Théorème de Gelfand-Mazur

Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant :

Démonstration

Soit Modèle:Math un élément non nul d'une telle algèbre, dont l'unité sera notée Modèle:Math.

$1=\Vert x^n.x^{-n}\Vert \le \Vert x{\Vert }^n\Vert x^{-n}\Vert$

donc

$\sqrt[n]{\Vert x^{-n}\Vert }\ge \frac{1}{\Vert x\Vert },$

ce qui démontre d'après la règle de Cauchy que le rayon de convergence de la série entière

$(x-ze{)}^{-1}=x^{-1}\sum _{n\in \mathbb{N}}{z}^n{x}^{-n}$

est fini.

Or cette série converge sur tout disque de centre Modèle:Math inclus dans le domaine de définition de la fonction $z⟼(x-ze{)}^{-1}$. Ainsi, il existe un complexe Modèle:Math tel que Modèle:Math soit non inversible et donc Modèle:Math puisque l'algèbre étant supposée être un corps, le seul élément non inversible est 0.

Remarque.

L'existence d'un complexe Modèle:Math tel que Modèle:Math soit non inversible, c'est-à-dire d'une valeur spectrale de Modèle:Math, peut aussi se déduire du fait que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe n'est jamais vide.

Histoire

Mazur a annoncé en 1938Modèle:, le théorème plus général suivant :

Toute ℝ-algèbre associative normée à division est isomorphe à ℝ, ℂ, ou ℍ.

Sa preuve – bien que très succincte – était trop longue pour être acceptée par l'éditeur, mais il en transmit les détails à son élève Modèle:Lien, qui les publia en 1968.

C'est donc Gelfand qui donna, en 1941, la première preuve publiée de l'énoncé, mais sous sa forme simplifiée (pour une ℂ-algèbre complète) permettant d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes (à valeurs dans un espace de dimension infinie mais se ramenant au cas usuel par le théorème de Hahn-Banach).

Articles connexes

• Théorème de Frobenius de 1877
• Théorème de Frobenius généralisé
• Modèle:Lien