Voir la source de Théorème de factorisation

[[Fichier:FundHomDiag.png|Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation|alt=Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation|cadre]]
En [[mathématiques]],  le '''théorème de factorisation''' est un principe général qui permet de construire un [[morphisme]] d'une [[Relation d'équivalence#Structure quotient|structure quotient]] <math>X/R</math> dans un autre espace
<math>Y</math> à partir d'un morphisme de <math>X</math> vers <math>Y</math>, de façon à factoriser ce dernier par la [[Application (mathématiques)#Décomposition canonique|surjection canonique]] de passage au quotient.





== Le cas des ensembles == 
Soit <math>X</math> un [[ensemble]] muni d'une [[relation d'équivalence]] <math>R</math> et <math>s: X\to X/R</math> la surjection canonique.

{{Théorème| Soit <math>f : X\to Y</math> une [[Application (mathématiques)|application]] telle que (pour toute [[paire]] d'éléments {{math|''x'', ''x{{'}}''}} dans {{math|''X''}})
<center><math>x R x'\Rightarrow f(x)=f(x')</math>.</center>
Alors, il [[Existence (mathématiques)|existe]] une [[Unicité (mathématiques)|unique]] application
<center><math>g : X/R\to Y\text{ telle que }f=g\circ s</math>.</center>
De plus :
* <math>g</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]] si et seulement si, réciproquement, <math>f(x)=f(x')\Rightarrow x R x'</math>  (et donc si <math>f(x)=f(x')\Leftrightarrow x R x'</math>) ;
* <math>g</math> est [[surjective]] si et seulement si <math>f</math> est surjective ; 
* <math>g</math> est [[bijective]] si <math>f</math> est surjective et si <math>x R x'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')</math>.
}}

{{Démonstration/début}}
* L'unicité de ''g'' est immédiate et [[Raisonnement par analyse-synthèse|guide la preuve de son existence]], dont voici plusieurs variantes :
** Preuve « naïve » : pour tout élément <math>z=s(x)\in X/R</math>, on pose <math>g(z)=f(x)</math>. Si <math>z=s(x')</math> pour un élément <math>x'</math> équivalent à <math>x</math>, on a <math>f(x)=f(x')</math> par hypothèse. Donc <math>g</math> est bien définie. Par construction, ''f = g''∘''s''.
** Formalisation de la preuve « naïve », rendant plus manifeste l'utilisation de l'[[axiome du choix]] : soit ''t'' une [[Surjection#Section et axiome du choix|section de ''s'']] (c'est-à-dire une application qui à chaque classe associe un élément de cette classe). On pose ''g'' = ''f''∘''t''. Alors, pour tout élément ''x'' de ''X'', (''t''∘''s'')(''x'') ''R'' ''x'' donc ''f''((''t''∘''s'')(''x'')) = ''f''(''x''), c'est-à-dire (''g''∘''s'')(''x'') = ''f''(''x'') ; on a donc bien ''f'' = ''g''∘''s''<ref>{{Bourbaki-Ensembles}}, {{p.|II-44}}, C57, renvoyant à {{Google Livres|VDGifaOQogcC|page autre=SL252-PA20|{{p.|II-20}}}}, proposition 9.a.</ref>.
** Preuve sans axiome du choix : par hypothèse, ''f'' envoie tous les éléments d'une classe ''z'' sur un même élément ''y'' de ''Y''. L'assignation ''z'' ↦ ''y'' définit alors l'application ''g'' qui convient<ref>{{MacLaneBirkhoff1}}, {{Google Livres|L6FENd8GHIUC|page=35|{{p.|35}} de l'éd. de 1999 en anglais}}.</ref>.
** Formalisation de la preuve sans axiome du choix : en notant ''F'' et ''S'' les [[Graphe d'une fonction|graphes]] de ''f'' et ''s'', la [[Relation binaire#Composition et réciproque|relation binaire ''G'' = ''F'' ∘ ''S''{{-1}}]] (définie par : ''zGy'' s'il existe un ''x'' tel que ''z'' = ''s''(''x'') et ''f''(''x'') = ''y'') est [[Relation binaire#Relation fonctionnelle|fonctionnelle]] et définit l'application ''g'' qui convient.
* Si ''f'' est surjective, l'égalité ''f = g''∘''s'' implique que ''g'' est aussi surjective.
* Supposons que <math>xRx'</math> est équivalent à <math>f(x)=f(x')</math>. Soient <math>z_1=s(x_1), z_2=s(x_2)</math> tels que <math>g(z_1)=g(z_2)</math>. Alors <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, donc <math>x_1 R x_2</math> et <math>z_1=s(x_1)=s(x_2)=z_2</math>. Ce qui veut dire que <math>g</math> est injective.
* La dernière propriété résulte des deux précédentes. 
{{Démonstration/fin}}

(La [[réciproque]] est moins utile mais immédiate : pour toute application ''g'' : ''X''/''R'' → ''Y'', la [[Composition de fonctions|composée]] ''f'' = ''g''∘''s'' vérifie ''x R x{{'}}'' ⇒ ''f''(''x'') = ''f''(''x{{'}}'').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

