Voir la source de Table de lignes trigonométriques exactes

{{Sources à lier|date=15/08/2015}}
[[Fichier:Unit circle angles color.svg|vignette|Cercle trigonométrique et angles remarquables]]
Cette '''table de lignes trigonométriques exactes''' rassemble certaines valeurs des [[fonctions trigonométriques]] [[Sinus (mathématiques)|sinus]], [[cosinus]], [[Fonction tangente|tangente]] et [[Fonction cotangente|cotangente]] sous forme d'expressions algébriques à l'aide de [[Racine carrée|racines carrées de réels]], parfois [[Radical imbriqué|imbriquées]]. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le [[triangle équilatéral]]) et de 36° (dans le [[pentagone régulier]]) et à l'aide des [[identité trigonométrique|identités trigonométriques]] de duplication et d'addition des angles.

Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une [[Identité trigonométrique#Formules d'angle moitié|expression algébrique pour l'angle moitié]] ou [[Identité trigonométrique#Formules de l'angle double|l'angle double]]. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout [[polygone régulier]] dont le nombre de côtés est un [[Nombre de Fermat|nombre premier de Fermat]]<ref>Voir par exemple [[Heptadécagone]].</ref>, or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3, 5.

== Tables de valeurs ==
Dans un [[polygone régulier]] à {{mvar|n}} côtés, inscrit dans un cercle de rayon {{mvar|R}}, l'[[apothème]] et le demi-côté valent respectivement {{formule|''R''cos(π/''n'')}} et {{formule|''R''sin(π/''n'')}}. Ces égalités relient naturellement les lignes trigonométriques des angles {{formule|π/''n''}} radians avec les polygones réguliers à {{mvar|n}} côtés. 
{| class="wikitable" align=center
|+ Table de lignes trigonométriques exactes<ref>Lorsque {{sqrt|5}} apparaît dans une expression, on peut le remplacer par {{math|2''φ'' – 1}}, où {{mvar|φ}} est le [[nombre d'or]].</ref> pour quelques angles <math>\leqslant \frac{\pi}{4}</math>
|+  &nbsp;
|-
! angle !! sinus !! cosinus !! tangente !! cotangente !! polygone régulier
|-
| <math>\ \ 0^{\circ} \ \ \ = \ \ 0 \ </math> rad
| style='text-align: center' | <math>0</math>
| style='text-align: center' | <math>1</math>
| style='text-align: center' | <math>0</math>
| style='text-align: center' | non défini ||
|-
| <math>15^{\circ} \ \ \ =\frac{\pi}{12}</math> rad
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt6-\sqrt2}4</math>
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt6+\sqrt2}4</math>
| style='text-align: center' | <math>2-\sqrt3</math>
| style='text-align: center' | <math>2+\sqrt3</math>|| [[dodécagone]]
|-
| <math>18^{\circ} \ \ \ =  \frac{\pi}{10}</math> rad
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt5-1}4</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{\frac{5+\sqrt5}8}</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{1-\frac2\sqrt5}</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{5+2\sqrt5}</math> || [[décagone]]
|-
| <math>22,5^{\circ}=\frac{\pi}{8} \ </math> rad
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2</math>
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt2-1</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt2+1</math> || [[octogone]]
|-
| <math>30^{\circ} \ \ \ = \frac{\pi}{6} \ </math> rad
| style='text-align: center' | <math>\frac12</math> 
| style='text-align: center' | <math>\frac\sqrt32</math>
| style='text-align: center' | <math>\frac1\sqrt3</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt3</math> || [[hexagone]]
|-
| <math>36^{\circ} \ \ \ = \frac{\pi}{5} \ </math> rad
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}</math>
| style='text-align: center' | <math>\frac{\sqrt5+1}4</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{5-2\sqrt5}</math>
| style='text-align: center' | <math>\sqrt{1+\frac2\sqrt5}</math> || [[Pentagone régulier convexe|pentagone]]
|-
| <math>45^{\circ} \ \ \ = \frac{\pi}{4} \ </math> rad
| style='text-align: center' | <math>\frac\sqrt22</math>
| style='text-align: center' | <math>\frac\sqrt22</math>
| style='text-align: center' | <math>1</math>
| style='text-align: center' | <math>1</math> || [[carré]]
|}

Par soustraction <math>(18^{\circ} - 15^{\circ}),</math> on obtient une expression pour les lignes trigonométriques d'un angle de <math>3^{\circ}</math> c'est-à-dire <math>\frac{\pi}{60}</math> rad, puis de tous ses multiples.

