Projection orthogonale

En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire :

• en géométrie plane, c'est une projection telle que les deux droites — la droite sur laquelle on projette et la direction de projection — sont perpendiculaires ;
• en géométrie dans l'espace, c'est une projection telle que la droite et le plan — quels que soient leurs rôles respectifs — sont perpendiculaires.

La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance).

• De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur dont le noyau et l’image sont orthogonaux.
• La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type « moindres carrés ».
• L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.
• Le fil à plomb est un outil qui permet de visualiser la projection orthogonale d'un point sur un plan (en première analyse du moins).

Dessin par projection orthogonale

Exemple de projection orthogonale sur un plan

Les projections orthogonales sont utilisées pour le dessin, notamment le dessin technique et les jeux vidéo. On distingue typiquement deux types de projections utilisées :

• la géométrie descriptive : le plan de projection contient deux des axes du repère orthonormé direct ;
• la perspective axonométrique : le plan de projection est distinct des plans sus-cités.

Voir ces articles.

Le dessin par projection orthogonale ne présente pas de raccourcissement avec la distance (effet de perspective, point de fuite). C'est une représentation fidèle de ce que l'on voit tant que la profondeur de champ est faible.

L'avantage de ces représentations est qu'elles sont simples à réaliser, et que les éléments parallèles au plan de projection — arêtes, surfaces, angles — sont « en vraie grandeur » (VG) : la longueur et l'aire des éléments projetés sont proportionnels à leur grandeur réelle, l'angle est égal à l'angle réel. Le rapport entre la longueur représentée et la longueur réelle constitue l'échelle du dessin.

Projection orthogonale en géométrie affine « élémentaire »

Géométrie plane

Projeté orthogonal sur une droite, distance

Projection orthogonale d'un point Modèle:Mvar sur une droite Modèle:Math.

Propriétés associées à la projection.

L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan usuel (affine euclidien) : la projection orthogonale sur une droite Modèle:Math d'un point Modèle:Mvar, notée Modèle:Math, est le point Modèle:Mvar appartenant à Modèle:Math tel que les droites Modèle:Math et Modèle:Math soient perpendiculaires :

$p_{(D)}(A)=H.$

On utilise souvent l'expression « abaisser la perpendiculaire issue de Modèle:Mvar » pour la construction de Modèle:Mvar, qui peut se faire à la règle et au compas. Analytiquement, Modèle:Mvar peut se trouver en effectuant le produit scalaire :

soit $\overrightarrow{v}$ un vecteur directeur de Modèle:Math orientant cette droite et Modèle:Mvar un point de Modèle:Math, on a :

• si $\overrightarrow{v}$ est unitaire : $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{H}}\overrightarrow{v}=(\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{v}$
• si $\overrightarrow{v}$ est quelconque (pas nécessairement unitaire) : $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{H}}=\frac{\overline{\mathrm{B}\mathrm{H}}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2}\overrightarrow{v}$.

Modèle:Démonstration Notons que l'on a

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HA}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{H}}\perp \overrightarrow{HA}$.

La distance Modèle:Mvar est alors inférieure aux distances Modèle:Mvar pour les autres points Modèle:Mvar de Modèle:Math, strictement sauf si Modèle:Mvar.

Cette distance est appelée distance du point Modèle:Mvar à la droite Modèle:Math, et est souvent notée Modèle:Math :

$d(A,(D))=AH=\underset{M\in (D)}{\min }(AM)$.

Le calcul explicite peut se faire par l'application des formules de trigonométrie pour les triangles rectangles.

Le point Modèle:Mvar est sur la droite Modèle:Math si et seulement s'il est égal à son projeté (Modèle:Mvar), ou encore si et seulement si sa distance à Modèle:Math est nulle :

$d(A,(D))=0$.

En géométrie analytique, si l'on note

$A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),H(x_H,y_H),\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}{x}_v\\ y_v\end{array}\right)$

on a :

$\overline{BH}=\frac{(x_A-x_B)x_v+(y_A-y_B)y_v}{\sqrt{x_v^2+y_v^2}}$

$\{\begin{array}{cc}{x}_H=& x_B+\frac{\overline{BH}}{\sqrt{x_v^2+y_v^2}}{x}_v\\ y_H=& y_B+\frac{\overline{BH}}{\sqrt{x_v^2+y_v^2}}{y}_v\\ \end{array}$

Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite

Projection orthogonale d'une droite Modèle:Math sur une droite Modèle:Math.

