Voir la source de Transfert bi-elliptique

En [[astronautique]] le '''transfert bi-elliptique''' est une [[Manœuvre orbitale|manœuvre]] permettant de modifier l'[[orbite]] d'un [[véhicule spatial]] autour d'un [[objet céleste]] central (par exemple la Terre ou le Soleil). Contrairement au [[Orbite de transfert#Orbite_de_transfert_de_Hohmann|transfert de Hohmann]] où l'orbite de transfert relie directement l'orbite initiale et l'orbite finale, le transfert bi-elliptique passe par deux orbites de transferts elliptiques. La première emmène le satellite « plus loin » que nécessaire, la deuxième l'amène sur l'orbite finale. Ce procédé peut être avantageux du point de vue de l'énergie requise si l'orbite finale est beaucoup plus haute que l'orbite initiale<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=David A. Vallado|titre=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|lieu=Hawthorne, CA|éditeur=Micorcosm Press|année=2013|pages totales=1106|passage=322-330|isbn=978-1-881883-18-0}}</ref>. C'est pourquoi cet article traite seulement du cas où l'orbite initiale est plus basse que l'orbite finale.

En principe la manœuvre de transfert bi-elliptique peut être également utilisée pour réduire l'altitude de l'orbite, mais elle ne présente aucun avantage par rapport au transfert de Hohmann. Une exception est l'[[aérofreinage]] (mais qui n'est pas un transfert bi-elliptique au sens de cet article). Cet article ne décrit que le cas d'un transfert d'une orbite basse vers une orbite haute autour du corps central.

L'idée du transfert bi-elliptique est publiée en 1934 par [[Ary Sternfeld]].

== Calcul ==
Dans les calculs suivants on part de l'hypothèse qu'aucune interaction, par exemple liée à la présence d'autres objets célestes, ne vient perturber la manœuvre. Les orbites sont supposées être circulaires et dans le même plan. Les changements de vitesse sont  supposés être instantanés.

=== Vitesse ===
[[Fichier:Bi-elliptic transfer.svg|vignette|Un transfert bi-elliptique entre une orbite initiale basse (bleue) via les orbites de transfert elliptiques (cyan et orange) à l'orbite finale haute (rouge).]]

L'équation fondamentale pour calculer les changements de vitesse requis dans les transferts coplanaires (comme le transfert bi-elliptique) est l'[[équation de la force vive]]<ref name=":0" />

:<math> v=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)} </math>

* <math>r</math> et <math>v</math> sont la distance du véhicule spatial du corps céleste central et sa vitesse courante
* <math>a</math> est le [[grand axe|demi-grand axe]] de l'orbite
* <math>\mu=GM</math> est le paramètre de gravitation de l'objet céleste central (sa masse <math>M</math> multipliée par la [[constante gravitationnelle]] <math>G</math>)

Pour une orbite circulaire (<math>r=a</math>) l'équation se simplifie comme suit

:<math>v=\sqrt{\frac{\mu}{r}}</math>

La figure à droite montre comment se passe la manœuvre de transfert bi-elliptique. Le véhicule spatial se situe sur une orbite circulaire (bleue) avec rayon <math>r_1</math>. Sa vitesse est constante <math>v_1=\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}</math>. Le but de la manœuvre est d'amener le satellite sur l'orbite circulaire haute (rouge) avec rayon <math>r_2</math>.

# Un changement instantané de vitesse met le satellite sur la première orbite de transfert elliptique (cyane), dont le demi-grand axe est <math>a_1</math>. Le premier changement de vitesse s'élève à <br /> <math>\Delta v_1=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_1}\right)}-\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}</math> <br /> Il faut l'appliquer tangentiellement en direction du vol, comme l'orbite initiale est circulaire cela peut avoir lieu n'importe où.
# Quand l'[[apoapside]] est atteinte, le véhicule spatial est à la distance <math>r_b=2a_1-r_1</math> du corps central. La deuxième augmentation de vitesse instantanée est appliquée pour mettre le satellite sur la deuxième orbite de transfert elliptique (orange), dont le demi-grand axe est <math>a_2=\tfrac{r_b+r_2}{2}</math>. Il faut de nouveau l'appliquer tangentiellement à la vitesse, la [[valeur absolue]] est<br /> <math>\Delta v_2=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_b}-\frac{1}{a_2}\right)}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_b}-\frac{1}{a_1}\right)}</math>
# La vitesse est changée une troisième fois quand le satellite se trouve à la [[périapside]] de la deuxième orbite de transfert. Cette fois-ci il faut ralentir le satellite pour qu'il reste sur l'orbite circulaire finale. <br /> <math>\Delta v_3=\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_2}\right)}</math>

En tout le besoin de carburant (Delta v) est

:<math>\Delta v=\Delta v_1+\Delta v_2+\Delta v_3 = \left(\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a_1}\right)}-\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}\,\right) + \left(\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_b}-\frac{1}{a_2}\right)}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_b}-\frac{1}{a_1}\right)}\,\right) + \left(\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}-\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_2}-\frac{1}{a_2}\right)}\,\right)</math>

Chaque manœuvre de transfert bi-elliptique, du moins que <math>r_b>r_2</math>, est avantageuse du point de vue de besoin en carburant en comparaison avec le transfert de Hohmann si le rayon de l'orbite finale est plus de 15,58 fois plus grand que le rayon de l'orbite initiale. Sous certaines circonstances le transfert bi-elliptique peut demander moins de Delta v même si le rapport des rayons est inférieur à 15,58 (voir la section [[#Comparaison avec le transfert de Hohmann]]).

