Polynôme secondaire

Modèle:Travail inédit Modèle:Ébauche Modèle:À sourcer En mathématiques, un polynôme secondaire est une expression mathématique apparentant au groupe des polynômes.

Introduction et définition

On se place sur l'espace de Hilbert $L^2(I,ℝ,\rho )$ où $I$ est un intervalle de $ℝ$ et $\rho$ la densité de la mesure.

Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux ${\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sont les polynômes ${\left(Q_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ obtenus par la relation :

$Q_n(X)=\underset{I}{\int }\frac{P_n(t)-P_n(X)}{t-X}\rho (t)\text{d}t$

Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les $P_n$ :

si $P_n$ s'écrit : $P_n(X)={\alpha }_n{X}^n+{\alpha }_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_{1}X+{\alpha }_0$

alors la relation de récurrence est :

$X{P}_n(X)=\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_{n+1}}{P}_{n+1}(X)+(\frac{{\beta }_n}{{\alpha }_n}-\frac{{\beta }_{n+1}}{{\alpha }_{n+1}})P_n(X)+\frac{{\alpha }_{n-1}||P_n|{|}^2}{{\alpha }_n||P_{n-1}|{|}^2}{P}_{n-1}(X)$

Voir aussi

Les polynômes secondaires sont à la base de la théorie des mesures secondaires.