Théorème de Frobenius (algèbre)
Modèle:Homon En mathématiques, plus spécifiquement en algèbre, le théorème de Frobenius, démontré par Ferdinand Georg Frobenius en 1877[1], caractérise les algèbres associatives à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels. Il n'y en a que trois[2]Modèle:,[3] (à isomorphisme près) : le corps ℝ des réels, celui ℂ des complexes et le corps non commutatif ℍ des quaternions.
Le théorème de Frobenius généralisé de Hurwitz établit que si l'on enlève les contraintes d'associativité et de finitude mais qu'on rajoute celle d'être une algèbre de composition, on ne trouve qu'une quatrième ℝ-algèbre à division : celle des octonions.
Démonstration
On peut remplacer les hypothèses « à division » et « de dimension finie » de l'énoncé par les hypothèses plus faibles « sans diviseur de zéro »[4] et « algébrique »[5].
Soient donc Modèle:Math une ℝ-algèbre associative sans diviseur de zéro, algébrique sur ℝ mais non réduite à ℝ, Modèle:Math un élément non réel de Modèle:Math, et Modèle:Math = [[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|ℝ[[[:Modèle:Math]]]]].
Alors, Modèle:Math est une extension algébrique stricte de ℝ, donc est isomorphe à ℂ. Notons Modèle:Math l'une des deux racines carrées de –1 dans Modèle:Math. L'automorphisme intérieur associé à Modèle:Math est une involution, donc diagonalisable en tant qu'endomorphisme d'espace vectoriel sur ℝ :
où Modèle:Math et Modèle:Math désignent respectivement les espaces propres associés à 1 et –1 :
Le sous-espace Modèle:Math est une extension de Modèle:Math, algébrique donc réduite à Modèle:Math. Par conséquent, si le sous-espace Modèle:Math est nul alors Modèle:Math est isomorphe à ℂ.
Si Modèle:Math est non nul, soient Modèle:Math un élément non nul de Modèle:Math et (comme précédemment) Modèle:Math l'une des deux racines carrées de –1 dans l'algèbre ℝ[[[:Modèle:Math]]] = ℝ + ℝModèle:Math. Puisque Modèle:Math appartient à la fois à cette algèbre et à Modèle:Math, il est réel. On en déduit que Modèle:Math est un multiple réel de Modèle:Math, donc appartient à Modèle:Math. La bijection Modèle:Math échange Modèle:Math et Modèle:Math, si bien que
avec Modèle:Math, et Modèle:Math est alors isomorphe à ℍ.
Interprétation cohomologique
Ce théorème possède l'interprétation moderne suivante[6]. Les ℝ-algèbres associatives à division de dimension finie sont les algèbres centrales à division sur les extensions finies de ℝ. Elles correspondent donc aux éléments des deux groupes de Brauer Br(ℝ) et Br(ℂ). L'unique élément du groupe trivial Br(ℂ) correspond à la ℂ-algèbre ℂ, et les deux éléments du groupe Br(ℝ) correspondent aux deux ℝ-algèbres ℝ et ℍ.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- Modèle:En Ray E. Artz, Scalar Algebras and Quaternions, 2009, Theorem 7.1 « Frobenius Classification », p. 26
- Modèle:En Yuri Bahturin, Basic Structures of Modern Algebra, Kluwer Acad., 1993 Modèle:ISBN, p. 30-32
- Modèle:En L. E. Dickson, Linear Algebras, CUP, 1914, § 11 « Algebra of real quaternions; its unique place among algebras », p. 10-12
- Modèle:Article
- Modèle:En R. S. Palais, « The Classification of Real Division Algebras », dans Amer. Math. Month., vol. 75, 1968, p. 366-368
- ↑ Modèle:De Ferdinand Georg Frobenius, « Über lineare Substitutionen und bilineare Formen », dans J. reine angew. Math., vol. 84, 1878, p. 1-63. Réimpr. dans Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, p. 343-405
- ↑ Il existe cependant d'autres sur-corps de ℝ qui sont de dimension finie (à droite ou à gauche) sur ℝ, mais ce ne sont pas des ℝ-algèbres car ℝ n'y est pas central Modèle:Harv.
- ↑ Une variante de Modèle:En L. S. Pontryagin, Topological Groups, 1966, p. 159 est : ℝ, ℂ et ℍ sont les trois seuls anneaux topologiques à division connexes et localement compacts.
- ↑ Modèle:EncycloMath
- ↑ Ce second allègement d'hypothèses et cette démonstration sont tirés de Modèle:Ouvrage, qui l'attribue à Richard Palais et signale que cet énoncé et sa preuve s'adaptent Modèle:Citation étrangère en remplaçant ℝ par n'importe quel corps réel clos.
- ↑ Modèle:Harvsp