Inégalité d'Askey-Gasper

En mathématiques, lModèle:'inégalité d'Askey-Gasper est une inégalité sur les polynômes de Jacobi démontrée par Richard Askey et Modèle:Lien en 1976 et qui est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach.

Énoncé

L'énoncé est : Modèle:Théorème

Pour Modèle:Math, la formule peut s'écrire

${}_3{F}_2(-n,n+\alpha +2,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +3),\alpha +1;t)>0,\text{ avec }0\le t<1,\alpha >-1.$

C'est dans cette forme, avec Modèle:Mvar entier, que l'inégalité a été utilisée par Louis de Branges dans sa démonstration de la conjecture de Bieberbach.

Démonstration

Shalosh B. Ekhad a donné une preuve courte de cette inégalité, en combinant l'inégalité :

$\begin{array}{cc}\frac{(\alpha +2{)}_n}{n!}& \times {}_3{F}_2(-n,n+\alpha +2,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +3),\alpha +1;t)\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_j{(\frac{\alpha }{2}+1)}_{n-j}{(\frac{\alpha }{2}+\frac{3}{2})}_{n-2j}(\alpha +1{)}_{n-2j}}{j!{(\frac{\alpha }{2}+\frac{3}{2})}_{n-j}{(\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{2})}_{n-2j}(n-2j)!}\times {}_3{F}_2(-n+2j,n-2j+\alpha +1,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +2),\alpha +1;t)\end{array}$

avec la Modèle:Lien.

Généralisations

Gasper et Rahman donnent, dans leur livre, quelques généralisations de l'inégalité d'Askey-Gasper à des q-analogues de séries hypergéométriques généralisées.

Voir aussi

• Modèle:Lien