Voir la source de Symbole de Hilbert

{{Homon|Symbole (homonymie)}}
En [[mathématiques]], le '''symbole de Hilbert''' est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les [[Corps de nombres p-adiques|corps de nombres ''p''-adiques]], mais aussi un objet permettant de formuler certaines {{Lien|langue=en|trad=Reciprocity law|fr=Loi de réciprocité|texte=lois de réciprocité}}, et intéressant pour la [[théorie des corps de classes]] ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de ''symbole'' sur un corps, qui est un concept important en [[K-théorie algébrique|''K''-théorie algébrique]].

Le symbole de Hilbert {{math|(''a'', ''b''){{ind|2}}}} de deux éléments non nuls {{math|''a''}} et {{math|''b''}} d'un corps ''K ''est 1 ou –1, suivant que l'équation {{math|''ax''{{2}} + ''by''{{2}}}} = 1 admet ou non une solution {{math|(''x'', ''y'')}} dans ''K''. Une telle équation revient en fait à se demander si {{math|''a''}} est une [[norme (arithmétique)|norme]] dans l'[[Extension quadratique|extension ''a priori'' quadratique]] ''K''({{sqrt|''b''}}).

Cette définition se généralise, pour un [[corps local]] ''K'', en une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] (–, –) de ''K''* × ''K''* dans le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] de ''K''. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des [[Nombre réel|réels]] et les différents corps ℚ{{ind|''p''}} de [[Nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]], on parvient à une formulation de la [[loi de réciprocité quadratique]], et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances ''n''-ièmes.

Ce symbole a été introduit par [[Hilbert]] dans son [[David Hilbert#Théorie des nombres|Zahlbericht]]<ref>{{Article|langue=de|nom=Hilbert|prénom=David|titre=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002115344|année=1897|lien périodique=Deutsche Mathematiker-Vereinigung|revue=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|issn=0012-0456|vol=4|p.=175–546}}, sections 64, 131 de la traduction en anglais de 1998</ref>, à la différence près que sa définition concernait les [[Corps global|corps globaux]]. Il a été généralisé aux {{Lien|langue=en|trad=Higher local field|fr=Corps local supérieur|texte=corps locaux supérieurs}}.

== Symbole de Hilbert quadratique ==
Sur un corps local ''K'', dont le [[Groupe des unités|groupe multiplicatif]] des éléments non nuls est noté ''K''*, le symbole de Hilbert quadratique est la fonction (–, –) de ''K''* × ''K''* dans {–1, 1} définie par

<center><math>(a,b)=\begin{cases}1&\mbox{ si }z^2=ax^2+by^2\mbox{ a une solution non nulle }(x,y,z)\in K^3,\\-1&\mbox{ sinon.}\end{cases}</math></center>

=== Propriétés ===
Les trois propriétés suivantes résultent directement de la définition, en choisissant des solutions appropriées de l'[[équation diophantienne]] ci-dessus :
# si ''a ''est un [[Carré (algèbre)|carré]], alors (''a'', ''b'') = 1 pour tout ''b '';
# pour tous ''a'', ''b ''dans ''K''*, (''a'', ''b'') = (''b'', ''a'') ;
# pour tout ''a ''dans ''K''* tel que ''a ''– 1 soit aussi dans ''K''*, on a (''a'', 1 – ''a'') = 1.
La (bi)[[Fonction multiplicative|multiplicativité]], i.e. pour tous ''a'', ''b''{{ind|1}} et ''b''{{ind|2}} dans ''K''*
{{retrait|(''a'', ''b''{{ind|1}}''b''{{ind|2}}) {{=}} (''a'', ''b''{{ind|1}})(''a'', ''b''{{ind|2}})}}
est, quant à elle, plus difficile à démontrer et nécessite le développement de la [[Théorie des corps de classes locaux|théorie du corps de classe local]].

La propriété 3 montre que le symbole de Hilbert est un exemple de [[symbole de Steinberg]] et donc se factorise par le deuxième groupe de [[K-théorie de Milnor|''K''-théorie de Milnor]]
{{retrait|''K''{{ind|2}}{{exp|''M''}}(''K'') {{=}} ''K''* ⊗ ''K''* / 〈 ''a'' ⊗ (1 – ''a''), ''a ''∈ ''K''*\{1} 〉.}} D'après la propriété 1, il se factorise même par ''K''{{ind|2}}{{exp|''M''}}(''K'')/2. C'est le premier pas vers la [[conjecture de Milnor]].