Toujours dans le plan affine euclidien, on peut considérer deux droites sécantes Modèle:Math et Modèle:Math formant un angle Modèle:Math. La projection orthogonale est l'application Modèle:Math qui à chaque point Modèle:Mvar de Modèle:Math associe son projeté orthogonal

$H=p_{(D^{\prime })}(M)$.

Le point d'intersection Modèle:Math de Modèle:Math et de Modèle:Math est son propre projeté :

$p_{(D^{\prime })}(I)=I$.

Une propriété remarquable de la projection est la façon dont elle transforme les distances. Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des points de Modèle:Math et Modèle:Math, Modèle:Math, leur projeté orthogonal respectif, on obtient

$M^{\prime }{N}^{\prime }=MN\cos \theta$.

Notamment on remarquera, par parité de la fonction cosinus, que projeter orthogonalement les éléments de Modèle:Math sur Modèle:Math multiplie toutes les distances par un facteur Modèle:Math, mais projeter orthogonalement les éléments de Modèle:Math sur Modèle:Math multiplie toutes les distances par le même facteur.

Géométrie dans l'espace

Projeté orthogonal sur une droite, distance

Soit Modèle:Math une droite de l'espace E. La définition et la formule vectorielle de la projection orthogonale sur Modèle:Math sont en tous points similaires au cas de la géométrie plane. La seule différence est que la réciproque de la projection pour un point Modèle:Mvar de Modèle:Math — l'ensemble des points de l'espace se projetant en Modèle:Mvar, $\{A\in E/p_{(D)}(A)=H\}$ — est un plan perpendiculaire à Modèle:Math.

Projeté orthogonal sur un plan, distance

Projection orthogonale d'un point Modèle:Mvar sur un plan Modèle:Mvar.

La projection orthogonale d'un point Modèle:Mvar sur un plan Modèle:Mvar est le point Modèle:Mvar appartenant à Modèle:Mvar tel que la droite Modèle:Math soit perpendiculaire au plan Modèle:Mvar.

La distance Modèle:Mvar est alors inférieure aux distances Modèle:Mvar pour les autres points Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, strictement sauf si Modèle:Mvar. Cette distance est appelée distance du point Modèle:Mvar au plan Modèle:Mvar, et est souvent noté Modèle:Math :

$d(A,P)=AH=\underset{M\in P}{\min }(AM)$.

En géométrie analytique, si le plan Modèle:Mvar a pour équation Modèle:Math et le point Modèle:Mvar pour coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$, les coordonnées du point Modèle:Mvar projeté de Modèle:Mvar sur le plan Modèle:Mvar sont : Modèle:Retrait La distance du point Modèle:Mvar au plan Modèle:Mvar est donnée par : Modèle:Retrait

Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien

Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections « obliques ».

On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F considéré.

Projection orthogonale sur une droite vectorielle

Si F est une droite vectorielle engendrée par le vecteur Modèle:Math, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est un hyperplan appelé hyperplan normal à F et défini par

${\mathrm{F}}^{\perp }=\{h\in \mathrm{E},(h\cdot a)=0\}$

Si Modèle:Math est un vecteur arbitraire de E, on peut toujours le décomposer de la façon suivante

$x=x_{\mathrm{F}}+x_{\perp }$ avec $x_{\mathrm{F}}=\frac{(x\cdot a)}{\Vert a{\Vert }^2}a$

Et on constate que $x_{\mathrm{F}}$ est dans F, tandis que $x_{\perp }=x-x_{\mathrm{F}}$ est dans l'hyperplan normal à F.

Il est donc toujours possible d'effectuer une projection orthogonale sur une droite vectorielle.

