Voir la source de Théorème d'Eisenstein

Le '''théorème d'Eisenstein''' est le résultat suivant de [[géométrie]] [[arithmétique]], démontré par [[Gotthold Eisenstein]]<ref>{{Article|lang=de|auteur=G. Eisenstein|titre=Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Funktionen|revue=Bericht Königl. Preuß Akad. d. Wiss. zu Berlin|année=1852|page=411-444}} — {{Ouvrage|lang=de|titre=Mathematische Gesammelte Werke|vol=II|éditeur=[[American Mathematical Society|Chelsea]]|année=1975|page=765-767}}.</ref> :
{{énoncé|Si une [[série formelle]] {{Retrait|<math>y=\sum_{n\in\N}a_nX^n</math>}}est [[fonction algébrique|algébrique]] — au sens : [[Théorème des fonctions implicites|solution de {{math|1=''P''(''X'', ''y'') = 0}}]] pour un [[Polynôme en plusieurs indéterminées|polynôme]] non nul {{math|''P''(''X'', ''Y'')}} à coefficients [[Nombre algébrique|algébriques]] — alors<ref>La [[Implication réciproque|réciproque]] est fausse : {{Ouvrage|lang=en|titre=Problems and Theorems in Analysis|vol=2|auteur=[[George Pólya]]|auteur2=[[Gábor Szegő]]|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1976|url={{Google Livres|pCa2CmAt8pwC|page=136}}|page=136}}.</ref> il existe un [[Entier relatif|entier]] non nul {{math|''A''}} tel que pour tout {{math|''n'' > 0, ''A{{exp|n}}a{{ind|n}}''}} soit un [[entier algébrique]]<ref>On rencontre des formulations équivalentes de cette conclusion : il existe un entier non nul {{math|''A''}} tel que pour tout ''n'' ≥ 0, {{math|''A''{{exp|''n''+1}}''a{{ind|n}}''}} soit un entier algébrique, ou encore : il existe des entiers non nuls {{math|''A''}} et {{math|''B''}} tels que pour tout ''n'' ≥ 0, {{math|''BA{{exp|n}}a{{ind|n}}''}} soit un entier algébrique.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|titre=Eisenstein's theorem on power series expansions of algebraic functions|auteur=[[Wolfgang Schmidt (mathématicien)|Wolfgang Schmidt]]|revue=[[Acta Arithmetica|Acta Arith.]]|année=1990|vol=56|numéro=2|p.=161-179|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa56/aa5624.pdf}}.</ref>.}}

En particulier si les coefficients {{math|''a{{ind|n}}''}} sont [[Nombre rationnel|rationnels]] alors les {{math|''A{{exp|n}}a{{ind|n}}''}} sont entiers<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Local Fields|auteur=[[John Cassels|J. W. S. Cassels]]|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1986|url={{Google Livres|UY52SQnV9w4C|page=28}}|page=28-30}}.</ref>, donc les [[facteurs premiers]] des [[Fraction irréductible|dénominateurs]] des {{math|''a{{ind|n}}''}} appartiennent à l'[[ensemble fini]] des facteurs premiers de {{math|''A''}}. {{Citation|Une conséquence immédiate de ce résultat, citée d'ailleurs par Eisenstein, est la [[Fonction transcendante|transcendance]] des fonctions [[Logarithme naturel|logarithme]] ou [[Fonction exponentielle|exponentielle]], « mais aussi de beaucoup d'autres »<ref>{{Article|titre=Théorèmes d'algébricité en géométrie diophantienne|sous-titre=d'après [[Jean-Benoît Bost|J.-B. Bost]], [[Yves André|Y. André]], [[David et Gregory Chudnovsky|D. & G. Chudnowski]]|auteur=[[Antoine Chambert-Loir]]|revue=[[Séminaire Bourbaki]]|année=2001|vol=43|numéro=886|p.=175-209|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_2000-2001__43_/SB_2000-2001__43__175_0/SB_2000-2001__43__175_0.pdf}}.</ref>.}}

== Exemple ==
{{Article détaillé|Racine d'un nombre#Développement en série entière{{!}}Racine d'un nombre, § Développement en série entière}}
Pour tout entier ''p'' > 0,
<center><math>(1-x)^{1/p}=1-\sum_{n=1}^\infty\frac{C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}~x^n</math></center>
où les nombres positifs {{math|''C{{ind|p,n}}''}}, qui généralisent [[Nombre de Catalan|ceux de Catalan]] {{math|''C{{ind|n}}''}} (correspondant au [[Racine carrée#Fonction réelle|cas ''p'' = 2]]) sont entiers, car on déduit de leur [[série génératrice]],
{{Retrait|<math>z:=\sum_{n=0}^\infty C_{p,n}x^n=\frac{1-(1-p^2x)^{1/p}}{px},</math>}}
la valeur {{math|1=''C''{{ind|''p'',0}} = 1}} et la [[relation de récurrence]]<ref>En utilisant que (1 – ''pxz''){{exp|''p''}} = 1 – ''p''{{2}}''x'' et que le produit des séries génératrices correspond à la [[Produit de Cauchy|convolution des suites]], {{cf.}} {{Lien web|titre=The Super Patalan Numbers|auteur=Thomas M. Richardson|arxiv=1410.5880|mois=10|année=2014}}.</ref>
{{Retrait|<math>\forall n\in\N^*\quad C_{p,n}=\sum_{2\le k\le p}{p\choose k}p^{k-2}(-1)^k\prod_{i_1+\dots+i_k=n-k+1}C_{p,i_j}.</math>}}

