Conjecture de Bieberbach

La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique, c'est maintenant un théorème que l'on peut formuler comme suit: toute fonction entière Modèle:Math injective sur le disque unité et s'écrivant :

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

a des coefficients satisfaisant l'inégalité :

$|a_n|\le n|a_1|.$

Démonstration

Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.

On définit habituellement la classe S des fonctions Modèle:Math injectives sur le disque unité telles que $a_0=0$ et $a_1=1$. Ces fonctions sont dites Modèle:Lang. La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme $|a_n|\le n$.

Le cas particulier n = 2 a été démontré par Ludwig Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème du quart de Koebe : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.

Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood

$|a_n|\le \mathrm{e}n|a_1|.$

Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach : celle de Modèle:Lien (1971), qui l'impliquait.

Voir aussi

Bibliographie

• Joseph Oesterlé, Démonstration de la conjecture de Bieberbach, Séminaire Bourbaki, 27 (1984-1985), Exposé No. 649, p. 319-334
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article

Articles connexes

• Critère de Nevanlinna
• Modèle:Lien
• Inégalité d'Askey-Gasper
• Inégalité de Lebedev-Milin