Voir la source de Théorème de Frobenius (algèbre)

{{homon|Théorème de Frobenius}}
En [[mathématiques]], plus spécifiquement en [[algèbre]], le '''théorème de Frobenius''', démontré par [[Ferdinand Georg Frobenius]] en 1877<ref>{{de}} Ferdinand Georg Frobenius, « [[commons:File:Über lineare Substitutionen und bilineare Formen.djvu|Über lineare Substitutionen und bilineare Formen]] », dans ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]'', vol. 84, 1878, p. 1-63. Réimpr. dans ''Gesammelte Abhandlungen'', vol. 1, p. 343-405
</ref>, caractérise les [[Algèbre associative sur un corps|algèbres associatives]] [[Corps gauche|à division]] de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie sur le [[corps commutatif]] ℝ des [[Nombre réel|réels]]. Il n'y en a que trois<ref>Il existe cependant d'autres sur-corps de ℝ qui sont de dimension finie (à droite ou à gauche) sur ℝ, mais ce ne sont pas des ℝ-algèbres car ℝ n'y est pas [[Centre (algèbre)|central]] {{harv|Deschamps|2001}}.</ref>{{,}}<ref>Une variante de {{en}} [[Lev Pontriaguine|L. S. Pontryagin]], ''Topological Groups'', 1966, p. 159 est : ℝ, ℂ et ℍ sont les trois seuls [[Anneau topologique|anneaux topologiques]] à division [[Connexité (mathématiques)|connexes]] et [[localement compact]]s.</ref> ([[à quelque chose près|à isomorphisme près]]) : le corps ℝ des réels, celui ℂ des [[Nombre complexe|complexes]] et le [[corps non commutatif]] ℍ des [[quaternions]].

Le [[théorème de Frobenius généralisé]] de [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] établit que si l'on [[Algèbre sur un corps|enlève les contraintes d'associativité]] et de finitude mais qu'on rajoute celle d'être une [[algèbre de composition]], on ne trouve qu'une quatrième ℝ-algèbre à division : celle des [[octonion]]s.

== Démonstration ==
On peut remplacer les hypothèses « à division » et « de dimension finie » de l'énoncé par les hypothèses plus faibles « sans [[diviseur de zéro]] »<ref>{{EncycloMath|id=Frobenius_theorem&oldid=11433|titre=Frobenius theorem|prénom1=O. A.|nom1=Ivanova}}</ref> et « [[Extension algébrique|algébrique]] »<ref>Ce second allègement d'hypothèses et cette démonstration sont tirés de {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Tsit Yuen|nom1=Lam|lien auteur1=Tsit Yuen Lam|titre=A First Course in Noncommutative Rings|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=131|année=2001|numéro d'édition=2|année première édition=1991|pages totales=385|passage=208-209|isbn=978-0-387-95183-6|lire en ligne={{Google Livres|f15FyZuZ3-4C|page=208}}}}, qui l'attribue à [[Richard Palais]] et signale que cet énoncé et sa preuve s'adaptent {{citation étrangère|lang=la|{{page h'|verbatim}}}} en remplaçant ℝ par n'importe quel [[corps réel clos]].</ref>.

Soient donc {{math|''D''}} une ℝ-algèbre associative sans diviseur de zéro, algébrique sur ℝ mais non réduite à ℝ, {{math|''x''}} un élément non réel de {{math|''D''}}, et {{math|''C''}} = [[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|ℝ[{{math|''x''}}]]].

