Voir la source de Système de fonctions itérées

{{Voir homonymes|IFS}}
[[Fichier:Epi17.png|vignette|Attracteur de deux [[Similitude (géométrie)|similitudes]] <math>z'= \frac{(4+i)z+4}{10}</math> et <math>z'= \frac{(4+7i)\bar{z}+5-2i}{10}</math>.]]


En [[mathématiques]], un '''système de fonctions itérées''' ('''SFI''' ou encore '''IFS''', [[Acronymie|acronyme]] du terme anglais ''{{lang|en|Iterated Function System}}'') est un outil pour construire des [[fractale]]s. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale [[Autosimilarité|autosimilaire]] faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système<ref>{{Lien web |titre=Fractales,points-fixes et coquillages |url=http://images.math.cnrs.fr/Fractales-points-fixes-et-coquillages.html}}</ref>.

La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'[[université de Princeton]] par John Hutchinson en [[1980]]<ref name=":5">{{article |langue=en| nom1=Hutchinson | prénom=John E. | titre=Fractals and self similarity | journal=Indiana Univ. Math. J. | volume=30 | année=1981 | pages=713-747 | doi=10.1512/iumj.1981.30.30055|lire en ligne=http://www.iumj.indiana.edu/docs/30055/30055.asp}} (p. 714) : {{Citation étrangère|lang=en|My special thanks to [[Frederick J. Almgren]] for making possible my stay at Princeton university}}.</ref>. [[Michael Barnsley]] a démontré, avec le [[théorème du collage]], que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.

== Définition ==

Un SFI est une famille {{mvar|S}} de {{mvar|N}} fonctions [[application contractante|contractantes]] <math>T_i:M\to M</math> dans un [[espace métrique complet]] {{mvar|M}}<ref>{{Lien web|titre=attracteur d'une famille de contractions|url=http://www.mathcurve.com/fractals/afc/afc.shtml|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol|date=2011|consulté le=19/12/2018}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|titre=afc|url=http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/AFC.pdf|site=[[Tangente (magazine)]]|date=2011|consulté le=19/12/2018}}.</ref>.

On définit à partir des {{mvar|T{{ind|i}}}} une nouvelle fonction {{mvar|T}}, elle aussi [[application contractante|contractante]] sur <math>(\mathcal{H}(M),h)</math>, l'[[ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties]] [[Compacité (mathématiques)|compactes]] de {{mvar|M}} muni de la [[distance de Hausdorff]], par l'expression <math>T(A)=\bigcup_{i=1}^NT_i(A)</math>, appelée [[opérateur de Hutchinson]] de {{mvar|S}}<ref name=":5" />.

<math>(\mathcal{H}(M),h)</math> est  un espace métrique complet<ref>{{Ouvrage|auteur1=Michael F.Barnsley|titre=Fractals everywhere|passage=35|éditeur=Academic Press Professional|date=1993|isbn=0-12-079061-0|isbn2=978-0-12-079061-6|isbn3=0-12-079069-6|oclc=28025975|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/28025975|consulté le=2022-07-09}}</ref>.

Le [[théorème du point fixe de Banach]] assure l'existence et l'unicité d'un [[sous-ensemble]] {{mvar|F}} de {{mvar|M}} [[Point fixe|fixe]] par {{mvar|T}}.

{{mvar|F}} est appelé '''attracteur''' du SFI et noté {{math|{{!}}''S''{{!}}}}.

;Remarques

* En pratique, on choisit un compact quelconque {{mvar|K}}, par exemple un point, et on considère la suite {{math|(''K'', ''T''(''K''), ''T''(''T''(''K'')), ...)}}, autrement dit l'[[Fonction itérée|orbite]] de {{mvar|K}}<ref name=":6" />. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact {{mvar|K}}, vers {{math|{{!}}''S''{{!}}}}. C'est de là que vient le terme d{{'}}''itéré''<ref name=":7" />.
* La plupart des fonctions des SFI classiques sont des [[Fonction affine|fonctions affines]]<ref name=":3">{{Lien web|langue=en|titre=Fractal Visualizations|url=http://www.andrewtubelli.com/vis/fractals.html|date=}}.</ref>{{,}}<ref name=":4">{{Lien web|langue=fr|titre=Système itéré de fonctions|url=http://math.univ-lille1.fr/~bodin/geometrie/ch_ifs.pdf|date=}}.</ref>{{,}}<ref name=":7">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Florence Messineo|titre=Le monde fascinant des objets fractals|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=|passage=93|isbn=978-2-340-00812-0}}.</ref>.
* On appelle flammes fractales des [[fractale]]s obtenues par des fonctions non linéaires<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=S. Draves |auteur2=E. Reckase |titre=The Fractal Flame Algorithm |url=https://flam3.com/flame_draves.pdf |date=2003}}.</ref>.
[[File:Méduse5.png|thumb|Flamme fractale.]]

