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{{Voir homonymes|Jauge}}
En [[physique théorique]], une '''théorie de jauge''' est une théorie des champs basée sur un [[groupe (mathématiques)|groupe]] de [[symétrie locale]], appelé [[groupe de jauge]], définissant une « invariance de jauge ». Le prototype le plus simple de théorie de jauge est l'[[équations de Maxwell|électrodynamique classique de Maxwell]].

L'expression « invariance de jauge » a été introduite en 1918 par le mathématicien et physicien [[Hermann Weyl]].

== Historique ==

La première théorie des champs à avoir une [[symétrie de jauge]] était la formulation de l'électrodynamisme de [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] en 1864 dans ''{{lien|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}}''. L'importance de cette [[Symétrie (physique)|symétrie]] est restée inaperçue dans les premières formulations. De façon similaire, [[Hilbert]] a redérivé l'[[équation d'Einstein]] en postulant l'invariance de l'action sous une transformation des coordonnées. Plus tard, lorsque [[Hermann Weyl]] a tenté d'unifier la [[relativité générale]] ainsi que l'[[électromagnétisme]], il a émis l'hypothèse que l'invariance sous un changement d'échelle (ou de « jauge ») serait en fait une symétrie locale de la relativité générale. Suivant le développement de la [[mécanique quantique]], Weyl, [[Vladimir Fock]] et [[Fritz London]] ont modifié la jauge en remplaçant le [[facteur d'échelle]] par un [[nombre complexe]], transformant ainsi le changement d'échelle en un changement de phase, ce qui est une symétrie de jauge en <math>U(1)</math>. Cela permettait d'expliquer l'effet qu'a un champ électromagnétique sur la fonction d'onde d'une particule quantique chargée. Cette transformation de jauge est reconnue comme étant la première théorie de jauge, popularisée par [[Pauli]] en 1941<ref>{{article| nom1 = Pauli | prénom1 = Wolfgang | lien auteur = Wolfgang Pauli | année = 1941 | titre = Relativistic Field Theories of Elementary Particles | url = http://prola.aps.org/abstract/RMP/v13/i3/p203_1 | journal = Rev. Mod. Phys. | volume = 13 | numéro = | pages = 203–32 | doi=10.1103/revmodphys.13.203| bibcode = 1941RvMP...13..203P }}.</ref>.

== Description mathématique ==

On considère un [[relativité générale|espace-temps]] classique modélisé par une [[variété différentielle]] [[Variété lorentzienne|lorentzienne]] à quatre dimensions, pas nécessairement [[courbure|courbe]].

=== Champs de jauge et espaces fibrés ===

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace [[fibré]] différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension ''plus grande'' que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'''espace de base'' du fibré. 

On considère plus précisément un [[fibré principal]], dont la ''fibre'' s'identifie au groupe de structure qui est un [[groupe de Lie]] précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ». 

Un champ de jauge <math>A</math> y apparaît comme une [[connexion (mathématiques)|connexion]], et la forme de Yang-Mills associée <math>F = \mathrm{d}A</math> comme la [[courbure]] associée à cette connexion.

=== Quelques groupes de Lie ===

==== Principaux groupes de Lie ====

* <math>O(n)</math> est le [[groupe orthogonal]] sur <math>\mathbb{R}</math> d'ordre <math>n</math>, {{c.-à-d.}} le [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des matrices <math>n\times n</math> réelles orthogonales (vérifiant <math>^t M M = I_n</math>). 
* <math>SO(n)</math> est le groupe spécial orthogonal sur <math>\mathbb{R}</math> d'ordre <math>n</math>, c.-à-d. le [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des matrices <math>n\times n</math> réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 (<math>^t M M = I_n</math> et <math>\operatorname{det}M = 1</math>). 
* <math>U(n)</math> est le [[groupe unitaire]] sur <math>\mathbb{C}</math> d'ordre <math>n</math> , {{c.-à-d.}} le [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des matrices <math>n\times n</math> complexes [[matrice unitaire|unitaires]] (vérifiant <math>M^* \! M = I_n</math>). 
* <math>SU(n)</math> est le [[groupe spécial unitaire]] sur <math>\mathbb{C}</math> d'ordre <math>n</math> , c.-à-d. le [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif des matrices <math>n\times n</math>  complexes unitaires et de déterminant égal à 1 (<math>M^* \! M = I_n</math> et <math>\operatorname{det}M = 1</math>).

==== Cas particuliers ====

*<math>O(1) = \{1, -1\}</math>
*<math>SO(1) = \{1\}</math>
*<math>U(1)</math> est le [[cercle unité]] complexe. Il est égal à <math>\exp(\mathrm{i}\R)</math>.
*<math>SO(2)</math> est isomorphe à <math>U(1)</math> : c'est l'ensemble des [[Rotation vectorielle|rotations (vectorielles)]] du plan.
*<math>SO(3)</math> est l'ensemble des [[Rotation_vectorielle#Rotation_vectorielle_dans_l'espace_de_dimension_3|rotations de l'espace à 3 dimensions]].