{| class="collapsible collapsed wikitable alternance centre" width="100%"
|+Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3°
|-
! scope="col" width="20%" | Angle
! scope="col" width="20%" | sinus
! scope="col" width="20%" | cosinus
! scope="col" width="20%" | tangente
! scope="col" width="20%" | cotangente
|-
! scope="row" | 3°<br/>([[Hexacontagone|polygone régulier à 60 côtés]])
| align="center" | <math>\tfrac{ 2 (1 - \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 + 1) }{16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ 2 (1 + \sqrt3) \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2 (\sqrt5 - 1) (\sqrt3 - 1) }{16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ \left( (2 - \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 - \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }4</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ \left( (2 + \sqrt3) (3 + \sqrt5) - 2 \right) \left(2 + \sqrt{2 (5 - \sqrt5)}\right) }4</math>
|-
! scope="row"| 6°<br/>([[Triacontagone|polygone régulier à 30 côtés]])
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt6\sqrt{5 - \sqrt5} - (\sqrt5 + 1)}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2\sqrt{5- \sqrt5} + \sqrt3( \sqrt5+1)}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2\sqrt{5 - \sqrt5} - \sqrt3(\sqrt5 - 1)}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3 (3 + \sqrt5) + \sqrt{50 + 22 \sqrt5}}2</math>
|-
! scope="row"| 9°<br/>([[Icosagone|polygone régulier à 20 côtés]])
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) - 2\sqrt{5 - \sqrt5}}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2(\sqrt5 + 1) + 2\sqrt{5 - \sqrt5}}8</math>
| align="center" |  <math>\sqrt5 + 1 - \sqrt{5 + 2\sqrt5}</math>
| align="center" |  <math>\sqrt5 + 1 + \sqrt{5 + 2\sqrt5}</math>
|-
! scope="row"| 12°<br/>([[Pentadécagone|polygone régulier à 15 côtés]])
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2\sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt 3 (\sqrt 5 -1)}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt6\sqrt{5 + \sqrt5} +\sqrt 5 - 1}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3(3 - \sqrt5 ) - \sqrt{50 - 22 \sqrt5}}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3 (\sqrt5 + 1) + \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}2</math>
|-
! scope="row"| 15°<br/>([[Dodécagone|dodécagone régulier]])
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}</math>
| align="center" |  <math>2 - \sqrt 3</math> 
| align="center" |  <math>2 + \sqrt 3</math>
|-
! scope="row"| 18°<br/>([[Décagone|décagone régulier]])
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt5-1}4</math>
| align="center" |  <math>\sqrt{\frac{5+\sqrt5}8}</math>
| align="center" |  <math>\sqrt{1-\frac2\sqrt5}</math>
| align="center" |  <math>\sqrt{5 + 2 \sqrt 5} </math>
|-
! scope="row"| 21°
|  align="center" | <math>\tfrac{2(\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} - \sqrt 2 (\sqrt 3 - 1) (1 + \sqrt 5)} {16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{2 (\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 - \sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1) (1 + \sqrt 5)} {16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{(1 + 2 \sqrt 3 - \sqrt 5) \sqrt{5 - 2 \sqrt 5} + (2 + \sqrt 3)(\sqrt 5 - 3) + 2}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\left( 2-(2-\sqrt3)(3-\sqrt5)\right) \left(2+\sqrt{2(5+\sqrt5)} \right)}4</math>
|-
! scope="row"| 24°
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5}}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt6 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt5 + 1}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt{50 + 22 \sqrt5} - \sqrt3 (3 + \sqrt5)}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt2 \sqrt{5 - \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}2</math>
|-
! scope="row"| 27°
| align="center" |  <math>\tfrac{2 \sqrt{5 + \sqrt5} - \sqrt2(\sqrt5 - 1)}8</math>
|  align="center" | <math>\tfrac{2 \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt2(\sqrt5 - 1)}8</math>
| align="center" |  <math>\sqrt5 - 1 - \sqrt{5 - 2 \sqrt5} </math>
|  align="center" | <math>\sqrt5 - 1 + \sqrt{5 - 2 \sqrt5} </math>
|-
! scope="row"| 30°<br/>([[hexagone régulier]])
| align="center" |  <math>\tfrac12</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt 3}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt 3}3</math> 
| align="center" |  <math>\sqrt 3</math>
|-
! scope="row"| 33°
| align="center" |  <math>\tfrac{2(\sqrt 3 - 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (\sqrt 3 + 1) (\sqrt 5 - 1)} {16} </math>
| align="center" |  <math>\tfrac{2 (\sqrt 3 + 1) \sqrt{5 + \sqrt 5} + \sqrt 2 (1 - \sqrt 3) (\sqrt 5 - 1)} {16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac {(-15 + 10\sqrt 3 - 7\sqrt 5 + 4\sqrt{15} )\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)} + 5(\sqrt 3 - 2)(3 + \sqrt 5) + 10}{10}</math>
|  align="center" | <math>\tfrac{\left(2-(2+\sqrt3)(3+\sqrt5)\right) \left(2-\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5} \right)}4</math>
|-
! scope="row"| 36°<br/>([[pentagone régulier]])
|  align="center" | <math>\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\sqrt 5+1}4</math>
| align="center" |  <math>\sqrt{5 - 2\sqrt 5} </math>
|  align="center" | <math>\sqrt{1+\frac2\sqrt5}</math>
|-
! scope="row"| 39°
| align="center" |  <math>\tfrac{2(1-\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2 (1 + \sqrt 3)(1 + \sqrt 5)}{16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{2 (1+\sqrt 3)\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt2(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 5 + 1)}{16}</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\left(\sqrt{2(5+\sqrt 5)}-2\right)\left((2-\sqrt 3)(\sqrt 5 - 3) + 2\right)}4</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{\left( (2+\sqrt3)(3-\sqrt5)-2 \right) \left( 2+ \sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}\right)}4</math>
|-
! scope="row"| 42°
| align="center" |  <math>\tfrac{ \sqrt6 \sqrt{5 + \sqrt5} - (\sqrt5 - 1)}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5} + \sqrt3(\sqrt5 - 1)}8</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ \sqrt3(\sqrt5 + 1) - \sqrt2 \sqrt{5 + \sqrt5}}2</math>
| align="center" |  <math>\tfrac{ \sqrt{50 - 22 \sqrt5} + \sqrt3(3 + \sqrt5)}2</math>
|-
! scope="row"| 45°<br/>([[carré]])
| align="center" |  <math>\tfrac\sqrt22</math>
| align="center" |  <math>\tfrac\sqrt22</math>
| align="center" |  <math>1</math> 
| align="center" |  <math>1</math>
|}


