Mesure secondaire

Modèle:TI En théorie de la mesure, la mesure secondaire associée à une mesure de densité positive Modèle:Math est, lorsqu'elle existe, une mesure de densité positive qui rend orthogonaux les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux pour Modèle:Math.

Exemple

Sous certaines hypothèses que nous préciserons plus loin, il est possible d'obtenir l'existence d'une telle mesure et même de l'exprimer :

Par exemple si on travaille dans l'espace de Hilbert $L^2([0,1],ℝ,\rho )$

$\mathrm{\forall }x\in [0,1],\mu \left(x\right)=\frac{\rho \left(x\right)}{\frac{{\phi }^2\left(x\right)}{4}+{\pi }^2{\rho }^2\left(x\right)}$

avec dans le cas général :

$\phi \left(x\right)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(x-t)\rho \left(t\right)}{{(x-t)}^2+{\epsilon }^2}\mathrm{d}t.$

Dans le cas où Modèle:Mvar est lipschitzienne :

$\phi \left(x\right)=2\rho \left(x\right)\text{ln}\left(\frac{x}{1-x}\right)-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\rho \left(t\right)-\rho \left(x\right)}{t-x}\mathrm{d}t.$

Cette application Modèle:Mvar est dite « réductrice » de Modèle:Mvar.

Dans un cadre plus général, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont reliées via leurs transformées de Stieltjes par la formule suivante :

$S_{\mu }\left(z\right)=z-c_1-\frac{1}{S_{\rho }\left(z\right)}$

où Modèle:Math est le moment d'ordre 1 de la mesure Modèle:Math.

Ces mesures secondaires, et la théorie qui les entoure, conduisent à quelques résultats surprenants, et permettent de retrouver de façon élégante un bon nombre de formules classiques d'analyse, principalement autour des fonctions [[Fonction gamma|Modèle:Math]] d'Euler, ζ de Riemann, et de la constante d'Euler-Mascheroni. Elles permettent aussi l'explicitation d'intégrales et de séries a priori difficiles avec une efficacité redoutable. Enfin elles permettent de résoudre des équations intégrales de la forme :

$f\left(x\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{g\left(t\right)-g\left(x\right)}{t-x}\rho \left(t\right)\mathrm{d}t$

où Modèle:Mvar est la fonction inconnue, et conduisent à des théorèmes de convergence vers les mesures de Tchebychev et Dirac.

Les grandes lignes de la théorie

Soit un espace mesuré par une mesure de densité positive Modèle:Mvar sur un intervalle Modèle:Mvar et admettant des moments de tout ordre. On peut construire une famille $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ des polynômes orthogonaux pour la structure préhilbertienne induite par Modèle:Mvar. Soit $(Q_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la famille des polynômes secondaires de la famille Modèle:Mvar. Sous certaines conditions il existe une mesure Modèle:Mvar pour laquelle la famille Modèle:Mvar est orthogonale. Cette mesure, que l'on peut expliciter en fonction de Modèle:Math est appelée mesure secondaire associée à la mesure initiale Modèle:Mvar.

Lorsque Modèle:Mvar est une densité de probabilité, une condition suffisante pour que Modèle:Mvar admettant des moments de tout ordre soit secondaire associée à Modèle:Mvar est que sa transformée de Stieltjes soit donnée par une égalité du type :

$S_{\mu }(z)=a(z-c_1-\frac{1}{S_{\rho }(z)})$

avec Modèle:Mvar constante arbitraire et Modèle:Math désignant le moment d'ordre 1 de Modèle:Math.

Pour $a=1$ on obtient la mesure dite secondaire, remarquable au sens que pour $n\ge 1$ la norme du polynôme Modèle:Mvar pour Modèle:Mvar coïncide exactement avec la norme du polynôme secondaire associé Modèle:Mvar au sens de la mesure Modèle:Mvar. Dans ce cas primordial, et si l'espace engendré par les polynômes orthogonaux est dense dans $L^2(I,ℝ,\rho )$, l'opérateur Modèle:Mvar défini par $f(x)\mapsto \underset{I}{\int }\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\rho (t)\mathrm{d}t$ créant les polynômes secondaires peut se prolonger en une application linéaire reliant l'espace $L^2(I,ℝ,\rho )$ à $L^2(I,ℝ,\mu )$ et devient une isométrie si on la restreint à l'hyperplan Modèle:Mvar des fonctions orthogonales à Modèle:Math.