Alors, {{math|''C''}} est une [[extension algébrique]] stricte de ℝ, [[Extension algébrique#Extensions algébriques de ℝ|donc est isomorphe à ℂ]]. Notons {{math|''i''}} l'une des deux [[unité imaginaire|racines carrées de –1]] dans {{math|''C''}}. L'[[automorphisme intérieur]] associé à {{math|''i''}} est une [[Involution (mathématiques)|involution]], donc [[Diagonalisation#Symétrie|diagonalisable]] en tant qu'endomorphisme d'espace vectoriel sur ℝ :
<center><math>D=D^+\oplus D^-</math></center>
où {{math|''D''{{exp|+}}}} et {{math|''D''{{exp|–}}}} désignent respectivement les espaces propres associés à 1 et –1 :
<center><math>D^+=\{d\in D~|~di=id\}\quad\text{et}\quad D^-=\{d\in D~|~di=-id\}.</math></center>
Le sous-espace {{math|''D''{{exp|+}}}} est une [[Extension de corps|extension]] de {{math|''C''}}, algébrique donc réduite à {{math|''C''}}. Par conséquent, si le sous-espace {{math|''D''{{exp|–}}}} est [[Espace nul|nul]] alors {{math|''D''}} est isomorphe à ℂ.

Si {{math|''D''{{exp|–}}}} est non nul, soient {{math|''y''}} un élément non nul de {{math|''D''{{exp|–}}}} et (comme précédemment) {{math|''j''}} l'une des deux racines carrées de –1 dans l'algèbre ℝ[{{math|''y''}}] = ℝ + ℝ{{math|''y''}}. Puisque {{math|''y''{{2}}}} appartient à la fois à cette algèbre et à {{math|''D''{{exp|+}}}}, il est réel. On en déduit que {{math|''j''}} est un multiple réel de {{math|''y''}}, donc appartient à {{math|''D''{{exp|–}}}}. La [[bijection]] {{math|''d''↦''dj''}} échange {{math|1=''D''{{exp|+}} = ''C''}} et {{math|''D''{{exp|–}}}}, si bien que
<center><math>D=C\oplus Cj=\R\oplus\R i\oplus\R j\oplus\R k</math></center>
avec {{math|''k'' {{=}} ''ij'' {{=}} –''ji''}}, et {{math|''D''}} est alors isomorphe à ℍ.

== Interprétation [[Cohomologie galoisienne|cohomologique]] ==
Ce théorème possède l'interprétation moderne suivante<ref>{{harvsp|Deschamps|2001|p=61}}</ref>. Les ℝ-algèbres associatives à division de dimension finie sont les [[Algèbre centrale simple|algèbres centrales à division]] sur les [[Extension finie|extensions finies]] de ℝ. Elles correspondent donc aux éléments des deux [[Groupe de Brauer|groupes de Brauer]] Br(ℝ) et Br(ℂ). L'unique élément du [[groupe trivial]] Br(ℂ) correspond à la ℂ-algèbre ℂ, et les deux éléments du groupe Br(ℝ) correspondent aux deux ℝ-algèbres ℝ et ℍ.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==



=== Articles connexes ===
* [[Algèbre de quaternions]]
* [[Théorème de Frobenius généralisé]]
* [[Théorème de Gelfand-Mazur]]

=== Bibliographie ===
*{{en}} Ray E. Artz, [http://www.math.cmu.edu/~wn0g/noll/qu1.pdf Scalar Algebras and Quaternions], 2009, Theorem 7.1 « Frobenius Classification », p. 26
*{{en}} Yuri Bahturin, ''Basic Structures of Modern Algebra'', Kluwer Acad., 1993 {{ISBN|0-7923-2459-5}}, p. 30-32
*{{en}} [[Leonard Eugene Dickson|L. E. Dickson]], ''Linear Algebras'', [[Cambridge University Press|CUP]], 1914, § 11 « Algebra of real quaternions; its unique place among algebras », p. 10-12
*{{article|auteur=Bruno Deschamps|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AMBP/AMBP_2001__8_2/AMBP_2001__8_2_61_0/AMBP_2001__8_2_61_0.pdf|titre=À propos d'un théorème de Frobenius|revue=[[Annales mathématiques Blaise Pascal]]|volume=8|numéro=2|année=2001|p.=61-66}}
*{{en}} [[Richard Palais|R. S. Palais]], « The Classification of Real Division Algebras », dans ''[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]'', vol. 75, 1968, p. 366-368

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Frobenius]]