=== Interprétation comme algèbre ===
Si ''K ''est de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de 2, le symbole de Hilbert classifie l'[[algèbre de quaternions]] sur ''K ''de [[Base (algèbre linéaire)|base]] {{math|(1, i, j, k)}} dont la [[multiplication]] est définie par {{math|i}}{{2}} = ''a'', {{math|j}}{{2}} = ''b'', {{math|ij {{=}} –ji {{=}} k}} : cette algèbre est isomorphe à ''M''<sub>2</sub>(''K'') si (''a'', ''b'') = 1 et sinon, c'est un corps de quaternions '''H''', dont la classe dans le [[groupe de Brauer]] de ''K ''est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2 car '''H'''⊗'''H''' {{≃}} ''M''{{ind|4}}(''K'').

=== Symboles de Hilbert sur les rationnels ===
Soient {{math|v}} une [[valuation|place]] sur le corps ℚ des [[Nombre rationnel|rationnels]] et ℚ{{ind|{{math|v}}}} le [[Valuation#Le point de vue métrique|complété]] correspondant de ℚ (c'est-à-dire le corps des nombres ''p''-adiques si {{math|v}} est la valuation associée à un nombre premier ''p'', et le corps des réels si {{math|v}} est la « place infinie »).

Pour deux entiers {{math|''a'', ''b''}} vus comme éléments de ℚ{{ind|{{math|v}}}}, soit {{math|(''a'', ''b''){{ind|v}}}} la valeur du symbole de Hilbert.

Sur les réels, {{math|(''a'', ''b''){{ind|∞}}}} vaut +1 si {{math|''a''}} ou {{math|''b''}} est positif et –1 s'ils sont tous deux négatifs.

Sur les ''p''-adiques, en écrivant
{{retrait|<math>a = p^{\alpha} u\text{ et }b = p^{\beta} v,</math>}}
où {{math|''u''}} et {{math|''v''}} sont des entiers non divisibles par ''p'', on a :
* si ''p ''est impair, {{retrait|<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha,\mathrm{~o\grave u~}\epsilon(p) = (p-1)/2</math>}}et où l'expression fait intervenir les [[Symbole de Legendre|symboles de Legendre]] ;
* si ''p ''= 2,{{retrait|<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)},\mathrm{~o\grave u~}\omega(x) = (x^2-1)/8.</math>}}

La [[loi de réciprocité quadratique]] équivaut à la formule
<center><math>\prod_{\rm v}(a,b)_{\rm v}=1,</math></center>
qui a un sens car {{math|(''a'', ''b''){{ind|v}}}} = 1 pour toutes les places {{math|v}} sauf un nombre fini.

=== Radical de Kaplansky ===
Le symbole de Hilbert sur un corps ''K ''définit une application [[#Interprétation comme algèbre|à valeurs dans son groupe de Brauer]] :
{{retrait|<math> (\cdot,\cdot):K^*/K^{*2}\times K^*/K^{*2}\to{\rm Br}(K).</math>}}
Le [[Forme bilinéaire#Définitions associées à l'orthogonalité|noyau]] de cette application, constitué des éléments ''a ''tels que (''a'', ''b'') = 1 pour tout ''b'', est le '''radical de Kaplansky'''<ref name=Lam450>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Tsit-Yuen|nom1=Lam|lien auteur1=Tsit-Yuen Lam|titre=Introduction to Quadratic Forms over Fields|lieu=Providence (R.I.)|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|collection=Graduate Studies in Mathematics|numéro dans collection=67|année=2005|pages totales=550|passage=450-451|isbn=0-8218-1095-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=YvyOLDeOYQgC&pg=PA450}}</ref> de ''K''. Ce [[sous-groupe]] de ''K''*/''K''*{{2}} est égal au groupe tout entier si et seulement si<ref name=Lam450/> ''K ''n'est pas [[Corps totalement ordonné|formellement réel]] et si son {{Lien|u-invariant|texte=''u''-invariant}} est au plus égal à 2 (c'est-à-dire si en dimension supérieure ou égale à 3, aucune [[forme quadratique]] n'est [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|définie]]). Les corps ''K ''dont le radical, à l'opposé, est réduit à ''K''*{{2}}, sont appelés les corps de Hilbert<ref>{{harvsp|Lam|2005|p=455}}</ref>{{,}}<ref>Ne pas confondre avec les [[corps de classes de Hilbert]].</ref>.

== Symbole de Hilbert général ==
Si un [[corps local]] ''K ''contient le groupe μ{{ind|''n''}} des racines ''n''{{e}} de l'unité pour un certain entier naturel ''n ''premier avec la caractéristique de ''K'', alors le symbole de Hilbert général est une fonction (–, –) de {{nobr|''K''* × ''K''*}} dans μ{{ind|''n''}}, définie en termes du [[Loi de réciprocité d'Artin|symbole d'Artin]] de la [[théorie des corps de classes locaux]], par :
<center><math>(a,b)=\frac{(a,K(\sqrt[n]b)/K)(\sqrt[n]b)}{\sqrt[n]b}.</math></center>
Sa définition originelle par Hilbert (quand le symbole d'Artin n'existait pas encore), pour ''n ''premier, utilisait le [[#Symbole de puissance résiduelle|symbole de puissance résiduelle]] quand la caractéristique de ''K ''est première à ''n'', et était assez compliquée quand cette caractéristique divise ''n''.