Transitivité

Si G ⊂ F ⊂ E, si Modèle:Math est le projeté orthogonal de Modèle:Math sur F et Modèle:Math le projeté orthogonal de Modèle:Math sur G, alors Modèle:Math est le projeté orthogonal de Modèle:Math sur G. Ceci généralise le « théorème des trois perpendiculaires », qui correspond au cas où E est l'espace euclidien de dimension 3, F est un plan de E, et G une droite de ce plan.

Existence d'une projection orthogonale

On peut donner un exemple d'espace F pour lequel la notion de projection orthogonale sur F n'a pas de sens. Ainsi si on considère l'espace $ℝ[\mathrm{X}]$ des polynômes réels muni de son produit scalaire usuel, et F l'hyperplan Modèle:Math, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est réduit à {0}. On ne peut donc décomposer les éléments de E, autres que ceux de F, en un élément de F et un élément orthogonal.

Cet exemple est frappant : alors qu'une droite a toujours un supplémentaire orthogonal (unique d'ailleurs), un hyperplan peut très bien n'avoir aucun supplémentaire orthogonal. Il est difficile de faire un dessin convaincant pour une telle situation !

Plus généralement, on a équivalence entre les propriétés suivantes :

1. Il existe une projection orthogonale sur F ;
2. L'espace F admet un supplémentaire orthogonal ;
3. L'espace FModèle:Math est le supplémentaire orthogonal de F.

Ceci montre au passage que le supplémentaire orthogonal, s'il existe, est unique.

Lorsque F admet un supplémentaire orthogonal, (FModèle:Math)Modèle:Math = F donc F est nécessairement fermé, puisque l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel l'est.

Un cas d'existence important

• On peut généraliser la formule de projection sur une droite si F est de dimension finie. En effet, en considérant une base orthonormale Modèle:Math de F, on exhibe la décomposition
  $x=x_{\mathrm{F}}+x_{\perp }$ avec $x_{\mathrm{F}}=\sum _{i=1}^n(e_i\cdot x)e_i$
  Attention à ne pas appliquer cette formule avec une base de F quelconque !
• Si E est un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé, alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.

Le point commun entre les deux conditions suffisantes ci-dessus est qu'elles entraînent la complétude de F (tout sous-espace de dimension finie d'un préhilbert est complet, et tout sous-espace fermé d'un Hilbert également). Cette hypothèse plus faible est en fait suffisante :

Modèle:Énoncé Deux preuves sont présentées dans Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert.

Minimisation de la distance

La distance d'un vecteur Modèle:Math au sous-espace F est par définition la borne inférieure des distances de Modèle:Math à tous les vecteurs de F :

$d(x,\mathrm{F})=\underset{y\in \mathrm{F}}{\inf }\Vert x-y\Vert \text{.}$

Si le sous-espace F admet un supplémentaire orthogonal, le projeté orthogonal Modèle:Math de Modèle:Math sur F est le point de F le plus proche de Modèle:Math (donc l'inf ci-dessus est en fait un min), ce qui fournit une définition alternative de Modèle:Math : Modèle:Énoncé

En effet, non seulement ║Modèle:Math – Modèle:Math║ majore la distance Modèle:Math (puisqu'il fait partie des ║Modèle:Math – Modèle:Math║ dont Modèle:Math est la borne inférieure), mais il la minore également : pour tout Modèle:Math de F distinct de Modèle:Math on a même ║Modèle:Math – Modèle:Math║ > ║Modèle:Math – Modèle:Math║, d'après l'identité de Pythagore.

Cette propriété est généralisée dans l'article « Théorème de projection sur un convexe fermé ».

Caractérisations parmi les projecteurs

Par la norme subordonnée

Une application linéaire Modèle:Math sur l'espace préhilbertien E est k-lipschitzienne sur E si et seulement si

$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{E},\Vert \mathrm{p}(x)\Vert \le k\Vert x\Vert$,

et la norme subordonnée de Modèle:Math est alors la plus petite des constantes k telles que Modèle:Math soit k-lipschitzienne.

On peut alors énoncer la caractérisation :

Voir aussi

• Pseudo-solution d'un système linéaire
• Base de Hilbert
  • Série de Fourier
  • Polynômes orthogonaux
• Déterminant de Gram