== Exemple ==
Considérons les deux homothéties définies sur <math>\Bbb R</math> par <math>f_1(x)=\frac{x}{3}, f_2(x)=\frac{x+2}{3}</math>. Les deux ont pour rapport <math>\frac{1}{3}</math>. La première a pour centre <math>0</math> et la deuxième <math>1</math>. <math>\Bbb K_3</math>, l'[[Ensemble de Cantor|ensemble triadique de Cantor]] vérifie alors <math>\Bbb K_3=f_1(\Bbb K_3)\cup f_2(\Bbb K_3)</math>. La famille de contractions est ici <math>\{f_1,f_2\}</math> et <math>\Bbb K_3</math> en est l'attracteur<ref>{{Ouvrage|langue=anglais|prénom1=Gerald A.|nom1=Edgar|titre=Measure, topology, and fractal geometry|passage=7|éditeur=Springer|date=2008|isbn=0-387-74748-6|isbn2=978-0-387-74748-4|isbn3=978-0-387-74749-1|oclc=255688131|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/255688131|consulté le=2022-07-09}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=K. J.|nom1=Falconer|titre=Fractal geometry : mathematical foundations and applications|passage=133|date=2014|isbn=978-1-118-76286-8|isbn2=1-118-76286-X|isbn3=978-1-118-76285-1|oclc=855209608|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/855209608|consulté le=2022-07-09}}</ref>.

== Caractère d’auto similarité ==
[[Fichier:Sierpinski1.png|vignette|le triangle de Sierpinski, forme de fractale en triangle obtenu à partir d'un seul triangle.]]
En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'[[Espace complet|espace métrique complet]] {{math|''K''([[Nombre réel|ℝ]]{{exp|''n''}})}} des [[Compacité (mathématiques)|compacts]] non vides de {{math|ℝ{{exp|''n''}}}}, muni de la [[distance de Hausdorff]]. Ainsi, {{mvar|F}} est lui-même un espace compact non vide de {{math|ℝ{{exp|''n''}}}}, c'est-à-dire un [[Fermé (topologie)|fermé]] borné. Il doit aussi être précisé en quoi {{mvar|F}} est une fractale. En réécrivant l'égalité {{math|''T''(''F'') {{=}} ''F''}}, est obtenu : <math>F=\bigcup_{i=1}^NT_i(F)</math>. C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la [[courbe de Lévy]] par exemple, l'[[ensemble de Cantor]], le [[triangle de Sierpinski]]<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Gerald A.|nom1=Edgar|titre=Measure, Topology, and Fractal Geometry|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2008|passage=27|isbn=978-1-4419-2569-5|oclc=255688131}}.</ref>...). Le caractère d'[[autosimilarité]] est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980<ref name=":5" />.

== Géométrie des attracteurs ==
Soit <math>\mathcal{A}:=|\{f_1,f_2\}|</math> un attracteur, où les <math>f_i</math> sont [[Injection (mathématiques)|injectives]], et <math>K</math> un compact.

(i) On suppose que <math>f_1(K)\cup f_2(K) \subset K \text{  et  }f_1(K)\cap f_2(K) =\varnothing</math> . Alors <math>\mathcal{A}</math> est [[Espace totalement discontinu|totalement discontinu]].

(ii) On suppose que <math>f_1(K)\cup f_2(K) \subset K \text{  et  }f_1(K)\cap f_2(K) \neq \varnothing</math>. Alors <math>\mathcal{A}</math> est [[Connexité (mathématiques)|connexe]]<ref name=":6" />.

Par exemple, l'[[Ensemble de Cantor|ensemble triadique de Cantor]] est totalement discontinu.

== Dimension de la fractale ==

De la construction du SFI, on peut déduire la [[dimension de Hausdorff]] de la fractale finale : si l'application {{mvar|T{{ind|i}}}} est contractante de rapport {{mvar|k{{ind|i}}}}, et que {{mvar|T{{ind|i}}}}(|{{mvar|S}}|) est disjoint de {{mvar|T{{ind|j}}}}(|{{mvar|S}}|), pour tous {{math|''i'', ''j'' ≤ ''N''}} distincts, alors la dimension de {{mvar|S}} est le réel {{mvar|d}} vérifiant :<math>\sum_{i=1}^N k_i^d = 1.</math>

== Une riche source de fractales ==
C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur=M. F. Barnsley|titre=Fractals Everywhere|éditeur=[[Academic Press]]|année=1993|passage=268 et 287|isbn=0-12-079069-6|oclc=28025975}}.</ref> :