=== Propriétés ===
Le symbole de Hilbert est
* (multiplicativement) bilinéaire : (''ab'', ''c'') = (''a'', ''c'')(''b'', ''c'') et (''a'', ''bc'') = (''a'', ''b'')(''a'', ''c''),
* antisymétrique : (''a'', ''b'') = (''b'', ''a''){{-1}},
* non dégénéré : (''a'', ''b'') = 1 pour tout ''b ''si et seulement si ''a ''est une puissance ''n''-ième dans ''K''*.

Il détecte les [[norme (arithmétique)|normes]] (d'où son nom de symbole de norme résiduelle<ref>{{EncycloMath|id=Norm-residue_symbol|titre=Norm-residue symbol}}</ref>) : (''a'', ''b'') = 1 si et seulement si ''a ''est une norme dans ''K''({{sqrt|n=''n''|''b''}}).

Il a les « propriétés de symbole » : (''a'', 1 – ''a'') = 1 et (''a'', –a) = 1.

=== Loi de réciprocité de Hilbert ===
La '''loi de réciprocité de Hilbert''' établit que si {{math|''a''}} et {{math|''b''}} appartiennent à un [[corps de nombres]] ''K ''contenant les racines ''n''-ièmes de l'unité, alors
<center><math>\prod_{\rm v}(a,b)_{\rm v}=1,</math></center>
où, comme [[#Symboles de Hilbert sur les rationnels|plus haut]], le produit est pris sur toutes les places finies et infinies {{math|v}} de ''K'' et (–, –){{ind|{{math|v}}}} désigne le symbole de Hilbert du complété ''K''{{ind|{{math|v}}}}.

La preuve moderne de cette loi de réciprocité est un [[corollaire]] de celle d'Artin.

=== Symbole de puissance résiduelle ===
Si, à nouveau, ''K ''est un corps de nombres contenant les racines ''n''-ièmes de l'unité, et si de plus ''p ''est un [[idéal premier]] ne divisant pas ''n'', {{math|π}} un [[Primalité dans un anneau|élément premier]] du [[Localisation (mathématiques)|localisé]] en ''p ''et {{math|''a''}} est premier à ''p'', alors le {{Lien|langue=en|trad=Power residue symbol|fr=symbole de puissance résiduelle}} <math>\binom ap</math> est relié au symbole de Hilbert par
<center><math>\binom ap=(\pi,a)_p.</math></center>
Il s'étend aux [[Idéal fractionnaire|idéaux fractionnaires]] par multiplicativité, et aux éléments de ''K ''en posant
<center><math>\binom ab=\binom a{(b)},</math></center>
où (''b'') est l'[[idéal principal]] engendré par ''b''. La loi de réciprocité de Hilbert entraîne alors la loi de réciprocité suivante pour le symbole de puissance résiduelle, pour {{math|''a''}} et {{math|''b''}} premiers entre eux et avec ''n '':
<center><math>\binom ab=\binom ba\prod_{p|n,\infty}(a,b)_p.</math></center>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Hilbert symbol|552322044|type=note}}
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|langue=en|fr=Zenon Ivanovich Borevich|texte=Z. I. Borevich}}|prénom2=I. R.|nom2=Shafarevich|lien auteur2=Igor Chafarevitch|titre=Number theory|éditeur=[[Academic Press]]|année=1966|isbn=0-12-117851-X|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=njgVUjjO-EAC}}
* {{Gras1}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=David|nom1=Hilbert|titre=The theory of algebraic number fields|éditeur=[[Springer-Verlag|Springer]]|année=1998|pages totales=351|isbn=978-3-540-62779-1|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=_Q2h83Bm94cC}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[Franz Lemmermeyer]]|titre=Reciprocity Laws|sous-titre=From Euler to Eisenstein|lieu=Berlin/New York|éditeur=Springer|année=2000|pages totales=487|passage=60-76|isbn=978-3-540-66957-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=EwjpPeK6GpEC&pg=PA60}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[John Willard Milnor]]|titre=Introduction to algebraic ''K''-theory|éditeur=[[Princeton University Press|PUP]]|collection=Annals of Mathematics Studies|numéro dans collection=72|année=1971|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=zVYVhjQX4lYC}}
* {{Serre1}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=S. V.|nom1=Vostokov|prénom2=I. B.|nom2=Fesenko|titre=Local fields and their extensions|éditeur=AMS|collection=Translations of Mathematical Monographs|numéro dans collection=121|année=2002|pages totales=345|isbn=978-0-8218-3259-2|lire en ligne=http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/book/book.html}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie des corps de classes]]
[[Catégorie:Forme quadratique]]