Pour des fonctions quelconques de carré intégrables pour Modèle:Mvar, on obtient la formule plus générale de covariance :

$⟨f/g{⟩}_{\rho }-⟨f/1{⟩}_{\rho }\times ⟨g/1{⟩}_{\rho }=⟨T_{\rho }\left(f\right)/T_{\rho }\left(g\right){⟩}_{\mu }$

La théorie se poursuit en introduisant la notion de mesure réductible, au sens que le quotient Modèle:Math est élément de $L^2(I,ℝ,\mu )$. On établit alors les résultats suivants :

• La réductrice Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est un antécédent de Modèle:Math pour l'opérateur Modèle:Mvar. (En fait le seul antécédent élément de Modèle:Mvar).
• Pour toute fonction de carré intégrable pour Modèle:Mvar, on a la formule dite de réduction : $⟨f/\phi {⟩}_{\rho }=⟨T_{\rho }(f)/1{⟩}_{\rho }$.

L'opérateur $f\mapsto \phi \times f-T_{\rho }(f)$ défini sur les polynômes, se prolonge en une isométrie Modèle:Mvar reliant l'adhérence de l'espace de ces polynômes dans $L^2(I,ℝ,\frac{{\rho }^2}{\mu })$ à l'hyperplan Modèle:Mvar muni de la norme induite par Modèle:Mvar. Sous certaines conditions restrictives l'opérateur Modèle:Mvar agît comme adjoint de Modèle:Mvar pour le produit scalaire induit par Modèle:Mvar.

Enfin, les deux opérateurs sont reliés aussi, sous réserve que les images en question soient définies, par la formule fondamentale de composition :

$T_{\rho }\circ S_{\rho }(f)=\frac{\rho }{\mu }\times (f)$

Cas de la mesure secondaire de la mesure de Lebesgue, et quelques autres exemples

Mesure secondaire de Lebesgue

La mesure de Lebesgue sur l'intervalle standard [0, 1] est obtenue en prenant la densité constante Modèle:Math.

Les polynômes orthogonaux associés sont appelés polynômes de Legendre et peuvent être explicités par $P_n(x)=\frac{d^{(n)}}{d{x}^n}(x^n(1-x{)}^n)$. La norme de $P_n$ vaut $\frac{n!}{\sqrt{2n+1}}$. La relation de récurrence à trois termes s'écrit :

$2(2n+1)\mathrm{X}{P}_n\left(\mathrm{X}\right)=-P_{n+1}\left(\mathrm{X}\right)+(2n+1)P_n\left(\mathrm{X}\right)-n^2{P}_{n-1}(\mathrm{X}).$

La réductrice de cette mesure de Lebesgue est donnée par

$\phi (x)=2\ln \left(\frac{x}{1-x}\right).$

La mesure secondaire associée s'explicite alors comme

$\mu (x)=\frac{1}{{\ln }^2\left(\frac{x}{1-x}\right)+{\pi }^2}.$

Exemples de mesures réductibles

Si l'on normalise les polynômes de Legendre, les coefficients de Fourier de la réductrice Modèle:Mvar par rapport à ce système orthonormé sont nuls pour un indice pair et données par $C_n(\phi )=-\frac{4\sqrt{2n+1}}{n(n+1)}$ pour un indice n impair.

Les polynômes de Laguerre sont liés à la densité $\rho (x)={\mathrm{e}}^{-x}$ sur l'intervalle $I=[0,+\mathrm{\infty }[$.

Ils sont explicités par $L_n(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^n{\mathrm{e}}^{-x})=\sum _{k=0}^{k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^k\frac{x^k}{k!}$ et sont normés.

la réductrice associée est définie par $\phi (x)=2[\ln (x)-\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}\ln |x-t|\mathrm{d}t].$

Les coefficients de Fourier de la réductrice Modèle:Mvar par rapport aux polynômes de Laguerre sont donnés par :

$C_n\left(\phi \right)=-\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{k=n-1}\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})}$. Ce coefficient Modèle:Math n'est autre que l'opposé de la somme des éléments de la ligne d'indice $n$ du tableau des nombres triangulaires harmoniques de Leibniz.

Les polynômes d'Hermite sont associées à la densité de Gauss $\rho (x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}$ sur $I=ℝ$. Ils sont explicités par $H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{d{x}^n}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\right)$ et sont normés. La réductrice associée est définie par :

$\phi (x)=-\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}t{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\ln |x-t|\mathrm{d}t.$

Les coefficients de Fourier de la réductrice Modèle:Mvar par rapport au système des polynômes d'Hermite sont nuls pour un indice pair et données par

$C_n(\phi )=(-1{)}^{\frac{n+1}{2}}\frac{\left(\frac{n-1}{2}\right)!}{\sqrt{n!}}$ pour un indice Modèle:Math impair.

