Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel Modèle:Lien car Modèle:Lien, qui utilise comme base le nombre imaginaire pur Modèle:Math. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

Puissances de Modèle:Math

Modèle:Math	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math	Modèle:Math

Du système décimal vers le système quater-imaginaire

Base 10	Base Modèle:Math
1	1
2	2
3	3
4	10300
5	10301
6	10302
7	10303
8	10200
9	10201
10	10202
11	10203
12	10100
13	10101
14	10102
15	10103
16	10000

Base 10	Base Modèle:Math
–1	103
−2	102
−3	101
−4	100
−5	203
−6	202
−7	201
−8	200
−9	303
−10	302
−11	301
−12	300
−13	1030003
−14	1030002
−15	1030001
−16	1030000

Base 10	Base Modèle:Math
Modèle:Math	10,2
Modèle:Math	10
Modèle:Math	20,2
Modèle:Math	20
Modèle:Math	30,2
Modèle:Math	30
Modèle:Math	103000,2
Modèle:Math	103000
Modèle:Math	103010,2
Modèle:Math	103010
Modèle:Math	103020,2
Modèle:Math	103020
Modèle:Math	103030,2
Modèle:Math	103030
Modèle:Math	102000,2
Modèle:Math	102000

Base 10	Base Modèle:Math
Modèle:Math	0,2
Modèle:Math	1030
Modèle:Math	1030,2
Modèle:Math	1020
Modèle:Math	1020,2
Modèle:Math	1010
Modèle:Math	1010,2
Modèle:Math	1000
Modèle:Math	1000,2
Modèle:Math	2030
Modèle:Math	2030,2
Modèle:Math	2020
Modèle:Math	2020,2
Modèle:Math	2010
Modèle:Math	2010,2
Modèle:Math	2000

Exemples

• Deux exemples d'entiers :

$-31_{10}=d_0+d_2(2\mathrm{i}{)}^2+d_4(2\mathrm{i}{)}^4+d_6(2\mathrm{i}{)}^6+\dots =d_0-4d_2+16d_4-64d_6+\dots \iff$

$d_0=1,8_{10}=d_2-4d_4+16d_6-\dots \iff$

$d_0=1,d_2=0,-2_{10}=d_4-4d_6+\dots \iff$

$d_0=1,d_2=0,d_4=2,d_6=1,d_8=\dots =0$

donc

$-31_{10}=1020001_{2\mathrm{i}}.$

De même, $15_{10}=10103_{2\mathrm{i}}.$

• La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :

$\frac{31}{4}=-31(2\mathrm{i}{)}^{-2}=10200,01_{2\mathrm{i}}.$

• La conversion du produit par [[Unité imaginaire|Modèle:Math]] d'un nombre dyadique aussi :

$-\frac{15\mathrm{i}}{2}=15(2\mathrm{i}{)}^{-1}=1010,3_{2\mathrm{i}}.$

• La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent :

$\frac{31}{4}-\frac{15}{2}\mathrm{i}=10200,01_{2\mathrm{i}}+1010,3_{2\mathrm{i}}=11210,31_{2\mathrm{i}}.$

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:En D. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, Modèle:3e éd., Addison-Wesley, Modèle:P.205, « Positional Number Systems »