Opérateur intégral

Modèle:Ébauche En mathématiques, un opérateur intégral ou opérateur à noyau est un opérateur linéaire défini à l'aide d'une intégrale paramétrique sur certains espaces fonctionnels. L'image d'une fonction par un tel opérateur est donc une autre fonction, dont le domaine peut être très différent.

De tels opérateurs constituent des objets fondamentaux en analyse fonctionnelle, où ils permettent notamment de transformer une équation pour obtenir une version a priori plus facile à résoudre. Les premiers exemples sont la convolution et les transformées de Fourier ou de Laplace, d'où le nom aussi rencontré de transformée intégrale.

Expression

La forme générale d'un opérateur intégral est donnée par l'expression suivante :

$S(f)(t)=\underset{A}{\int }f(x)K(x,t)\mathrm{d}\mu (x)$

dans laquelle la fonction Modèle:Mvar est appelée noyau de l'opérateur.

Dans beaucoup d'exemples courants, le domaine d'intégration Modèle:Mvar est un intervalle réel et la mesure associée est celle de Lebesgue.

Formes de noyaux particulières

• Un noyau Modèle:Mvar est dit séparable ou dégénéré s'il peut s'écrire sous la formeModèle:Retraitavec les fonctions Modèle:Math indépendantes.
• Un noyau Modèle:Mvar à valeurs complexes est dit symétrique ou hermitien s'il vérifie

  $\mathrm{\forall }x,t,K(x,t)=\overline{K(t,x)}.$

• Un noyau Modèle:Mvar est appelé « noyau de convolution » s'il est de la forme

  $K(x,t)=k(x-t).$

• Un noyau Modèle:Mvar est dit régulier s'il vérifie :

  $\iint K(x,t)\mathrm{d}x\mathrm{d}t<+\mathrm{\infty }.$

• Si un noyau Modèle:Mvar est de la forme, pour une fonction Modèle:Mvar bornée,Modèle:Retraitalors l'équation intégrale est dite « faiblement singulière ». Pour Modèle:Mvar constante, on retrouve l'équation intégrale d'Abel.
• Un noyau Modèle:Mvar est appelé « noyau de Cauchy » s'il est de la formeModèle:RetraitIl apparait dans la définition de la valeur principale de Cauchy.

Utilisation

Les opérateurs intégraux interviennent dans les phénomènes de diffusion où interviennent classiquement des équations intégrales. L'existence et l'unicité des solutions trouvent des solutions avec l'alternative de Fredholm, lorsque cette dernière est applicable, c'est-à-dire lorsque l'opérateur est compact.

Dans un grand nombre de cas en pratique, il existe déjà une étude complète de l'analyse spectrale de l'opérateur.

Il arrive qu'un tel opérateur admette un inverse qui soit également un opérateur intégral. Le noyau de ce dernier est alors appelé le noyau inverse.

Voir aussi

• Noyau de Szegő
• Opérateur différentiel

• Modèle:Pdf Gilles Leborgne, « Noyaux intégraux, espace de Hilbert à noyau reproduisant : introduction », notes de cours de l'ISIMA, Modèle:Date- (consulté le Modèle:Date-)