Voir la source de Théorème d'existence de Takagi

{{Ébauche|algèbre}}
{{À vérifier|thème=mathématiques|date=novembre 2011}}
{{Voir homonymes|Takagi (homonymie)}}
En [[mathématiques]] et dans la [[théorie des corps de classes]], le '''théorème d'existence de Takagi''' établit en partie que si {{mvar|K}} est un [[corps de nombres]] de [[Groupe des classes d'idéaux|groupe de classes]] {{mvar|G}}, il existe une unique [[extension abélienne]] {{math|''L''/''K''}} de [[groupe de Galois]] {{mvar|G}} telle que chaque idéal dans {{mvar|K}} devient principal dans {{mvar|L}}, et que {{mvar|L}} est l'extension abélienne [[Décomposition des idéaux premiers|non ramifiée]] maximale de {{mvar|K}}. Le théorème nous dit que le [[corps de classes de Hilbert]] conjecturé par [[David Hilbert|Hilbert]] existe toujours, mais c'est [[Emil Artin]] et [[Philipp Furtwängler]] qui démontrèrent que cette {{Lien|trad=Principalization (algebra)|principalisation}} apparaît.

Plus généralement, le théorème d'existence nous dit qu'il existe une correspondance bijective, renversant les inclusions, entre les extensions abéliennes de {{mvar|K}} et les groupes d'idéaux définis via les '''modules''' de {{mvar|K}}. Ici, un module (ou ''diviseur de rayon'') est un produit formel des [[valuation]]s (aussi appelées '''places''') sur {{mvar|K}} élevées à des exposants entiers positifs. Les valuations archimédiennes qui apparaissent dans un rayon sont seulement celles dont les complétés sont les [[nombre réel|nombres réels]] ; elles peuvent être identifiées avec les [[Corps ordonné|ordres sur {{mvar|K}}]] et apparaissent seulement avec un exposant {{math|1}}.

Le module {{mvar|μ}} est un produit d'une partie archimédienne {{mvar|α}} et d'une partie non archimédienne {{mvar|η}}, et {{mvar|η}} peut être identifié avec un idéal de l'[[Entier algébrique|anneau des entiers]] <math>\mathcal O_K</math> de {{mvar|K}}. Le ''groupe de nombres mod'' {{mvar|η}} de {{mvar|K}}, {{mvar|K{{ind|η}}}}, est le groupe multiplicatif des fractions {{math|''u''/''v''}} avec {{mvar|u}} et {{mvar|v}} non nuls et premiers à {{mvar|η}} dans <math>\mathcal O_K</math>. Le ''rayon'' ou ''unité de rayon'' du groupe de nombres {{math|mod ''μ''}} de {{mvar|K}}, {{mvar|K{{ind|μ}}}}{{1}}, est le sous-groupe des {{math|''u''/''v''}} tels que de plus, {{math|''u'' ≡ ''v'' mod ''η''}} et {{math|''u''/''v'' > 0}} pour chacun des ordres de {{mvar|α}}. Un ''groupe de nombre de rayon'' est maintenant un groupe se trouvant entre {{mvar|K{{ind|η}}}} et {{mvar|K{{ind|μ}}}}{{1}} et les groupes d'idéaux {{math|mod ''μ''}} sont les [[idéal fractionnaire|idéaux fractionnaires]] premiers avec {{mvar|η}} modulo un tel groupe de nombres de rayon. Ce sont ces groupes d'idéaux qui correspondent aux extensions abéliennes par le théorème d'existence.

Le théorème est dû à [[Teiji Takagi]], qui le démontra pendant les années d'isolement de la [[Première Guerre mondiale]] et le présenta au [[Congrès international des mathématiciens]] de 1920, conduisant au développement de la théorie des corps de classes durant les années 1920. À la demande de Hilbert, l'article fut publié dans les ''[[Mathematische Annalen]]'' en 1925.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Takagi existence theorem|65261759|type=note}}
{{Références}}

== Article connexe ==
[[Formation de classes]]

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des corps de classes]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Takagi]]