La mesure de Tchebychev de deuxième forme est définie par la densité $\rho (x)=\frac{8}{\pi }\sqrt{x(1-x)}$ sur l'intervalle [0, 1]. C'est la seule qui coïncide avec sa mesure secondaire normalisée sur cet intervalle standard. Sous certaines conditions elle apparait comme limite de la suite des mesures secondaires normalisées d'une densité donnée.

Exemples de mesures non réductibles

Mesure de Jacobi de densité $\rho (x)=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ sur ]0, 1[.

Mesure de Tchebychev de première forme de densité $\rho (x)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}$ sur ]–1, 1[.

Suite Modèle:Math des mesures secondaires

La mesure secondaire Modèle:Mvar associée à une densité de probabilité Modèle:Mvar a son moment d'ordre 0 égal à $d_0=c_2-(c_1{)}^2$ (Modèle:Math et Modèle:Math désignant les moments respectifs d'ordre 1 et 2 de Modèle:Mvar).

Pour pouvoir itérer le procédé on normalise alors Modèle:Mvar en définissant ${\rho }_1=\frac{\mu }{d_0}$ qui devient à son tour une densité de probabilité appelée naturellement mesure secondaire normalisée associée à Modèle:Mvar.

On peut alors définir de proche en proche à partir de Modèle:Math la suite $n\mapsto {\rho }_n$,chaque terme étant la mesure secondaire normalisée du précédent.

Il est possible d'expliciter la densité Modèle:Mvar en utilisant les polynômes orthogonaux Modèle:Mvar pour Modèle:Mvar, les polynômes secondaires Modèle:Mvar et la réductrice associée Modèle:Mvar. Cela donne la formule :

${\rho }_n\left(x\right)=\frac{1}{d_0^{n-1}}\frac{\rho (x)}{{(P_{n-1}(x)\frac{\phi (x)}{2}-Q_{n-1}(x))}^2+{\pi }^2{\rho }^2(x)P_{n-1}^2(x)}$

Le coefficient $d_0^{n-1}$ s'obtient facilement à partir des coefficients dominants des polynômes Modèle:Math et Modèle:Mvar. On peut également expliciter la réductrice Modèle:Mvar${\phi }_n$ associée à Modèle:Mvar, ainsi que les polynômes orthogonaux correspondant à Modèle:Mvar.

Un très beau résultat concerne l'évolution de ces densités lorsque l'indice tend vers l'infini et que le support des mesures est l'intervalle standard [0, 1].

Soit la relation de récurrence à trois termes : $x{P}_n(x)=t_n{P}_{n+1}(x)+s_n{P}_n(x)+t_{n-1}{P}_{n-1}(x)$.

Si $\underset{n\mapsto \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_n=\frac{1}{4}$ et $\underset{n\mapsto \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\frac{1}{2}$, alors la suite $n\mapsto {\rho }_n$ converge complètement vers la densité de Tchebychev de deuxième forme ${\rho }_{tch}(x)=\frac{8}{\pi }\sqrt{x(1-x)}$.

Ces conditions limites sont vérifiées par une très large classe de densités classiques.

Mesures équinormales

On appelle ainsi deux mesures conduisant à la même densité secondaire normalisée. Il est remarquable que les éléments d'une classe donnée de même moment d'ordre 1 soient reliés par une homotopie. Plus précisément, si la densité Modèle:Mvar a son moment d'ordre 1 égal à Modèle:Math, ces densités équinormales à Modèle:Mvar seront donnés par une formule du type

${\rho }_t(x)=\frac{t\rho (x)}{{[(t-1)(x-c_1)\frac{\phi \left(x\right)}{2}-t]}^2+{\pi }^2{\rho }^2(x)(t-1{)}^2(x-c_1{)}^2},$

t décrivant un intervalle contenant ]0, 1].

Si Modèle:Mvar est la mesure secondaire de Modèle:Mvar, celle de Modèle:Mvar est Modèle:Mvar.

La réductrice de Modèle:Mvar est : ${\phi }_t(x)=\frac{2(x-c_1)-tG(x)}{{((x-c_1)-t\frac{G(x)}{2})}^2+t^2{\pi }^2{\mu }^2(x)}$ en notant Modèle:Math la réductrice de Modèle:Mvar.

Les polynômes orthonormaux pour la mesure Modèle:Mvar sont explicités à partir de n = 1 par la formule :

$P_n^t(x)=\frac{1}{\sqrt{t}}[t{P}_n(x)+(1-t)(x-c_1)Q_n(x)]$ avec Modèle:Mvar secondaire associé à Modèle:Mvar

Il est remarquable aussi que, au sens des distributions, la limite lorsque t tend vers 0 par valeur supérieure de Modèle:Mvar soit la mesure de Dirac concentrée en Modèle:Math.

