Alternative de Fredholm

En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques —, l’alternative de Fredholm, qui généralise l'un des théorèmes d'Ivar FredholmModèle:, — systématisés par Friedrich Riesz —, est un résultat de la Modèle:Lien donc de la Modèle:Lien. Motivée par l'étude de certaines équations intégrales, elle a fait émerger la notion d'opérateur de Fredholm. Elle énonce entre autres que tout scalaire non nul du spectre d'un opérateur compact est une valeur propre de cet opérateur.

Énoncé

L'alternative de Fredholm est la suivante : Modèle:Théorème

Autrement dit : T – λIdModèle:Ind est injectif si et seulement s'il est surjectif.

Plus précisément :

• Modèle:Nobr est un opérateur de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont égales et finies ;
• dans le cas où T – λIdModèle:Ind est bijectif, sa bijection réciproque est continue.

Remarques

• Puisque T/λ est encore compact, il revient au même d'énoncer le théorème seulement pour λ = 1.
• Le cas particulier où T est un endomorphisme de rang fini est un simple corollaire du théorème du rang, selon lequel codim(kerT) = rang(T) (sur un corps quelconque).Modèle:Retrait
• L'hypothèse supplémentaire « E complet » est classique mais superflue.
• L'image [[Supplémentaire topologique|im(T – IdModèle:Ind) est fermée]] et son orthogonal dans [[Dual topologique|EModèle:']] est ker([[Application transposée|Modèle:ExpT]] – IdModèle:Ind)Modèle:,. Si E est un espace de Hilbert, les sous-espaces [[Opérateur adjoint#Orthogonalité|im(T – IdModèle:Ind) et ker(T* – IdModèle:Ind)]] sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre.

Modèle:Démonstration/début Notons Modèle:Math.

Lemme 1

$\mathrm{\exists }C\in ℝ\mathrm{\forall }x\in Ed(x,\ker \mathrm{\Phi })\le C\Vert \mathrm{\Phi }(x)\Vert .$

Lemme 2

Le sous-espace Modèle:Math est fermé.

Lemme 3

Il existe un entier naturel Modèle:Math tel que Modèle:Math et Modèle:Math.

Lemme 4

Pour un entier Modèle:Math comme dans le lemme 3, les sous-espaces Modèle:Math et Modèle:Math sont supplémentaires.

Preuve du théorème

Conséquence immédiate du lemme 4.

Compléments

• Le lemme 1 montre que dans le cas où Modèle:Math est bijectif, Modèle:MathModèle:-1 est continu.
• Le lemme 4 permet, pour prouver que Modèle:Math et Modèle:Math sont égales et finies, de remplacer Modèle:Math par sa restriction à Modèle:Math. La conclusion résulte alors du fait que [[Opérateur compact#Sous-espaces associés aux valeurs propres non nulles|le noyau de Modèle:Math est de dimension finie]] (car Modèle:Math est, comme Modèle:Math, égal à ±IdModèle:Ind à un compact près).

Formulations particulières

Équations intégrales

Soient

• Modèle:Math un intervalle réel,
• Modèle:Math une fonction de [[Produit cartésien|Modèle:Math]] dans ℝ ou ℂ telle que l'opérateur à noyau Modèle:Math associé, défini sur [[Espace L2|Modèle:Math]] parModèle:Retraitsoit compact — une condition suffisante pour cela est qu'il soit de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire que |Modèle:Math| soit de carré intégrable — et
• Modèle:Math un scalaire non nul.

Considérons l'équation intégrale de Fredholm du premier type (c'est-à-dire homogène), Modèle:Retrait ainsi que sa version du second type, Modèle:Retrait

L'alternative de Fredholm dit que soit la première équation a une solution non nulle, soit la seconde admet une solution pour tout  Modèle:Math.

Spectre

L'alternative de Fredholm peut se reformuler de la sorte : Modèle:Énoncé