=== Temps ===
Le temps de la manœuvre de transfert se calcule d'après les moitiés des [[Période de révolution|périodes de révolution]] des ellipses de transferts. La période <math>T</math>, c'est-à-dire le temps qu'un satellite met pour faire une révolution sur l'orbite, se calcule d'après la [[troisième loi de Kepler]]<ref name=":0" />

:<math>T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}</math>

Donc le temps de la manœuvre de transfert bi-elliptique est
:<math>\Delta t=\pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>

Ceci est beaucoup plus que pour le transfert de Hohmann équivalent, ce qui est un inconvénient important du transfert bi-elliptique (voir la section [[#Comparaison avec le transfert de Hohmann]]).

== Cas limite transfert de Hohmann ==
{{article détaillé|Orbite de transfert#Orbite_de_transfert_de_Hohmann}}

Le transfert bi-elliptique devient un ''transfert de Hohmann'' lorsque <math>r_b=r_2</math><ref name=":0" />.

== Cas limite transfert bi-parabolique ==
[[Fichier:Bi-parabolicTransfer.png|vignette|Un transfert bi-parabolique entre une orbite initiale basse (bleue) via les orbites de transfert paraboliques (verte et orange) à l'orbite finale haute (rouge).]]

Le transfert bi-elliptique devient un transfert ''bi-parabolique'' lorsque <math>r_b\rightarrow\infty</math><ref name=":0" />.

Ce cas est une analyse purement théorique car le satellite est amené à une distance infinie du corps central. Ceci demande premièrement un temps infini et deuxièmement la simplification d'un [[problème à deux corps]] n'est plus valable. Néanmoins la manœuvre est intéressante à analyser dans la perspective de la prochaine section qui compare plusieurs manœuvres de transferts.

# Le véhicule spatial est maintenant mis sur une [[Vitesse de libération|orbite de libération]] parabolique. <br /> <math>\Delta v_1=(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}</math>
# La vitesse du satellite est 0 à l'infini (<math>\infty</math>). Une poussée infinitésimalement petite suffit pour que le satellite adopte la deuxième orbite de transfert parabolique. <br /> <math>\Delta v_2=0</math>
# Pour finir il faut freiner le satellite au sommet de la deuxième parabole pour qu'il reste sur l'orbite circulaire finale. <br /> <math>\Delta v_3=(\sqrt{2}-1)\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}</math>

En tout le besoin de carburant (Delta v) est 

:<math>\Delta v=\Delta v_1+\Delta v_2+\Delta v_3 = \left(\sqrt{2}-1\right) \left(\sqrt{\frac{\mu}{r_1}}+\sqrt{\frac{\mu}{r_2}}\,\right)</math>

Cette valeur est inférieure au besoin du transfert de Hohmann si <math>r_2>11,94\,r_1</math>. Le transfert bi-parabolique est le cas limite d'un transfert bi-elliptique qui économise le plus de Delta v <ref name=":1">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Pedro R. Escobal|titre=Methods of Astrodynamics|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1968|isbn=978-0-471-24528-5}}</ref>.

== Comparaison avec le transfert de Hohmann ==
=== Vitesse ===
[[Fichier:ComparisonComparisonZoom.png|vignette|Besoin de Delta v (normée sur <math>v_1</math>) pour quatre manœuvres entre les deux mêmes orbites en dépendance du rapport entre les rayons <math>\tfrac{r_2}{r_1}</math>.]]

La figure à droite montre le besoin de Delta v, une mesure pour le carburant et donc l'énergie nécessaire, pour une manœuvre entre une orbite initiale circulaire avec rayon <math>r_1</math> et une orbite finale circulaire avec rayon <math>r_2</math>.

<math>\Delta v</math> est normée sur la vitesse initiale <math>v_1</math> pour que la comparaison soit générale. Les quatre courbes montrent le besoin de carburant pour un transfert de Hohmann (bleu), un transfert bi-elliptique avec <math>\alpha=\tfrac{r_b}{r_1}=20+\tfrac{r_2}{r_1}</math> (rouge), un transfert bi-elliptique avec <math>\alpha=\tfrac{r_b}{r_1}=100+\tfrac{r_2}{r_1}</math> (cyan) et un transfert bi-parabolique (<math>r_b\rightarrow\infty</math>) (vert)<ref>{{Article|langue=anglais|auteur1=F. W. Gobetz|auteur2=J. R. Doll|titre=A Survey of Impulsive Trajectories|périodique=AIAA Journal|volume=7|numéro=5|jour=|mois=May|année=1969|issn=|doi=10.2514/3.5231|lire en ligne=|pages=801-834}}</ref>.

