Voir la source de Théorème de convergence monotone

{{Confusion|Théorème de la limite monotone}}

En [[mathématiques]], le '''théorème de convergence monotone''' (ou '''théorème de [[#Histoire|Beppo Levi]]''') est un résultat de la théorie de l'[[Intégrale de Lebesgue|intégration de Lebesgue]].

Il permet de démontrer le [[lemme de Fatou]] et le [[théorème de convergence dominée]].

Ce théorème indique que pour une [[Suite et série de fonctions|suite]] croissante de [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] ''positives'' on a toujours la [[Suite convergente|convergence]] de la [[Suite (mathématiques)|suite]] de leurs intégrales vers l'intégrale de la [[Convergence simple|limite simple]].

Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir les symboles <math>\int</math> et <math>\lim</math>. De façon équivalente, il permet, pour une [[série de fonctions]] mesurables positives, de permuter les symboles <math>\int</math> et <math>\sum</math>.

== Énoncé ==
{{Théorème|énoncé=Soit <math>(E,\mathcal A,\mu)</math> un [[espace mesuré]]. Pour toute ''suite croissante'' <math>(f_n)_n</math> de fonctions mesurables ''positives'' sur <math>E</math> (''à valeurs dans [[Droite réelle achevée|{{math|[0, +∞]}}]]''), sa [[Convergence simple|limite simple]] est mesurable et l'on a :
<center><math>\int(\lim f_n)~\mathrm d\mu=\lim\left(\int f_n~\mathrm d\mu\right)</math>.</center>
|nom=Théorème de convergence monotone/Beppo Levi}}

{{ancre|Démonstration du Théorème de la convergence monotone}}
{{Démonstration|contenu=Référence : {{Rudin}}, Masson, 1977, p. 21.

Notons
:<math>f=\lim_{n\to+\infty}f_n\quad\text{et}\quad I=\int f~\mathrm d\mu</math>
et pour tout <math>n\in\N</math> :
:<math>I_n=\int f_n~\mathrm d\mu.</math>
Comme la suite de fonctions <math>(f_n)</math> est croissante et majorée par <math>f</math>, la suite <math>(I_n)</math> (à valeurs dans <math>\left[0,+\infty\right]</math>) est croissante — donc sa limite (éventuellement infinie) existe — et cette suite est majorée par <math>I</math>. On a donc :
:<math>\lim I_n\le I</math>.
Pour démontrer l'inégalité dans l'autre sens, considérons une [[fonction étagée]] <math>s</math> telle que
:<math>0\le s\le f</math>.
Soit <math>c</math> une constante strictement inférieure à 1, posons
:<math>E_n=\{x\in E\mid f_n(x)\ge cs(x)\}</math>.
Par construction, on a :
:<math>I_n\ge\int_{E_n}f_n~\mathrm d\mu\ge c\int_{E_n}s~\mathrm d\mu</math>.
De plus, les ensembles mesurables <math>E_n</math> forment une suite croissante dont la réunion est <math>E</math>. Par conséquent,
:<math>\lim\int_{E_n}s~\mathrm d\mu=\int s~\mathrm d\mu</math>.
Donc 
:<math>\lim I_n\ge c\int s~\mathrm d\mu</math>,
et ce pour tout <math>c<1</math>, autrement dit :
:<math>\lim I_n\ge\sup_{c<1}~c\int s~\mathrm d\mu</math>
c'est-à-dire :
:<math>\lim I_n\ge\int s~\mathrm d\mu</math>.
Comme cette inégalité est vraie pour toute fonction étagée positive <math>s</math> majorée par <math>f</math>, [[Intégrale de Lebesgue#Construction formelle|par définition de <math>I</math>]] on obtient bien :
:<math>\lim I_n\ge I</math>.
}}

Comme corollaire important, si les intégrales <math>\int f_n~\mathrm d\mu</math> sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction <math>f=\lim_{n\to+\infty} f_n</math> est [[Intégrabilité#Intégrabilité au sens de Lebesgue|intégrable]], donc finie [[Ensemble négligeable|presque partout]], et l'on peut exprimer le résultat en disant que la suite <math>(f_n)</math> converge vers <math>f</math> pour la [[Espace Lp|norme L{{1}}]].

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une [[Suite et série de fonctions|série de fonctions]] mesurables <math>u_n</math> ''à valeurs positives ou nulles''. Le théorème dit que l'on a toujours
<center><math>\int\left(\sum u_n\right)~\mathrm d\mu=\sum\left(\int u_n~\mathrm d\mu\right).</math></center>
Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales [[Série convergente|converge]], alors la série des <math>u_n</math> est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout <math>x</math>, la série <math>\sum u_n(x)</math> converge.

== Histoire ==
Au début du {{s-|XX}}, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de [[Henri-Léon Lebesgue|Lebesgue]], « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les ''[[CRAS|Comptes Rendus]]'' du {{date-|29 avril 1901}}. Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien [[Beppo Levi]] (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de ''théorème de Beppo Levi''.

== Remarques ==
=== Séries doubles ===
Dans le cas particulier où l'espace mesuré est [[Entier naturel|<math>\N</math>]] muni de la [[Tribu (mathématiques)#Quelques exemples|tribu discrète]] et de la [[mesure de comptage]], on retrouve le [[Famille sommable|théorème d'interversion]] pour les [[Série double|séries doubles]] à termes positifs.

=== Intérêt du théorème ===
L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans <math>L^1(E)</math>. Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'[[Espace fonctionnel|espaces de fonctions]] comme l'espace des [[Série entière|séries entières]], des [[Fonction harmonique|fonctions harmoniques]] ou des [[Espace de Hardy|espaces de Hardy]] ou [[Espace de Sobolev|de Sobolev]].

{{ancre|Théorème de la convergence dominée}}
Le [[lemme de Fatou]] et le [[théorème de convergence dominée]] peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les [[Théorie de la mesure#Mesure à densité|mesures à densité]] et pour démontrer le [[théorème de Fubini]].

=== Non-validité dans le cadre de la théorie de Riemann ===
Considérons l'exemple suivant : à partir d'une [[Ensemble dénombrable#Les rationnels|énumération]] de tous les [[Nombre rationnel|rationnels]] compris entre {{math|0}} et {{math|1}}, on définit la fonction <math>f_n</math> (pour tout entier naturel <math>n</math>) comme l'indicatrice de l'ensemble des <math>n</math> premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions <math>f_n</math> (positives et d'[[intégrale de Riemann]] nulle) converge alors simplement vers l'[[Indicatrice de Q|indicatrice de <math>\Q</math>]], qui n'est pas Riemann-intégrable.

=== Nécessité de l'hypothèse de positivité ===
L'exemple de la suite de fonctions <math>(f_n)_n</math> définies sur <math>\R</math> par <math>f_n = - 1_{\left[n,+\infty\right[}</math> (pour tout entier naturel <math>n</math>) montre que la condition de positivité des <math>f_n</math> est nécessaire.

== Liens externes ==
* [http://www.meca.unicaen.fr/Enseignement/Document/CoursChoi/mathmeca/node60.html Théorèmes de Lebesgue], cours de Daniel Choï, [[université de Caen]]
* {{Lien brisé | url = http://www.les-mathematiques.net/a/a/i/node13.php#aail2 | titre = Théorème de convergence monotone}}sur les-mathematiques.net
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Suite de fonctions]]
[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Convergence monotone]]

[[it:Passaggio al limite sotto segno di integrale#Integrale di Lebesgue]]