Voir la source de Théorème des trois carrés

{{ébauche|mathématiques}}
En [[mathématiques]] et plus précisément en [[arithmétique modulaire]], le '''théorème des trois carrés''' s'énonce de la manière suivante :

{{énoncé| (1) Un [[entier naturel]] est [[Somme (arithmétique)|somme]] de trois [[Carré parfait|carrés d'entiers]] [[si et seulement si|'''si''' (et seulement si)]] il n'est '''pas''' de la forme <math>4^i(8k+7)</math> avec <math>i</math> et <math>k</math> entiers naturels.}}

Les premiers entiers naturels qui ne sont pas somme de trois carrés sont donc :

: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... {{OEIS|A004215}}.

Dit autrement, les racines carrées de ces nombres sont les longueurs interdites des diagonales d'un [[parallélépipède rectangle]] à côtés entiers.

Les premiers entiers naturels qui sont somme de trois carrés sont donc : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ... {{OEIS|A000378}}

== Histoire ==

N. Beguelin découvre en 1774<ref>« [https://books.google.fr/books?id=MS5RAAAAYAAJ&pg=PA312 Démonstration du théorème de Bachet, et analyse des nombres en triangulaires & en quarrés] », ''Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin'' (1774, publ. 1776), {{p.|312-369}}.</ref> que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8''n'' + 7, ni de la forme 4''n'', est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante<ref>{{Dickson1}}, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).</ref>. Cette assertion est clairement équivalente<ref>[[Augustin Louis Cauchy|A. L. Cauchy]], « Démonstration du [[Nombre polygonal#Théorème de Fermat-Cauchy|théorème général de Fermat sur les nombres polygones]] », ''Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France'', (1) 14 (1813-1815), {{p.|177}} et suiv., [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90198n/f323 ''Œuvres complètes'', série 2, tome 6, p. 320 et suiv.] : voir {{p.|323}}.</ref> à la partie "'''si'''" de l'assertion (1) ci-dessus, dont [[Adrien-Marie Legendre]], en 1797 ou 1798<ref>A.-M. Legendre, ''[https://archive.org/details/essaisurlathor00lege Essai sur la théorie des nombres]'', Paris, An VI (1797-1798), {{p.|202 et 398-399}}.</ref>, donne une preuve défectueuse<ref>{{Harvsp|Dickson|p=261}}, ne remarque pas les défauts de cette preuve, mais voir l'analyse précise de {{Dis.ar}}, Addition aux Nos 288-293, {{Lire sur Wikisource|Page:Gauss_-_Recherches_arithm%C3%A9tiques,_traduction_Poullet-Delisle,_1807.djvu/513}} et les commentaires de {{Weil1}}, {{Google Livres|XSV0hDFj3loC|page=332|p. 332 et précédentes}} ou {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Elena Deza|auteur2=[[Michel Deza|Michel Marie Deza]]|titre=Figurate Numbers|éditeur=[[World Scientific]]|année=2012|passage=314|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=cDxYdstLPz4C&pg=PA314}}.</ref>. En 1801, [[Carl Friedrich Gauss]] donne la première preuve correcte et complète de ce théorème<ref>{{Harvsp|Gauss|1801|loc=Art. 291 et 292}}, {{Lire sur Wikisource|Page:Gauss_-_Recherches_arithm%C3%A9tiques,_traduction_Poullet-Delisle,_1807.djvu/369}}.</ref>, en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre<ref>A.-M. Legendre, « [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35847/f698.item.r=.zoom Recherches d'analyse indéterminée] », ''Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris'', 1785, {{p.|465-559}} : {{p.|514-515}}.</ref>, dont la preuve laissait également à désirer<ref>{{Harvsp|Dickson|p=261-262}}.</ref>.

Avec le [[théorème des quatre carrés de Lagrange]] ([[Conjecture|conjecturé]] par [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]]), qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés<ref name="Landau" />, et le [[théorème des deux carrés de Fermat|théorème des deux carrés]] d'[[Euler]] (conjecturé par [[Albert Girard|Girard]] et [[Fermat]]), le [[problème de Waring]] pour ''k ''= 2 est entièrement résolu.

