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{{ébauche|mécanique des fluides}}
Le '''tenseur de densité du flux d'impulsion''' est donné par :

<center><math>\Pi_{ik} = p \delta_{ik} + \rho v_i v_k</math></center>

Considérons un fluide ayant la vitesse <math>\vec{v}</math>: l'impulsion de l'unité de volume du fluide est égale à <math>\rho \vec{v}</math> avec <math>\rho</math> la masse volumique du fluide. Le taux de sa variation est donc:

<center><math>\frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}</math></center>


En [[Convention de sommation d'Einstein|notations tensorielles]], nous avons alors: <math>\frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = \rho \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_i \frac{\partial \rho}{\partial t}</math>


Utilisons l'[[équation de continuité]]: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}</math> ; et l'[[Équations d'Euler|équation d'Euler]]: <math>\frac{\partial v_i}{\partial t} = - v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i}</math>


Grâce à ces deux équations, nous déduisons:

<center><math>\frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = - \rho v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} - \frac{\partial p}{\partial x_i} - v_i \frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k} = - \frac{\partial p}{\partial x_i} - \frac{\partial \rho v_i v_k}{\partial x_k}</math></center>


Nous pouvons très bien écrire que: <math>\frac{\partial p}{\partial x_i} = \delta_{ik} \frac{\partial p}{\partial x_k}</math>


d'où, <math>\frac{\partial \rho v_i}{\partial t} = - \frac{\partial (\delta_{ik} p + \rho v_i v_k)}{\partial x_k} = - \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k}</math>


Afin de mettre en évidence la signification du tenseur <math>\Pi_{ik}</math>, intégrons l'équation précédente dans un certain volume:

<center><math>\frac{\partial}{\partial t} \int \rho v_i dV = - \int \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k} dV</math></center>


D'après le théorème d'[[Théorème de la divergence|Ostrogradsky-Gauss]], nous pouvons écrire:

<center><math>\frac{\partial}{\partial t} \int \rho v_i dV = - \oint \Pi_{ik} dS_k</math></center>


Dans le premier membre nous avons la variation par unité de temps de la i-ème composante de l'impulsion dans le volume considéré. Ce qui signifie que le second membre représente la quantité de cette impulsion s'écoulant par unité de temps à travers la surface délimitant le volume considéré.

En écrivant <math>dS_k = n_k dS</math>, nous pouvons dire que: <math>\Pi_{ik} n_k = p n_i + \rho v_i v_k</math> ce qui correspond à l'expression vectorielle <math>p \vec{n} + \rho \vec{v} (\vec{v} \cdot \vec{n})</math>. Nous concluons que <math>\Pi_{ik}</math> est la i-ème composante de la quantité d'impulsion traversant par unité de temps l'unité de surface normale à l'axe <math>x_k</math>.

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