== Le cas des groupes ==
{{Voir|Théorèmes d'isomorphisme}}
Sur un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] <math>G</math>, on considère la relation d'équivalence définie par un [[sous-groupe normal]] <math>H</math> de <math>G</math> :  <math>x R x'</math> si <math>x\in x'H</math>. Alors, la surjection canonique <math>s : G\to G/H=G/R</math> est un [[morphisme de groupes]] et le théorème de factorisation s'énonce

{{Théorème| 
Soit <math>f: G\to K</math> un morphisme de groupes. Si <math>H</math> est contenu dans le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] de <math>f</math>,  alors il existe un unique morphisme de groupes <math>g : G/H\to K</math> tel que <math>f=g\circ s</math>. De plus :
* <math>g</math> est surjectif si <math>f</math> est surjectif ; 
* <math>g</math> est injectif si on a <math>H=\ker f</math> ;
*  <math>g</math> est un [[Isomorphisme de groupes|isomorphisme]] si <math>f</math> est surjectif et <math>H=\ker f</math>.
}}

{{Démonstration|
L'existence de <math>g</math> est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que <math>g</math> soit un morphisme de groupes vient du fait que <math>f</math>
et <math>s</math> sont des morphismes de groupes.

Si <math>H=\ker f</math>, alors <math>f(x_1)=f(x_2)</math> si et seulement si <math>x_1x_2^{-1}\in\ker f=H</math>. Cette dernière condition équivaut à <math>x_1 R x_2</math>. D'après le théorème général, <math>g</math> est injective.
}}

== Le cas des espaces vectoriels ==

On considère un [[espace vectoriel]] <math>E</math> et la relation d'équivalence définie par un [[sous-espace vectoriel]] <math>H</math> :  <math>x R x'</math> si <math>x-x'\in H</math>. Alors, la surjection canonique <math>s : E\to E/H=E/R</math> est [[application linéaire|linéaire]].

{{Théorème| 
Soit <math>f: E\to F</math> une application linéaire. Si <math>H</math> est contenu dans le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'une application linéaire|noyau]] de <math>f</math>,  alors il existe une unique application linéaire <math>g : E/H\to F</math> telle que <math>f=g\circ s</math>. De plus :
* <math>g</math> est surjective si <math>f</math> est surjective ; 
* <math>g</math> est injective si on a <math>H=\ker f</math> ;
* <math>g</math> est un [[Isomorphisme d'espaces vectoriels|isomorphisme]] si <math>f</math> est surjective et <math>H=\ker f</math>.
}}

== Le cas des anneaux ==
{{Voir|Anneau quotient}}
On considère un [[Anneau unitaire|anneau]] <math>A</math> et la relation d'équivalence définie par un [[idéal bilatère]] <math>I</math> de <math>A</math> : <math>x R x'</math> si <math>x-x'\in I</math>. Alors, la surjection canonique <math>s : A\to A/I=A/R</math> est un [[morphisme d'anneaux]].

{{Théorème| 
Soit <math>f: A\to B</math> un morphisme d'anneaux. Si <math>I</math> est contenu dans le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme d'anneaux|noyau]] de <math>f</math>,  alors il existe un unique morphisme d'anneaux <math>g : A/I\to B</math> tel que <math>f=g\circ s</math>. De plus :
* <math>g</math> est surjectif si <math>f</math> est surjectif ; 
* <math>g</math> est injectif si on a <math>I=\ker f</math> ;
* <math>g</math> est un [[Isomorphisme d'anneaux|isomorphisme]] si <math>f</math> est surjectif et <math>I=\ker f</math>.
}}

== Le cas des espaces topologiques ==

Soit <math>X</math> un [[espace topologique]] muni d'une relation d'équivalence <math>R</math> et <math>s: X\to X/R</math> la surjection canonique. On munit <math>X/R</math> de la [[topologie quotient]]. 
Soit <math>f : X\to Y</math> une [[Continuité (mathématiques)#Définition générale (espaces topologiques)|application continue]].

{{Théorème|
Si pour tout couple <math>x R x'</math> dans <math>X</math>, on a <math>f(x)=f(x')</math>, alors il existe une unique application continue <math>g : X/R\to Y</math> telle que <math>f=g\circ s</math>. De plus :
* <math>g</math> est [[surjective]] si <math>f</math> est surjective ; 
* <math>g</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]] si on a <math>x R x'</math> équivalent à <math>f(x)=f(x')</math> ;
* <math>g</math> est [[Applications ouvertes et fermées|ouverte (resp. fermée)]] si <math>f</math> est ouverte (resp. fermée) ; 
* <math>g</math> est un [[homéomorphisme]] si <math>f</math> est surjective et ouverte ou fermée, et si <math>x R x' \Longleftrightarrow f(x)=f(x')</math>.
}}

{{Démonstration|
La continuité de <math>g</math> résulte immédiatement des [[Topologie quotient#Définition et principales propriétés|propriétés générales]] de la topologie quotient. Pour toute partie <math>F</math> de <math>X/R</math>, on a <math>g(F)=f(s^{-1}(F))</math>, cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.  
}}

== Références ==
{{Références}}

== Article connexe ==
[[Magma quotient]]

{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Anneau]]
[[Catégorie:Algèbre linéaire]]
[[Catégorie:Groupe]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Structure algébrique]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Factorisation]]