== Démonstrations ==

Le sens « seulement si » de l'[[Équivalence logique|équivalence]] est simplement dû au fait que [[Congruence sur les entiers|modulo]] 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la [[réciproque]], les trois outils principaux de la preuve, due à [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] en 1850<ref>{{Article|lang=de|auteur=G. Lejeune Dirichlet|titre=Über die Zerlegbarkeit der Zahlen in drei Quadrate|revue=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|vol=40|année=1850|p.=228-232|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002146908}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur=G. Lejeune-Dirichlet|titre=Sur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrés|revue=[[Journal de mathématiques pures et appliquées|J. math. pures appl.]] (2)|vol=4|année=1859|p.=233-240|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16403r/f241.image}}.</ref> et devenue classique<ref name=Landau>Voir par exemple vol. I, partie III, chap. 4 de : {{de}} [[Edmund Landau|E. Landau]], ''Vorlesungen über Zahlentheorie'', New York, Chelsea, 1927.</ref>, sont
* la [[loi de réciprocité quadratique]],
* le [[théorème de la progression arithmétique]] de Dirichlet et
* la [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] de la [[forme quadratique]] ternaire ''x''{{ind|1}}{{2}} + ''x''{{ind|2}}{{2}} + ''x''{{ind|3}}{{2}}.
Cette réciproque peut également se déduire du [[théorème de Davenport-Cassels]]<ref>Pour une autre démonstration, voir par exemple {{Article|lang=en|titre=Sums of Three Squares|nom={{Lien|Nesmith Ankeny|texte=N. C. Ankeny}}|lien périodique=Proceedings of the American Mathematical Society|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=8|numéro=2|année=1957|p.=316-319|url=http://www.ams.org/journals/proc/1957-008-02/S0002-9939-1957-0085275-8}}.</ref>, qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois [[Carré (algèbre)|carrés]] de [[Nombre rationnel|rationnels]], il est somme de trois carrés d'entiers.

== Sommes de trois carrés non nuls ==
Les premiers entiers naturels qui sont sommes de trois carrés non nuls sont : 3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30,... : {{OEIS|A000408}}.

Il a été démontré que les entiers naturels qui sont sommes de trois carrés mais qui ne sont pas somme de trois carrés non nuls sont les nombres de la forme <math>4^i.k </math> où <math>i</math> est un entier naturel et <math>k\in \{0,1,2,5,10,13,25,37,58,85,130,?\}</math>, où ? désigne un entier inconnu qui s'il existe est <math>>5.10^{10} </math><ref>{{Article|langue=de|auteur1=Franz Halter-Koch|titre=Darstellung natürlicher Zahlen als Summe von Quadraten|périodique=Acta Arithmetica|volume=42|pages=11-20|date=1982|lire en ligne=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4212.pdf}}</ref>.
Les premiers de ces entiers sont
<math>0,1,2,4,5,8=4\cdot2,10,13,16=4^2,20=4\cdot5,25,32=4^2\cdot2,37,40=4\cdot10,52=4\cdot13,58,64=4^3,80=4^2\cdot5,85,100=4\cdot25 </math>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorème des deux carrés de Fermat]]
* [[Théorème des quatre carrés de Lagrange]]
* [[Théorème de Legendre]]
* [[Somme de trois cubes]]
* {{Page h|Théorème de Gauss|Théorèmes de Gauss}}
* {{Page h|Théorème de Dirichlet|Théorèmes de Dirichlet}}
* [[Théorème des nombres polygonaux de Fermat]]

=== Bibliographie ===
{{Article|auteur=[[André Weil]]|titre=Sur les sommes de trois et quatre carrés|revue=[[L'Enseignement mathématique]]|vol=20|année=1974|p.=215-222|url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1974:20#372<!--http://www.ms.uky.edu/~jconstable/Weil_Sur_les_sommes_de_trois_et_quatre_carres-->}}

=== Liens externes ===
* {{Lien web|lang=en|auteur=Pete L. Clark|url=http://math.uga.edu/~pete/4400theend2011.pdf|titre=Representations of integers by quadratic forms|année=2011|page=5-7}}
* {{Lien web|nom=B. Meyer|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.math.u-bordeaux1.fr/~meyer/DocMath/PresentationSdCLambda.pdf&title=Somme%20de%20carr%C3%A9s%20d%27entiers|titre=Somme de carrés d'entiers|site=[[Université de Bordeaux I]]|page=9|année=2008}}
* {{Article|lang=en|auteur=Jan Wójcik|titre=On sums of three squares|revue=Colloq. Math.|vol=24|année=1971|p.=117-119|url=http://math.uga.edu/~pete/Wojcik.pdf}}
*{{Article|auteur=Alexandre Junod|lang=fr|titre=Sommes de trois carrés|
url=https://www.vsmp.ch/bulletin/suche/Artikel/147/147_Junod.pdf|
revue=Bulletin de la SSPMP|vol=147|année=2021|p.=6-8}}

{{portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Trois carres]]
[[Catégorie:Arithmétique modulaire]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]