Pour exemple, les densités équinormales à la mesure de Tchebychev de deuxième forme sont définies par : ${\rho }_t(x)=\frac{2t\sqrt{1-x^2}}{\pi [t^2+4(1-t)x^2]}$ , avec t décrivant ]0, 2]. La valeur t = 2 donne la mesure de Tchebychev de première forme.

Les plus belles applications

$\mathrm{\forall }p>1\frac{1}{\ln (p)}=\frac{1}{p-1}+\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(x+p)({\ln }^2(x)+{\pi }^2)}.$

$\gamma =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (1+\frac{1}{x})\mathrm{d}x}{{\ln }^2(x)+{\pi }^2}$ (avec Modèle:Mvar constante d'Euler-Mascheroni).

$\gamma =\frac{1}{2}+\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\overline{(x+1)\cos (\pi x)}\mathrm{d}x}{x+1}.$

(la fonction $x\mapsto \overline{(x+1)\cos (\pi x)}$ désignant celle de période 2 coïncidant avec $x\mapsto (x+1)\cos (\pi x)$ sur [–1, 1[).

$\gamma =\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\frac{{\beta }_{2k}}{2k}-\frac{{\beta }_{2n}}{\zeta (2n)}\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{E(t)\cos (2\pi t)\mathrm{d}t}{t^{2n+1}}$

(avec E fonction partie entière et Modèle:Math nombre de Bernoulli d'ordre 2n).

${\beta }_k=\frac{(-1{)}^{k}k!}{\pi }\mathrm{\Im }\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^x\mathrm{d}x}{(1+e^x)(x-i\pi {)}^k}\right).$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\ln }^{2n}\left(\frac{x}{1-x}\right)\mathrm{d}x=(-1{)}^{n+1}2(2^{2n-1}-1){\beta }_{2n}{\pi }^{2n}.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sum _{k=1}^{2n}\frac{\ln (t_k)}{\prod _{i=k}(t_k-t_i)}\right)\mathrm{d}{t}_1\mathrm{d}{t}_2\cdots \mathrm{d}{t}_{2n}=\frac{(-1{)}^{n+1}(2\pi {)}^{2n}{\beta }_{2n}}{2}.$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-\alpha x}\mathrm{d}x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}=e^{e^{-\alpha }}-1+\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-e^{-x}}{[(\ln (x)+\alpha {)}^2+{\pi }^2]}\frac{\mathrm{d}x}{x}$ (pour tout réel Modèle:Mvar).

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})}\right)}^2=\frac{4{\pi }^2}{9}=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}4[\mathrm{E}\mathrm{i}(1,-x)+i\pi {]}^2{e}^{-3x}\mathrm{d}x$ (Modèle:Math désigne ici la fonction exponentielle intégrale).

$\frac{23}{15}-\ln (2)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}$

$K=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{4^{k+1}}(\frac{1}{(4k+3{)}^2}+\frac{2}{(4k+2{)}^2}+\frac{2}{(4k+1{)}^2})+\frac{\pi \ln (2)}{8}$

$K=\frac{\pi \ln (2)}{8}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{H_{2n+1}}{2n+1}$

(K désigne la constante de Catalan est définie comme $\sum _{n=0}^{n=\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}$ et $H_{2n+1}=\sum _{k=1}^{k=2n+1}\frac{1}{k}$ nombre harmonique d'ordre 2n + 1).

Si la mesure Modèle:Mvar est réductible de réductrice associée Modèle:Mvar, on a l'égalité :

$\underset{I}{\int }{\phi }^2(x)\rho (x)\mathrm{d}x=\frac{4{\pi }^2}{3}\underset{I}{\int }{\rho }^3(x)\mathrm{d}x.$

Si la mesure Modèle:Mvar est réductible de mesure secondaire associée Modèle:Mvar, alors si Modèle:Mvar est de carré intégrable pour Modèle:Mvar, et si Modèle:Mvar est de carré intégrable pour Modèle:Mvar et orthogonale à Modèle:Math on a l'équivalence :

$f(x)=\underset{I}{\int }\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho (t)\mathrm{d}t\iff g(x)=(x-c_1)f(x)-T_{\mu }(f(x))=\frac{\phi (x)\mu (x)}{\rho (x)}f(x)-T_{\rho }(\frac{\mu (x)}{\rho (x)}f(x))$

(Modèle:Math désigne le moment d'ordre 1 de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar l'opérateur $g(x)\mapsto \underset{I}{\int }\frac{g(t)-g(x)}{t-x}\rho (t)\mathrm{d}t$).

Voir aussi

Article connexe

Approximant de Padé

Lien externe

Page de Roland Groux sur la théorie des mesures secondaires.