[[Théorème de Gauss-Wantzel|Il n'existe pas]] d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence {{infra|Addition et différence d'angles}} avec celles pour 39° ci-dessus — [[Ennéagone|pour l'angle de 40°]], mais il en existe une formulée à l'aide de [[Racine cubique|racines cubiques]] de [[nombre complexe|nombres complexes]].
Ce n'est pas utile pratiquement, car pour calculer une racine cubique d'un nombre complexe, il faut calculer le cosinus d'un angle.
{{indente|<math>\cos40^\circ=\cos\frac{2\pi}9=\frac12\left(\sqrt[3]{\operatorname e^{2\mathrm i\pi/3}}+\sqrt[3]{\operatorname e^{-2\mathrm i\pi/3}}\right)=\frac12\left(\sqrt[3]{\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2}+\sqrt[3]{\frac{-1-\mathrm i\sqrt3}2}\right)</math>.}}
{{indente|<math>\sin40^\circ=\cos50^\circ=\cos\frac{5\pi}{18}=\frac12\left(\sqrt[3]{\operatorname e^{5\mathrm i\pi/6}}+\sqrt[3]{\operatorname e^{-5\mathrm i\pi/6}}\right)=\frac12\left(\sqrt[3]{\frac{-\sqrt3+\mathrm i}2}+\sqrt[3]{\frac{-\sqrt3-\mathrm i}2}\right)</math>.}}

== Applications ==
Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du [[dodécaèdre régulier]] en fonction de son arête {{math|<var>a</var>}} :
{{indente|<math>V = \frac{5a^3\cos{36^\circ}}{\tan^2{36^\circ}} = \frac{ a^3\left(15 + 7 \sqrt 5 \right)}4</math>.}}
{{...}}

== Construction ==
=== Lignes élémentaires ===
[[Fichier:Angles 0 30 45 60 90 degrés.png|vignette|upright=1.7|Représentation géométrique des angles de 0, 30, 45, 60, et 90 degrés.]]
Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le [[cercle trigonométrique]] à l'aide du [[théorème de Pythagore]].
;Moyen [[mnémotechnique]]{{ancre|Moyen mnémotechnique}}
:On peut restituer une partie de la table en considérant la suite {{math|({{racine|''n''}}/2)}}, pour {{mvar|n}} allant de 0 à 4 :

{| class = "wikitable"
! scope = "col" | Angle
! scope = "col" | sinus
|-
|align=right|<math>0^{\circ} \ =  \, \ 0</math> rad||<math>\frac{\sqrt0}2=0</math>
|-
| align=right|<math>30^{\circ} \ =  \frac{\pi}{6}</math> rad||<math>\frac{\sqrt1}2=0{,}5</math>
|-
| align=right|<math>45^{\circ} \  =  \frac{\pi}{4}</math> rad||<math>\frac{\sqrt2}2\approx0{,}707</math>
|-
| align=right|<math>60^{\circ} \ =  \frac{\pi}{3}</math> rad||<math>\frac{\sqrt3}2\approx0{,}866</math>
|-
| align=right|<math>90^{\circ} \ =  \frac{\pi}{2}</math> rad||<math>\frac{\sqrt4}2=1</math>
|}

La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.