== Exemples physiques ==
* La théorie de jauge classique <math>\mathrm U(1)</math> s'identifie à la [[équations de Maxwell|théorie électromagnétique]] de [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]. C'est une théorie ''abélienne'' (basée sur un [[groupe abélien]]).
* Les théories de jauge basées sur les groupes non abéliens <math>\mathrm{SU}(n)</math> sont appelées [[Théorie de Yang-Mills|théories de Yang-Mills]]. Deux d'entre elles sous-tendent, après [[théorie quantique des champs|quantification]], le [[modèle standard de la physique des particules]]  :
** le [[Interaction électrofaible|modèle électro-faible]] de [[Sheldon Glashow|Glashow]], [[Abdus Salam|Salam]] et [[Steven Weinberg (physicien)|Weinberg]], basé sur le groupe <math>U(1)\times\mathrm{SU}(2)</math>, qui décrit de façon unifiée l'[[électromagnétisme]] et l'[[interaction faible|interaction nucléaire faible]] ;
** la [[chromodynamique quantique]], basée sur le groupe <math>\mathrm{SU}(3)</math>, qui décrit l'[[interaction forte|interaction nucléaire forte]].
* En 2024, l'invariance de jauge statistique est introduite pour mieux comprendre les [[liquide]]s et la [[matière molle]]<ref>{{Article| langue=en| titre=Gauge invariance applies to statistical mechanics too| auteur1=Johanna L. Miller| périodique=[[Physics Today]]| date=6 janvier 2025| doi=10.1063/pt.wcgt.sirc| accès doi=libre| consulté le=13 janvier 2025}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article| langue=en| titre=Gauge Invariance of Equilibrium Statistical Mechanics| auteur1=Johanna Müller| auteur2=Sophie Hermann| auteur3=Florian Sammüller| auteur4=Matthias Schmidt| périodique=[[Physical Review Letters]]| volume=133| numéro=21| numéro article=217101| date=18 novembre 2024| doi=10.1103/PhysRevLett.133.217101}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Gauge theory|810532377|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
==== Bibliothèques virtuelles ====
* Bertrand Delamotte, [http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092924/fr/ ''Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations et groupe de Poincaré''], cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Université Paris 7) au D.E.A. "Champs, Particules, Matières" , 127 pages

==== Aspects historiques ====
* {{en}} John D. Jackson et L. B. Okun, « Historical roots of gauge invariance », dans ''Review of Modern Physics'' '''73''' (2001), 663-680, texte intégral sur {{arxiv2|hep-ph/0012061}}
* {{en}} Lochlainn O'Raifeartaigh, ''The Dawning of Gauge Theory'', [[Princeton University Press]], 1997 {{ISBN|0-691-02977-6}}
* {{en}} Tian Yu Cao, ''Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories'', [[Cambridge University Press]], 1997 {{ISBN|0-521-63420-2}}

==== Ouvrages d'introduction à la [[théorie quantique des champs]] ====
* Michel Le Bellac, ''Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs'', InterEditions/[[Éditions du CNRS]], 1988 {{ISBN|2-86883-359-4}}, réédité par [[EDP Sciences]]

==== Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens ====
* Andrei Teleman, ''Introduction à la théorie de jauge'', [[Société mathématique de France|SMF]], 2012.
* {{en}} [[Theodore Frankel]], ''The Geometry of Physics - An introduction'', Cambridge University Press, 1997 {{ISBN|0-521-38753-1}}
* {{en}} Mikio Nakahara, ''Geometry, Topology ans Physics'', Institute of Physics Publishing, 1990 {{ISBN|0-85274-095-6}}
* {{en}} Charles Nash et Siddharta Sen, ''Topology & Geometry for Physicists'', [[Academic Press]], 1983 {{ISBN|0-12-514080-0}}
* {{en}} [[Yvonne Choquet-Bruhat]] et [[Cécile DeWitt-Morette]], ''Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics'', North-Holland/Elsevier ({{2e|édition}} révisée - 1982) {{ISBN|0-444-86017-7}}

==== Ouvrages de physique pour mathématiciens ====
* [[Pierre Deligne]] {{et al.}}, ''Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians'', [[American Mathematical Society|AMS]], 2000 {{ISBN|0-8218-2014-1}}

=== Articles connexes ===
* [[Effet Aharonov-Bohm]]
* [[Équation de Dirac]]
* [[Histoire de la théorie quantique des champs]]

=== Liens externes ===
* Dans sa chronique [http://www.franceculture.fr/emission-le-monde-selon-etienne-klein-comment-la-physique-peut-aider-a-mieux-comprendre-ce-qui-se-pa "le monde selon..." du 26/06/2014], diffusée sur France culture à 7h18, le physicien [[Étienne Klein]] fait référence à l'invariance de jauge, prenant pour illustration la trajectoire courbe d'un ballon de football lors d'un coup franc.

{{Portail|mathématiques|physique}}

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