Théorème d'existence de Takagi

Modèle:Ébauche Modèle:À vérifier Modèle:Voir homonymes En mathématiques et dans la théorie des corps de classes, le théorème d'existence de Takagi établit en partie que si Modèle:Mvar est un corps de nombres de groupe de classes Modèle:Mvar, il existe une unique extension abélienne Modèle:Math de groupe de Galois Modèle:Mvar telle que chaque idéal dans Modèle:Mvar devient principal dans Modèle:Mvar, et que Modèle:Mvar est l'extension abélienne non ramifiée maximale de Modèle:Mvar. Le théorème nous dit que le corps de classes de Hilbert conjecturé par Hilbert existe toujours, mais c'est Emil Artin et Philipp Furtwängler qui démontrèrent que cette Modèle:Lien apparaît.

Plus généralement, le théorème d'existence nous dit qu'il existe une correspondance bijective, renversant les inclusions, entre les extensions abéliennes de Modèle:Mvar et les groupes d'idéaux définis via les modules de Modèle:Mvar. Ici, un module (ou diviseur de rayon) est un produit formel des valuations (aussi appelées places) sur Modèle:Mvar élevées à des exposants entiers positifs. Les valuations archimédiennes qui apparaissent dans un rayon sont seulement celles dont les complétés sont les nombres réels ; elles peuvent être identifiées avec les [[Corps ordonné|ordres sur Modèle:Mvar]] et apparaissent seulement avec un exposant Modèle:Math.

Le module Modèle:Mvar est un produit d'une partie archimédienne Modèle:Mvar et d'une partie non archimédienne Modèle:Mvar, et Modèle:Mvar peut être identifié avec un idéal de l'anneau des entiers ${𝒪}_K$ de Modèle:Mvar. Le groupe de nombres mod Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, est le groupe multiplicatif des fractions Modèle:Math avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar non nuls et premiers à Modèle:Mvar dans ${𝒪}_K$. Le rayon ou unité de rayon du groupe de nombres Modèle:Math de Modèle:Mvar, Modèle:MvarModèle:1, est le sous-groupe des Modèle:Math tels que de plus, Modèle:Math et Modèle:Math pour chacun des ordres de Modèle:Mvar. Un groupe de nombre de rayon est maintenant un groupe se trouvant entre Modèle:Mvar et Modèle:MvarModèle:1 et les groupes d'idéaux Modèle:Math sont les idéaux fractionnaires premiers avec Modèle:Mvar modulo un tel groupe de nombres de rayon. Ce sont ces groupes d'idéaux qui correspondent aux extensions abéliennes par le théorème d'existence.

Le théorème est dû à Teiji Takagi, qui le démontra pendant les années d'isolement de la Première Guerre mondiale et le présenta au Congrès international des mathématiciens de 1920, conduisant au développement de la théorie des corps de classes durant les années 1920. À la demande de Hilbert, l'article fut publié dans les Mathematische Annalen en 1925.

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Formation de classes