=== Triangles fondamentaux===

[[Image:Fundamenta triangulo de seslatero.gif|thumb|right|Polygone régulier à {{mvar|N}} sommets et son triangle rectangle fondamental, d'angle au centre {{math|π/''N''}}.]]

La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la [[Construction à la règle et au compas#Polygones réguliers|constructibilité de certains polygones réguliers]]. Un {{mvar|N}}-gone régulier se décompose en {{math|2''N''}} [[Triangle rectangle|triangles rectangles]] dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont {{math|π/''N''}}, {{math|π/2 – π/''N''}} et {{math|π/2}}.

Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un [[nombre premier de Fermat]]. Les seuls [[Nombre premier|nombres premiers]] de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et {{nobr|1=2{{16}} + 1 = {{nombre|65537}}.}}

===Addition et différence d'angles===
Grâce à l'[[Théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] et aux [[Identité trigonométrique#Formules d'addition et de différence|formules d'addition et de différence]], on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,
:<math>\begin{align}\cos\frac\pi{15}&=\cos\left(2\times\frac\pi5-\frac\pi3\right)\\
&=\cos\frac\pi3\left(1-2\sin^2\frac\pi5\right)+2\sin\frac\pi3\sin\frac\pi5\cos\frac\pi5\\
&=\frac12\left(1-\frac{5-\sqrt5}4\right)+\sqrt3\sqrt\frac{5-\sqrt5}8\frac{1+\sqrt5}4\\
&=\frac{\sqrt5-1+\sqrt6\sqrt{5+\sqrt5}}8.\end{align}</math>

=== Division d'un angle en deux ===
Les [[Identité trigonométrique#Formules d'angle moitié|formules d'angle moitié]] permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de {{math|1=cos(π/2) = 0}}, on trouve :
:<math>\cos\frac\pi{2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 +\dots \sqrt2}}}2</math>,
où le [[numérateur]] comporte {{mvar|n}} signes {{sqrt|&nbsp;}}.

=== Simplification des expressions ===
{{Article détaillé|Radical imbriqué}}
Outre les simplifications élémentaires usuelles, on peut parfois désimbriquer des racines : pour réduire
:<math>\sqrt{a\pm\sqrt b}</math>
(avec {{mvar|a}} et {{mvar|b}} rationnels, {{math|''b'' ≥ 0}} et {{math|''a'' ≥ {{sqrt|''b''}}}}), il suffit que le réel
:<math>\sqrt{a^2-b}</math>
soit rationnel.
;Exemples
:<math>\cos\frac\pi{12},\cos\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1\pm\frac\sqrt32}2}=\frac\sqrt{2\pm\sqrt3}2=\frac{\sqrt{3/2}\pm\sqrt{1/2}}2=\frac{\sqrt6\pm\sqrt2}4</math>.
:<math>\sin\frac\pi{10}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+\sqrt5}4}2}=\frac\sqrt{6-\sqrt{20}}4=\frac{\sqrt5-1}4</math>.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Exact trigonometric constants|77988517|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Valeurs trigonométriques exactes
  | wikiversity titre = Valeurs trigonométriques exactes
}}
===Articles connexes===
* [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques]]
*[[Théorème de Niven]]

===Liens externes===
*{{MathWorld|nom_url=TrigonometryAngles|titre=Trigonometry Angles}} et les articles liés dans son § « {{Lang|en|See also: 257-gon, 65537-gon, Constructible Polygon, Pi/5, Pi/6, Pi/7, Pi/8 […]}} »
*{{en}} [http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.regpoly.html Regular Polygon], sur mathforum.org
*{{en}} [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html Naming Polygons and Polyhedra], sur mathforum.org
*[https://www.gisinb.ch/yt/trigonometrie/trigonometrie.html Une suite de vidéos sur la trigonométrie.] La 17e vidéo montre comment obtenir la valeur exacte de sin(3°), de cos(3°) et d'autres angles multiples de 3°.
*[https://www.gisinb.ch/yt/constructible_regle_compas/constructible.html Une suite de vidéos sur la construction à la règle et au compas.] La 4e vidéo montre qu'il n'est pas possible d'exprimer la valeur exacte de cos(20°) à l'aide des nombres rationnels, des quatre opérations et de l'extraction de la racine carrée.

{{Portail|géométrie|algèbre}}

[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]
[[Catégorie:Formulaire de mathématiques|Lignes trigonométriques]]