Algèbre sur un corps

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique $(A,+,\cdot ,\times )$ telle que :

1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
2. la loi × est K-bilinéaire.

Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » Modèle:Nobr de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

• (x + y) × z = x × z + y × z ;
• x × (y + z) = x × y + x × z ;
• (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application Modèle:Nobr telle que $$\mathrm{\forall }x,y\in A,\mathrm{\forall }a\in K,f(x\times y)=f(x)\times f(y)\text{et}f(x+ay)=f(x)+af(y).$$ Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A. Modèle:Article détaillé

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

• Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
• Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
• Une algèbre unifère est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté Modèle:Math.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel.

Si $a=(a_k{)}_{k\in I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^k{)}_{i,j,k\in I}$ d'éléments du corps K tels que : $$a_i\times a_j=\sum _{k\in I}{c}_{i,j}^k{a}_k.$$

Pour Modèle:Math et Modèle:Math fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^k{)}_{i,j,k\in I}$ sont les constantes de structure de l'algèbre A par rapport à la base Modèle:Mvar, et que les relations $a_i\times a_j=\sum _{k\in I}{c}_{i,j}^k{a}_k$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A pour la base Modèle:Mvar. Modèle:...

Exemple d'algèbre de dimension infinie

Soit $U$ un ouvert de $ℂ$. L'ensemble des fonctions analytiques dans $U$ est une $ℂ$-algèbre.

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

Nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes $(ℂ,+,\cdot ,\times )$ est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

	1	i
1	1 × 1 = 1	1 × i = i
i	i × 1 = i	i × i = –1

Corps finis

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (FModèle:Ind = ℤ/pℤ), donc son ordre est pModèle:Exp.

Par exemple le corps fini FModèle:Ind est une algèbre de dimension 2 sur le corps FModèle:Ind = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

	1	a
1	1 × 1 = 1	1 × a = a
a	a × 1 = a	a × a = 1 + a

Algèbres quadratiques

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

	1	x
1	1 × 1 = 1	1 × x = x
x	x × 1 = x	x × x = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et FModèle:Ind est une FModèle:Ind-algèbre quadratique de type (1, 1).

Algèbres associatives et non commutatives

Matrices carrées

Modèle:Loupe L'ensemble $({ℳ}_n(ℝ),+,\cdot ,\times )$ des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension nModèle:2.

Quaternions

Modèle:Loupe L'ensemble $(ℍ,+,\cdot ,\times )$ des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

	1	i	j	k
1	1 × 1 = 1	1 × i = i	1 × j = j	1 × k = k
i	i × 1 = i	i × i = –1	i × j = k	i × k = –j
j	j × 1 = j	j × i = –k	j × j = –1	j × k = i
k	k × 1 = k	k × i = j	k × j = –i	k × k = –1

Biquaternions

L'ensemble $(𝔹,+,\cdot ,\times )$ des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $({ℳ}_2(ℂ),+,\cdot ,\times )$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associative

Modèle:Loupe L'ensemble des octonions $(𝕆,+,\cdot ,\times )$ est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

Produit vectoriel

Modèle:Loupe L'espace euclidien ℝModèle:3 muni du produit vectoriel, $({ℝ}^3,+,\cdot ,\wedge )$, est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ est :

	$\overrightarrow{u}$	$\overrightarrow{v}$	$\overrightarrow{w}$
$\overrightarrow{u}$	$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$	$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$	$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}=-\overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{v}$	$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{w}$	$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$	$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}$
$\overrightarrow{w}$	$\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$	$\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{u}$	$\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$

Crochet de Lie

Modèle:Loupe L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : $[M,N]=MN-NM$, $({ℳ}_n(ℝ),+,\cdot ,[,])$ est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension nModèle:2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

La ℝ-algèbre $(ℍ,+,\cdot ,\times )$ des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : Modèle:Math.

Voir aussi

• Algèbre de Clifford
• Algèbre géométrique
• Algèbre de Lie