{{théorème|énoncé=Soit {{math|(''Y'',''d'')}} un espace métrique. Soit {{mvar|X}} un compact non vide de {{mvar|Y}}. Soit {{math|''H''(''X'')}} l'ensemble des compacts non vides de {{mvar|X}}. Soit {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} continue et telle que {{mvar|X}} soit contenue dans {{math|''f''(''X'')}}. Alors 
# pour tout compact non vide {{mvar|B}} de {{mvar|X}}, {{math|''f'' <sup>–1</sup>(''B'')}} est un compact non vide de {{mvar|X}} et l'on peut donc définir une application {{math|''W'' : ''H''(''X'') → ''H''(''X'')}} par {{math|''W''(''B'') {{=}} ''f'' <sup>–1</sup>(''B'')}}
# {{mvar|W}} possède un point fixe {{mvar|A}} donné par 
<center><math>A= \lim_{n\rightarrow +\infty} W^n(X) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \underbrace{W \circ W \circ ... \circ W}_n(X).</math></center>
On a aussi <math>A= \bigcap_{n\in \mathbb N}f^{-n}(X).</math>
}}
;Exemples
* Le cas {{math|''f''(''z'') {{=}} ''z''{{2}}}} fournit le disque unité.
[[File:La basilique.png|thumb|représentation de l'ensemble de Julia (c=-1) avec turtle(python)<ref>{{Ouvrage|prénom1=Heinz-Otto|nom1=Peitgen|prénom2=Dietmar|nom2=Saupe|prénom3=M. F.|nom3=Barnsley|titre=The Science of fractal images|passage=154|éditeur=Springer-Verlag|date=1988|isbn=0-387-96608-0|isbn2=978-0-387-96608-3|isbn3=3-540-96608-0|oclc=17919317|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/17919317|consulté le=2022-07-12}}</ref>]]
* Le cas {{math|''f''(''z'') {{=}} ''z''{{2}} – 1}} fournit l'[[ensemble de Julia]] associé, noté<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Ensemble de Julia|url=https://www.mathcurve.com/fractals/julia/julia.shtml|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol}}.</ref> {{math|''J''{{ind|–1}}}}. On peut prendre pour {{mvar|X}} le carré de centre 0 et de côté 4.

* On a<ref name=":1" />, de façon générale, <math>A = \left \{ x\in X\mid\forall n=0, 1, 2...  f^ n(x)\in X\right \}</math>. Autrement dit, {{mvar|A}} est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de {{mvar|X}}, où l'on appelle<ref name=":6">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Claude Tricot|titre=Géométries et mesures fractales|sous-titre=une introduction|passage=p. 4, p. 36|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2008|pages totales=439|isbn=978-2-7298-4045-7|oclc=377976458}}, p.80.</ref> orbite d'un point <math>x\in X </math> la suite {{math|(''x'', ''f''(''x''), ''f''{{2}}(''x''), ...)}}.

== Exemples d'attracteurs classiques ==
[[Image:Fractal fern explained.png|vignette|upright=0.85|La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines.]]
* L'[[ensemble de Cantor]]

* Le [[tapis de Sierpiński]], défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
* La [[fougère de Barnsley]], construite à partir de quatre contractions [[Fonction affine|affines]] (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
* La [[courbe de Takagi]], attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de [[transvection]] avec une [[homothétie]] de rapport 1/2<ref>{{Lien web|titre=Courbe du blancmanger|url=https://www.mathcurve.com/fractals/blancmanger/blancmanger.shtml|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol|consulté le=2018-01-12}}.</ref>.
* La [[courbe de Koch]] et la [[Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro|courbe de Cesaro]].
* L'[[escalier du diable]]<ref>{{Lien web|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol|titre=Escalier du diable|url=http://www.mathcurve.com/fractals/escalierdudiable/escalierdudiable.shtm|consulté le=2018-01-12}}.</ref>
*La [[courbe de Hilbert]]<ref>{{Lien web|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol|titre=Courbe de Hilbert|url=http://www.mathcurve.com/fractals/hilbert/hilbert.shtml|consulté le=2018-01-12}}.</ref>.
*La [[courbe de Lévy]]
*La [[courbe du dragon]]
*L'[[éponge de Menger]]
*Un arbre fractal<ref>{{Lien web|titre=arbre fractal|url=http://www.mathcurve.com/fractals/arbre/arbre.shtml|site=mathcurve|auteur=Robert Ferréol|date=|consulté le=01/12/2018}}.</ref>

== Références ==
{{Références}}
<!--* {{ lien web |langue=en| nom1=Draves | prénom=Scott | coauteurs=Erik Reckase | date=juillet 2007 | url=http://flam3.com/flame.pdf | titre=The Fractal Flame Algorithm | format=pdf | consulté le=2008-07-17 }}-->

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
[[Jeu du chaos]], une version simplifiée proposée par Barnsley.

=== Liens externes ===
'''Logiciels'''
* [http://www.apophysis.org Apophysis], générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires.
* [http://emmanuel.debanne.free.fr/glito/ Glito], programme libre permettant d'explorer les SFI de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia).
* [http://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/IFS/ifs.html Générateur de SFI en ligne], proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des SFI inédits.

=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Kenneth|nom1=Falconer|titre=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications|lieu=Chichester|éditeur=[[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]]|année=1990|pages totales=288|passage=113-117 et 136|isbn=0-471-92287-0}}

{{Palette|Fractales}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Fractale]]
[[Catégorie:Itération]]