Polynôme de Jacobi

En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;\frac{1-z}{2}),$

où $(\alpha +1{)}_n$ est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{z-1}{2}\right)}^m,$

pour laquelle la valeur finale est

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}).$

Ici, pour l'entier $n$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(z-n+1)},$

et $\mathrm{\Gamma }(z)$ est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété $1/\mathrm{\Gamma }(n+1)=0$ pour $n=-1,-2,\dots$. Ainsi,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=0\text{pour}n<0.$

Les polynômes ont la relation de symétrie $P_n^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1{)}^n{P}_n^{(\beta ,\alpha )}(z)$ ; ainsi, l'autre valeur finale est

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n}).$

Pour un nombre réel $x$, le polynôme de Jacobi peut aussi être écrit sous la forme

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n-s}){\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s$

où $s\ge 0$ et $n-s\ge 0$.

Dans le cas particulier où les quatre quantités $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$ et $n+\alpha +\beta$ sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _s{[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!]}^{-1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.$

La somme sur $s$ s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner $d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )$ ($0\le \varphi \le 4\pi$) en termes de polynômes de Jacobi

$d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )={\left[\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m^{\prime })!(j-m^{\prime })!}\right]}^{1/2}{(\sin \frac{\varphi }{2})}^{m-m^{\prime }}{(\cos \frac{\varphi }{2})}^{m+m^{\prime }}{P}_{j-m}^{(m-m^{\prime },m+m^{\prime })}(\cos \varphi ).$

Dérivées

La $k$-ème dérivée de l'expression explicite conduit à

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{z}^k}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1+k)}{2^k\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}{P}_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Articles connexes

• Polynôme de Gegenbauer
• Inégalité d'Askey-Gasper

Liens externes

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