sorte), $U_n$	Legendre, $P_n$	Hermite (forme physique), $H_n$
Limite d'orthogonalité	$-1,1$	$-1,1$	$-1,1$	$-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$
Poids, $W(x)$	$(1-x^2{)}^{-1/2}$	$(1-x^2{)}^{1/2}$	$1$	${\mathrm{e}}^{-x^2}$
Normalisation	$T_n(1)=1$	$U_n(1)=n+1$	$P_n(1)=1$	Coefficient dominant = $2^n$
Carré de la norme $h_n$	$\{\begin{array}{cc}\pi & :n=0\\ \pi /2& :n\ne 0\end{array}$	$\pi /2$	$\frac{2}{2n+1}$	$2^{n}n!\sqrt{\pi }$
Coefficient dominant $k_n$	$\{\begin{array}{cc}1& :n=0\\ 2^{n-1}& :n\ne 0\end{array}$	$2^n$	$\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}$	$2^n$
Coefficient suivant $k{\text{'}}_n$	$0$	$0$	$0$	$0$
$Q$	$1-x^2$	$1-x^2$	$1-x^2$	$1$
$L$	$-x$	$-3x$	$-2x$	$-2x$
$R(x)=\exp (\int \frac{L(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x)$	$(1-x^2{)}^{1/2}$	$(1-x^2{)}^{3/2}$	$1-x^2$	${\mathrm{e}}^{-x^2}$
Constante dans l'équation différentielle ${\lambda }_n$	$n^2$	$n(n+2)$	$n(n+1)$	$2n$
Constante dans la formule de Rodrigues $e_n$	$(-2{)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1/2)}{\sqrt{\pi }}$	$2(-2{)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(n+3/2)}{(n+1)\sqrt{\pi }}$	$(-2{)}^{n}n!$	$(-1{)}^n$
Relation de récurrence $a_n$	$2$	$2$	$\frac{2n+1}{n+1}$	$2$
Relation de récurrence $b_n$	$0$	$0$	$0$	$0$
Relation de récurrence $c_n$	$1$	$1$	$\frac{n}{n+1}$	$2n$

Nom et symbole	Laguerre associé $L_n^{(\alpha )}$	Laguerre $L_n$
Limites d'orthogonalité	$0,\mathrm{\infty }$	$0,\mathrm{\infty }$
Poids, $W(x)$	$x^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-x}$	${\mathrm{e}}^{-x}$
Normalisation	Coefficient dominant = $\frac{(-1{)}^n}{n!}$	Coefficient dominant = $\frac{(-1{)}^n}{n!}$
Carré de la norme $h_n$	$1$	$1$
Coefficient dominant $k_n$	$\frac{(-1{)}^n}{n!}$	$\frac{(-1{)}^n}{n!}$
Coefficient suivant $k{\text{'}}_n$	$\frac{(-1{)}^{n+1}(n+\alpha )}{(n-1)!}$	$\frac{(-1{)}^{n+1}n}{(n-1)!}$
$Q$	$x$	$x$
$L$	$\alpha +1-x$	$1-x$
$R(x)=\exp (\int \frac{L(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x)$	$x^{\alpha +1}{\mathrm{e}}^{-x}$	$x{\mathrm{e}}^{-x}$
Constante dans l'équation différentielle ${\lambda }_n$	$n$	$n$
Constante dans la relation de Rodrigues $e_n$	$n!$	$n!$
Relation de récurrence $a_n$	$\frac{-1}{n+1}$	$\frac{-1}{n+1}$
Relation de récurrence $b_n$	$\frac{2n+1+\alpha }{n+1}$	$\frac{2n+1}{n+1}$
Relation de récurrence $c_n$	$\frac{n+\alpha }{n+1}$	$\frac{n}{n+1}$

