Projecteur (mathématiques)

Un exemple de projection

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• une projection linéaire associée à une décomposition d'un espace vectoriel E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
• une application linéaire idempotente : elle vérifie Modèle:Math.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }!(x^{\prime },x^{″})\in F\times G,x=x^{\prime }+x^{″}$. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application :

$\begin{array}{ccc}p:& E=F\oplus G& \to E\\ & x=x^{\prime }+x^{″}& \mapsto x^{\prime }.\end{array}$

Propriétés

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (Modèle:Math), d'image Modèle:Math et de noyau Modèle:Math. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant Modèle:Math. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : Modèle:Math et Modèle:Math.

Projecteurs de même image

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

• Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
• Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors pModèle:2 = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, rModèle:2 = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel Modèle:Math est somme directe de sous-espaces vectoriels $E_1,\cdots ,E_n$ si et seulement s'il existe une famille de projecteurs $p_i:E\to E_i$ (pour $i\in \{1,\cdots ,n\}$) vérifiant : ${\mathrm{id}}_E=p_1+\cdots +p_n$ et $p_i\circ p_j=0$ si Modèle:Math.

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que sModèle:2 est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

• En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que pModèle:2 = p, ou que sModèle:2 = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Modèle:Article détaillé

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si $\ker (p)=(\mathrm{im}(p){)}^{\perp }$. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note $ℬ=(e_1,\dots ,e_r,e_{r+1},\dots ,e_n)$ une base de Modèle:Math avec $e_1,\dots ,e_r$ des vecteurs de Modèle:Math et $e_{r+1},\dots ,e_n$ des vecteurs de Modèle:Math (ce qui est possible, car l'image et le noyau de Modèle:Math sont supplémentaires), alors la matrice de Modèle:Math dans cette base adaptée s'écrit :

${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{ℬ}(p)=\left(\begin{array}{cc}{𝐈}_r& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& {\mathrm{𝟎}}_{n-r}\end{array}\right).$

On a donc les propriétés suivantes :

• sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
• les autres coefficients sont nuls.

Utilité des projecteurs

En géométrie projective

En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit $E={ℝ}^3\text{ et }ℝP^2$ l'espace projectif associé. Soit $a\in ℝP^2$ et $d=\pi (𝒫)$ une droite projective ne passant pas par $a$. Soit $\hat{a}$ un représentant de $a$ et soit $p$ la projection sur $𝒫$ parallèlement à $ℝ\hat{a}$.

Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale $p_{a,d}$, projection de centre $a$ sur la droite $d$.

$\begin{array}{ccc}E-ℝ\hat{a}& \stackrel{p}{\to }& E-\{0\}\\ \pi \downarrow & & \pi \downarrow \\ ℝP^2-\{a\}& \stackrel{p_{a,d}}{\to }& ℝP^2\end{array}$

Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective.

En géométrie affine

Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.

En théorie des séries de Fourier

Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat.