Voir la source de Système quater-imaginaire

Le [[système de numération]] '''quater-imaginaire''' fut proposé en premier par [[Donald Knuth]] en [[1955]], lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au [[Enseignement secondaire aux États-Unis|lycée]]. C'est un [[Notation positionnelle|système positionnel]] {{Lien|trad=Non-standard positional numeral systems|Système de numération positionnel non standard|texte=non standard}} car {{Lien|trad=Complex-base system|Système à base complexe|texte=à base complexe}}, qui utilise comme [[base (arithmétique)|base]] le [[nombre imaginaire pur]] {{math|2[[Unité imaginaire|i]]}}. Il peut représenter chaque [[nombre complexe]] en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les [[Nombre réel|réels]] négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le [[signe moins]], sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

==Puissances de {{math|2i}}==
{| class="wikitable centre"
|-
!scope="row"|{{math|''n''}}
||−8||−7||−6||−5||−4||−3||−2||−1||0||1||2||3||4||5||6||7||8
|-
!scope="row"|{{math|(2i){{exp|''n''}}}}
||{{math|1/256}}||{{math|i/128}}||{{math|−1/64}}||{{math|−i/32}}||{{math|1/16}}||{{math|i/8}}||{{math|−1/4}}||{{math|−i/2}}||{{math|1}}||{{math|2i}}||{{math|−4}}||{{math|−8i}}||{{math|16}}||{{math|32i}}||{{math|−64}}||{{math|−128i}}||{{math|256}}
|}

==Du système décimal vers le système quater-imaginaire==
{{col-begin}}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!Base 10!!Base {{math|2i}}
|-
|1||1
|-
|2||2
|-
|3||3
|-
|4||10300
|-
|5||10301
|-
|6||10302
|-
|7||10303
|-
|8||10200
|-
|9||10201
|-
|10||10202
|-
|11||10203
|-
|12||10100
|-
|13||10101
|-
|14||10102
|-
|15||10103
|-
|16||10000
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!Base 10!!Base {{math|2i}}
|-
|[[−1 (nombre)|–1]]||103
|-
|−2||102
|-
|−3||101
|-
|−4||100
|-
|−5||203
|-
|−6||202
|-
|−7||201
|-
|−8||200
|-
|−9||303
|-
|−10||302
|-
|−11||301
|-
|−12||300
|-
|−13||1030003
|-
|−14||1030002
|-
|−15||1030001
|-
|−16||1030000
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!Base 10!!Base {{math|2i}}
|-
|{{math|i}}||10,2
|-
|{{math|2i}}||10&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|3i}}||20,2
|-
|{{math|4i}}||20&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|5i}}||30,2
|-
|{{math|6i}}||30&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|7i}}||103000,2
|-
|{{math|8i}}||103000&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|9i}}||103010,2
|-
|{{math|10i}}||103010&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|11i}}||103020,2
|-
|{{math|12i}}||103020&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|13i}}||103030,2
|-
|{{math|14i}}||103030&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|15i}}||102000,2
|-
|{{math|16i}}||102000&nbsp;&nbsp;
|}
{{col-break}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!Base 10!!Base {{math|2i}}
|-
|{{math|−i}}||0,2
|-
|{{math|−2i}}||1030&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−3i}}||1030,2
|-
|{{math|−4i}}||1020&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−5i}}||1020,2
|-
|{{math|−6i}}||1010&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−7i}}||1010,2
|-
|{{math|−8i}}||1000&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−9i}}||1000,2
|-
|{{math|−10i}}||2030&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−11i}}||2030,2
|-
|{{math|−12i}}||2020&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−13i}}||2020,2
|-
|{{math|−14i}}||2010&nbsp;&nbsp;
|-
|{{math|−15i}}||2010,2
|-
|{{math|−16i}}||2000&nbsp;&nbsp;
|}
{{col-end}}

==Exemples==
*Deux exemples d'[[Entier relatif|entiers]] :
:<math>-31_{10}=d_0+d_2(2{\rm i})^2+d_4(2{\rm i})^4+d_6(2{\rm i})^6+\dots=d_0-4d_2+16d_4-64d_6+\dots\Leftrightarrow</math>
:<math>d_0=1,\quad8_{10}=d_2-4d_4+16d_6-\dots\Leftrightarrow</math>
:<math>d_0=1,\quad d_2=0,\quad-2_{10}=d_4-4d_6+\dots\Leftrightarrow</math>
:<math>d_0=1,\quad d_2=0,\quad d_4=2,\quad d_6=1,\quad d_8=\dots=0</math>
donc
:<math>-31_{10}=1020001_{2{\rm i}}.</math>
De même, <math>15_{10}=10103_{2{\rm i}}.</math>
*La conversion d'un [[nombre dyadique]] se ramène à celle d'un entier :
:<math>\frac{31}4=-31(2{\rm i})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm i}}.</math>
*La conversion du produit par [[Unité imaginaire|{{math|i}}]] d'un nombre dyadique aussi :
:<math>-\frac{15{\rm i}}2=15(2{\rm i})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm i}}.</math>
*La [[partie réelle]] et la [[partie imaginaire]] s'additionnent :
:<math>\frac{31}4- \frac{15}2{\rm i}=10200{,}01_{2{\rm i}}+1010{,}3_{2{\rm i}}=11210{,}31_{2{\rm i}}.</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Quater-imaginary base|251696483|type=note}}
{{Références|taille= }}

== Voir aussi ==
=== Liens externes ===
* {{en}} D. Knuth, ''[[The Art of Computer Programming]]'', vol. 2, {{3e}} éd., Addison-Wesley, {{p.}}205, « Positional Number Systems »

{{Palette|Base de numération positionnelle}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Système de numération]]