Voir la source de Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

{{Voir homonymes|Théorème de Hurwitz}}
En [[théorie des nombres]], le '''théorème de Hurwitz sur les [[Approximation diophantienne|approximations diophantiennes]]''', établi en 1891 par [[Adolf Hurwitz]]<ref>{{Article|lien auteur=Adolf Hurwitz|prénom=Adolf|nom=Hurwitz
 |titre=Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche
 |lang=de|revue=[[Mathematische Annalen]]
 |volume=39|numéro=2|pages=279-284
 |année=1891
 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002253348
}}.</ref>, énonce que pour tout [[nombre irrationnel]] <math>x</math>, il existe une infinité de [[nombre rationnel|rationnels]] <math>h/k</math> tels que
<center><math>\left|x-\frac h k\right|<\frac1{\sqrt5\, k^2}</math>.</center>

== Précisions ==

*L'hypothèse d'irrationalité de <math>x</math> est indispensable, puisque la [[mesure d'irrationalité]] d'un rationnel est égale à 1.
*L'ensemble des couples <math>(h,k)\in\Z\times\N^*</math> vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels <math>h</math> et <math>k</math> sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] l'est.
*Les rationnels <math>h/k</math> qui vérifient l'inégalité font partie des [[Fraction continue#Notations et terminologie|réduites]] de l'irrationnel <math>x</math> (ce résultat est établi dans l'article [[Fraction continue et approximation diophantienne]]).
*La constante {{racine|5}} est optimale : pour <math>x</math> égal par exemple au [[nombre d'or]], si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, {{racine|5}} par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels <math>h/k</math>. En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres équivalents|équivalent]] — « l' »irrationnel qui s'approche le plus mal par des fractions. C'est pourquoi l'on parle parfois de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels<ref>{{en}} ''[http://www.ams.org/featurecolumn/archive/irrational4.html The most irrational number]'', billet de Tony Phillips ([[université Stony Brook]]) sur le site de l'[[American Mathematical Society|AMS]].</ref>.

== Démonstration ==

*Optimalité de la constante {{racine|5}}.
Prenons <math>c=\frac\sqrt5\alpha</math> avec <math>0<\alpha<1</math> et <math>x=\frac{1+\sqrt5}2</math>. Si <math>\theta=\sqrt5k^2\left(\frac{\sqrt5+1}2-\frac hk\right)</math>, alors, on souhaite avoir <math>|\theta|\le\alpha</math>. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve{{Retrait|<math>h^2-hk-k^2=\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta\,</math>.}}Si l'on considère <math>P(h)=h^2-hk-k^2</math> comme un [[polynôme]] en <math>h</math>, on a <math>P(h)=0\Leftrightarrow h=\frac{(1\pm\sqrt5)k}2</math>, mais, comme <math>h</math> et <math>k</math> sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour <math>P(k)</math>. Donc <math>|h^2-hk-k^2|\geq 1</math>.{{Retrait|<math>1\le\left|\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta~\right|\le|\theta|+\frac{|\theta|^2}{5k^2}\le\alpha+\frac{\alpha^2}{5k^2}</math>,}}soit encore <math>k^2<\frac{\alpha^2}{5(1-\alpha)}</math>, ce qui donne un nombre fini de solutions pour <math>k</math>. Comme <math>h</math> doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.
*Démonstration du théorème proprement dit.
Considérons une [[suite de Farey]] d'ordre ''N'', avec <math>\frac{a}{b}</math> et <math>\frac{a'}{b'}</math> deux termes consécutifs tels que <math>\frac ab<x<\frac{a'}{b'}</math>. On peut vérifier que :
**soit <math>b'>\frac{b\sqrt5+1}2</math>
**soit <math>b'<\frac{b\sqrt5-1}2</math>

:Si <math>\omega=\frac{b'}b</math>, on a <math>\omega>\frac{\sqrt5+1}2</math> ou <math>\omega<\frac{\sqrt5-1}2</math>. On peut montrer que <math>1+\omega^{-2}>\sqrt5\omega^{-1}</math>, d'où

::<math>\frac1{\sqrt5}\left(\frac1{b^2}+\frac1{b'^2}\right)>\frac1{\omega b^2}</math>.

:Mais d'un autre côté, <math>\frac{a'}{b'}-\frac ab<\frac1{\sqrt5}\left(\frac1{b^2}+\frac1{b'^2} \right)</math>, ce qui termine l'ébauche de démonstration<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William J. LeVeque]]|titre=Topics in Number Theory|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1956|lire en ligne={{Google Livres|VTWoAAAAQBAJ}}}}.
</ref>.

:Une autre approche consiste à montrer<ref>{{HardyWright}}, théorème 195, {{p.|210-211}} de l'édition de 2008, {{Google Livres|P6uTBqOa3T4C|page=210|aperçu}}.</ref> que dans le développement en [[fraction continue]] d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.

== Généralisations ==
{{...}}
{{article détaillé|Spectre de Lagrange}}
Pour les irrationnels [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres équivalents|équivalents]] au [[nombre d'or]], appelés ''irrationnels nobles'', et pour eux seuls, la constante <math>\sqrt5</math> ne peut être améliorée. Si on les exclut, on a un théorème analogue avec la constante <math>\sqrt8</math>, qui est optimale pour les nombres équivalents à <math>\sqrt2</math>. Si on les exclut à leur tour, une nouvelle constante apparait (valant <math>\sqrt {221}/5</math>) ; la suite de ces constantes, appelées « nombres de Lagrange », est la partie initiale du  « [[spectre de Lagrange]] ».

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Hurwitz's theorem (number theory)|374953446|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
*[[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres équivalents|Nombres équivalents]]
* [[Théorème d'approximation de Dirichlet]]
* [[Théorème de Liouville (approximation diophantienne)]]

=== Liens externes ===
*[http://www.mathwebs.com/Classes/Sup/Suites/Exercices/exo_suite_farey_sup.html Démonstration du théorème de Hurwitz], à partir des propriétés des suites de Farey, sur le site [http://www.mathwebs.com mathwebs.com]
*{{Lien web|langue=en|titre=Elementary Diophantine Approximation|prénom=Bernd Otto|nom=Stratmann|url=http://www.math.uni-bremen.de/~bos/ContFracNEWnotes.pdf|site=[[Université de Brême]]}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Hurwitz]]
[[Catégorie:Approximation diophantienne]]