Voir la source de Symbole de Legendre

En [[théorie des nombres]], le '''symbole de Legendre''' est une [[Fonction de plusieurs variables|fonction de deux variables]] entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les [[résidu quadratique|résidus quadratiques]]. Il a été introduit par [[Adrien-Marie Legendre]]<ref>A. M. Legendre, ''Essai sur la théorie des nombres'', [[1798 en science|1798]], [http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/1089453 {{p.|186}}].</ref>, au cours de ses efforts pour démontrer la [[loi de réciprocité quadratique]].

==Définition==
{{énoncé|1=Si {{mvar|p}} est un [[nombre premier]] et {{math|''a''}} un [[entier relatif|entier]], alors le symbole de Legendre <math>\left(\frac ap\right)</math> vaut :

* 0 si {{mvar|a}} est [[divisible]] par {{mvar|p}} ;
* 1 si {{mvar|a}} est un [[résidu quadratique]] modulo {{mvar|p}} (ce qui signifie qu'il existe un entier {{mvar|k}} tel que {{mvar|a}} [[Congruence sur les entiers|≡ {{mvar|k}}{{2}} mod {{mvar|p}}]]) mais n'est pas divisible par {{mvar|p}} ;
* −1 si {{mvar|a}} n'est pas un résidu quadratique modulo {{mvar|p}}.
}}
Il ne dépend donc que de la classe de {{math|''a''}} modulo {{mvar|p}}.

Le cas particulier {{math|1=''p'' = 2}} est inclus dans cette définition mais sans intérêt : <math>\left(\frac a2\right)</math> vaut 0 si {{mvar|a}} est pair et 1 sinon.

== Propriétés du symbole de Legendre ==

=== Critère d'Euler ===
{{Article détaillé|Critère d'Euler}}
Si {{mvar|p}} est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier {{mvar|a}} :
<center><math>a^{(p-1)/2}\equiv\left(\frac ap\right)~\pmod p</math><ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Résidus quadratiques#Symbole de Legendre|« Symbole de Legendre » dans la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>.</center>

===Multiplicativité===
L'application <math>a\mapsto\left(\frac ap\right)</math> est [[fonction multiplicative|complètement multiplicative]] (c'est une conséquence immédiate du [[critère d'Euler]]).

=== Lemme de Gauss ===
{{Article détaillé|Lemme de Gauss (théorie des nombres){{!}}Lemme de Gauss}}
Soient {{mvar|p}} un nombre premier impair et {{mvar|a}} un entier non divisible par {{mvar|p}}. Alors
:<math>\left(\frac ap\right) = (-1)^n</math>,
où {{mvar|n}} est défini de la façon suivante :

{{énoncé|considérons les entiers {{math|''a'', 2''a'', 3''a'',..., {{sfrac|''p'' – 1|2}}''a''}} et leurs plus petits résidus positifs modulo {{mvar|p}}, alors {{mvar|n}} est le nombre de ces résidus qui excèdent {{math|''p''/2}}.}}

===Loi de réciprocité quadratique===
{{Article détaillé|Loi de réciprocité quadratique}}
*Si {{mvar|q}} est un autre nombre premier impair alors <math>\left(\frac qp\right) = \left(\frac pq\right)(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}.</math>
*<math>\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2}\equiv p\mod4.</math>
*<math>\left(\frac2p\right)=(-1)^{\tfrac{p^2-1}8}=
\begin{cases}~~1\text{ si }p\equiv\pm1\mod8\\-1\text{ si }p \equiv\pm3\mod8.\end{cases}</math>

== Généralisation du symbole de Legendre ==
{{Article détaillé|Symbole de Jacobi}}

Le [[symbole de Jacobi]] est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre <math>\left(\frac ab\right)</math>, l'entier <math>b</math> est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où <math>b</math> est un [[nombre composé]].

==Analyse harmonique sur (ℤ/''p''ℤ)*==
{{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}
La multiplicativité complète du symbole de Legendre {{supra|Multiplicativité}} montre qu'il définit, pour ''p'' fixé, un [[Morphisme de groupes|morphisme]] de (ℤ/''p''ℤ)* dans {–1, 1} ; c'est donc un [[caractère de Dirichlet]]. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un [[groupe fini]]. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en [[arithmétique]]. On peut citer par exemple le calcul des [[somme de Gauss|sommes]] ou des [[période de Gauss|périodes de Gauss]], utilisées dans l'une des démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Legendre symbol|7041607|type=n}}
{{Références}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]