On voit que le transfert de Hohmann est favorable quand le rapport des rayons est inférieur à 11,94. Chaque manœuvre de transfert bi-elliptique, du moins tant que <math>r_b>r_2</math>, est favorable si le rayon de l'orbite finale est plus de 15,58 fois plus grand que le rayon de l'orbite initiale.

La distance de l'apoapside commune des deux orbites de transfert (point 2 dans les figures sur le [[#Calcul|transfert bi-elliptique]] et le [[#Cas limite transfert bi-parabolique|transfert bi-parabolique]]) est déterminante entre 11,94 et 15,58.

Le tableau suivant établit une liste de la distance de l'apoapside par rapport au rayon de l'orbite initiale <math>\alpha=\tfrac{r_b}{r_1}</math> minimale requise pour qu'un transfert bi-elliptique soit avantageux en termes de Delta v.

{| class="wikitable"
|+<math>\alpha=\tfrac{r_b}{r_1}</math> minimal, pour que le transfert bi-elliptique soit avantageux du point de vue énergétique<ref name=":1" />.
! Rapport des rayons <math>\tfrac{r_2}{r_1}</math> !! <math>\alpha=\tfrac{r_b}{r_1}</math> minimal !! Remarques
|-
| 0 à 11,94 || - || Le transfert de Hohmann est favorable
|-
| 11,94 || <math>\infty</math> || Transfert bi-parabolique
|-
| 12 || 815,81 || 
|-
| 13 || 48,90 || 
|-
| 14 || 26,10 || 
|-
| 15 || 18,19 || 
|-
| 15,58 || 15,58 || 
|-
| plus de 15,58 || plus de <math>\tfrac{r_2}{r_1}</math> || Chaque transfert bi-elliptique est favorable
|}

Cette cohérence pas forcément intuitive est expliquée avec l'[[effet d'Oberth]].

=== Temps ===
Le temps très long du transfert bi-elliptique

:<math>\Delta t=\pi\sqrt{\frac{a_1^3}{\mu}}+\pi\sqrt{\frac{a_2^3}{\mu}}</math>

est un inconvénient important de cette manœuvre. Le temps devient même infini pour le cas limite du transfert bi-parabolique.

À titre de comparaison, le transfert de Hohmann met moins de la moitié du temps, plus exactement
:<math>\Delta t=\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}</math>

parce qu'il n'y a qu'une demi-ellipse à orbiter.

== Exemple ==
Un exemple d'après Example 6-2 de<ref name=":0" /> illustre les transferts.

Un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre, le rayon est <math>r_1=6569\,\mathrm{km}</math>. L'orbite finale autour de la Terre est circulaire également avec le rayon <math>r_2=382688\,\mathrm{km}</math>. Les manœuvres de transfert de Hohmann, bi-elliptique et bi-parabolique sont comparées selon leur vitesse et temps.

Le rapport des rayons est approximativement 58,25. Donc les transferts bi-elliptique et bi-parabolique demandent moins de Delta v que le transfert de Hohmann. Il faut que <math>r_b>r_2</math> pour le transfert bi-elliptique, ici <math>r_b=100\,r_1</math>.

Le tableau suivant montre la comparaison :

{| class="wikitable"
|-
! !! Transfert Hohmann !! Transfert bi-elliptique <math>\alpha=100</math> !! Transfert bi-parabolique
|-
| <math>\Delta v_1</math> || <math>3,133\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math> || <math>3,172\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math> || <math>3,226\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math>
|-
| <math>\Delta v_2</math> || <math>0,833\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math> || <math>0,559\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math> || <math>0\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math>
|-
| <math>\Delta v_3</math> || pas de <math>\Delta v_3</math> || <math>0,127\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math> || <math>0,423\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}</math>
|-
| <math>\mathbf{\Delta v}</math> '''total''' || <math>\mathbf{3,966\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}}</math> || <math>\mathbf{3,858\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}}</math> || <math>\mathbf{3,649\,\mathrm{\tfrac{km}{s}}}</math>
|-
| Temps || <math>118\,\mathrm{h}</math> <math>40\,\mathrm{min}</math> <math>59\,\mathrm{s}</math> || <math>782\,\mathrm{h}</math> <math>9\,\mathrm{min}</math> <math>27\,\mathrm{s}</math> || <math>\infty</math>
|}

== Notes et références ==
{{Reflist}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Orbite de transfert]]
* [[Delta-V]]
* [[Manœuvre orbitale]] 

=== Lien externe ===
* A. F. B. A. Prado, «  », ''Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering'', {{vol.}} 25, <time>2003</time>, {{p.}} 122–128 {{Identifiants biblio|issn=1678-5878|doi=10.1590/S1678-58782003000200003|lire en ligne=http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1678-58782003000200003}}

{{Palette|Orbites}}
{{Portail|astronautique|astronomie}}

[[Catégorie:Manœuvre orbitale]]