Nom et symbole	Gegenbauer $C_n^{(\alpha )}$	Jacobi $P_n^{(\alpha ,\beta )}$
Limites d'orthogonalité	$-1,1$	$-1,1$
Poids $W(x)$	$(1-x^2{)}^{\alpha -1/2}$	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$
Normalisation	$C_n^{(\alpha )}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!\mathrm{\Gamma }(2\alpha )}$ si $\alpha \ne 0$	$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1+\alpha )}{n!\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )}$
Carré de la norme $h_n$	$\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )(\mathrm{\Gamma }(\alpha ){)}^2}$	$\frac{2^{\alpha +\beta +1}\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{n!(2n+\alpha +\beta +1)\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)}$
Coefficient dominant $k_n$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )\mathrm{\Gamma }(1/2+\alpha )}{n!2^n\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+1/2+\alpha )}$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+1+\alpha +\beta )}{n!2^n\mathrm{\Gamma }(n+1+\alpha +\beta )}$
Coefficient suivant $k{\text{'}}_n$	$0$	$\frac{(\alpha -\beta )\mathrm{\Gamma }(2n+\alpha +\beta )}{(n-1)!2^n\mathrm{\Gamma }(n+1+\alpha +\beta )}$
$Q$	$1-x^2$	$1-x^2$
$L$	$-(2\alpha +1)x$	$\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x$
$R(x)=\exp (\int \frac{L(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x)$	$(1-x^2{)}^{\alpha +1/2}$	$(1-x{)}^{\alpha +1}(1+x{)}^{\beta +1}$
Constante dans l'équation différentielle ${\lambda }_n$	$n(n+2\alpha )$	$n(n+1+\alpha +\beta )$
Constante dans l'équation de Rodrigues $e_n$	$\frac{(-2{)}^{n}n!\mathrm{\Gamma }(2\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+1/2+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +1/2)}$	$(-2{)}^{n}n!$
Relation de récurrence $a_n$	$\frac{2(n+\alpha )}{n+1}$	$\frac{(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha +\beta )}$
Relation de récurrence $b_n$	$0$	$\frac{({\alpha }^2-{\beta }^2)(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1)(2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}$
Relation de récurrence $c_n$	$\frac{n+2\alpha -1}{n+1}$	$\frac{(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}$

Généralisations et termes avancés

Polynômes orthogonaux à plusieurs variables

Il est possible de définir des polynômes orthogonaux à plusieurs variables à l'aide d'intégrales multiples. C'est par exemple le cas des polynômes de Zernike, utiles en optique géométrique et en ophtalmologie, ou, plus généralement encore, celui des harmoniques sphériques.

Polynômes orthogonaux multiples

Modèle:Article détaillé Une autre généralisation sont les polynômes orthogonaux multiples, qui sont des polynômes orthogonaux par rapport à un ensemble fini de mesures.

Polynômes orthogonaux discrets

Les polynômes orthogonaux discrets sont des polynômes orthogonaux par rapport à une mesure discrète.

Polynômes quantiques

Les polynômes quantiques ou les q-polynômes sont des q-analogues des polynômes orthogonaux.

Polynômes orthogonaux avec matrices

Ce sont des polynômes orthogonaux impliquant des matrices. Les matrices peuvent être soit les coefficients $\{a_i\}$ soit l'indéterminée $x$ :

• Variante 1 : $P(x)=A_n{x}^n+A_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_0$, où $\{A_i\}$ sont des matrices de taille $p\times p$.
• Variante 2 : $P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0{I}_p$, où $X$ est une matrice de taille $p\times p$ et $I_p$ est la matrice identité.

Polynômes orthogonaux de Sobolev

Ce sont des polynômes orthogonaux par rapport à une produit intérieur de Sobolev, c'est-à-dire un produit intérieur avec des dérivés.

Annexes

Bibliographie en français

• Modèle:Chapitre
• Jean-Louis Ovaert, Polynômes orthogonaux, dans Dictionnaire des mathématiques, algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel et Encyclopædia Universalis, Paris, 1997

Bibliographie en anglais

• Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Chapitre
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:EncycloMath
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Matrice aléatoire
• Mesure secondaire et Polynôme secondaire
• Polynôme d'Askey-Wilson
• Série de Fourier généralisée
• Développements asymptotiques de Plancherel-Rotach