== Démonstration ==
Soit ''N'' le degré par rapport à la variable ''Y'' du polynôme ''P''(''X'', ''Y''). Il existe alors des polynômes ''P{{ind|j}}''(''X'', ''Y'') (à coefficients algébriques) tels que

{{Retrait|<math>P(X,Y+Z)=\sum_{j=0}^NP_j(X,Y)Z^j.</math>}}

Par hypothèse, ''P''(''X'', ''y'') = 0. De plus, [[sans perte de généralité]], ''P''{{ind|1}}(''X'', ''y'') ≠ 0 — sinon, il suffit de remplacer ''P''(''X'', ''Y'') par ''P''{{ind|1}}(''X'', ''Y''), qui est non nul et dont le degré en ''Y'' est < ''N''.

Soit ''m'' la [[valuation]] de ''P''{{ind|1}}(''X'', ''y''), c'est-à-dire le plus petit indice ''k'' pour lequel le coefficient de ''X{{exp|k}}'' dans cette série formelle est non nul. On coupe alors ''y'' en deux :

{{Retrait|<math>y=u+X^{m+1}v\quad{\rm pour}\quad u=\sum_{n=0}^{m+1}a_nX^n\quad{\rm et}\quad v=\sum_{n=1}^\infty b_nX^n\quad(b_n=a_{m+1+n}).</math>}}

Comme on sait que sous les hypothèses du théorème, tous les {{math|''a{{ind|n}}''}} sont des nombres algébriques<ref>Le corps ''L'' qu'ils [[Extension de corps#Définition|engendrent]], sur le [[corps de nombres]] ''K'' engendré par les coefficients de ''P'', est même une [[extension finie]] car [''L'':''K''] = [''L''((''X'')):''K''((''X''))] = [''K''((''X''))(''y''):''K''((''X''))] ≤ ''N''.</ref>, il suffit, pour prouver la propriété annoncée pour ''y'', de la démontrer pour ''<math>v</math>''. Or

{{Retrait|<math>0=P(X,y)=P_0(X,u)+P_1(X,u)X^{m+1}v+\sum_{j=2}^NP_j(X,u)(X^{m+1}v)^j.</math>}}

Par choix de ''m'', le [[polynôme]] ''P''{{ind|1}}(''X'', ''u'')''X''{{exp|''m''+1}} est divisible par ''X''{{exp|2''m''+1}} mais pas par ''X''{{exp|2''m''+2}}. Comme la somme est nulle, ''P''{{ind|0}}(''X'', ''u'') est donc lui aussi multiple de ''X''{{exp|2''m''+1}} et en divisant par cette puissance de ''X'', on obtient

{{Retrait|<math>\sum_{j=0}^NQ_j(X)v^j=0,\quad\forall j>1\quad Q_j(0)=0\quad{\rm et}\quad A:=Q_1(0)\ne0.</math>}}

Les coefficients des ''polynômes Q{{ind|j}}'' sont algébriques. Quitte à les multiplier par un nombre adéquat, on peut donc supposer que ce sont des entiers algébriques et que {{math|''A''}} est même un entier. Alors, tous les {{math|''A{{exp|n}}b{{ind|n}}''}} sont des entiers algébriques, par récurrence sur ''n'' ≥ 1. En effet, en isolant le terme de degré ''n'' dans

{{Retrait|<math>\sum_{j=0}^NQ_j(X)\left(\sum_{n=1}^\infty b_nX^n\right)^j=0,</math>}}

on trouve que {{math|''Ab{{ind|n}}''}} est une [[combinaison linéaire]], à coefficients entiers algébriques, de termes de la forme

{{Retrait|<math>\prod_{1\le i<n}b_i^{k_i}\quad{\rm avec}\quad\sum ik_i<n.</math>}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Dixième problème de Hilbert]]
* [[Suite automatique]]
* [[Théorème de Puiseux]]
* {{Lien|langue=en|trad=Arakelov theory|fr=Théorie d'Arakelov}}

=== Liens externes ===
* {{Article|lang=en|titre=On the form of the power series for an algebraic function|auteur=[[Ernest Julius Wilczynski|E. J. Wilczynski]]|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|vol=26|numéro=1|année=1919|p.=9-12|jstor=2974040}}
* {{Chapitre|lang=en|auteur=[[Alfred van der Poorten|A. J. van der Poorten]]|titre=Power series representing algebraic functions|titre ouvrage=Séminaire de théorie des nombres, Paris 1990-91|éditeur=[[Birkhäuser]]|année=1992|page=241-262|url={{Google Livres|0VxE6OwkuzMC|page=241}}|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130430133352/http://maths.mq.edu.au/~alf/www-centre/alfpapers/a103.pdf|archivedate=30/4/2013}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Eisenstein]]