Voir la source de Triangle heptagonal

[[fichier:Heptagrams.svg| vignette| L'heptagone régulier convexe (côtés rouges), avec ses diagonales longues (en vert) et courtes (en bleu). On compte quatorze triangles heptagonaux [[congruence (géométrie)|congruents]] constitués d'un côté vert, un bleu et un rouge.]]
[[fichier:Triangle heptagonal.svg| vignette| Triangle heptagonal.]]
En [[géométrie]], le '''triangle heptagonal''' est le [[triangle]], unique à [[Similitude (géométrie)|similitude]] près, d'angles de mesures en radians {{math|π/7}}, {{math|2π/7}} et {{math|4π/7}}, soit environ 26°, 51° et 103°. C'est l'unique triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1.

On l’obtient dans l'[[heptagone régulier]] convexe en partant d'un des sommets et en prenant les deuxième et quatrième sommets. Ses côtés sont donc constitués d'un côté de l'heptagone régulier, et deux de ses diagonales (une longue et une courte).

Comme le [[Triangle d'or (géométrie)|triangle d'or]], dont les angles sont dans les rapports 2:2:1, le triangle heptagonal a de nombreuses propriétés remarquables.

== Le triangle heptagonal et ses centres ==
{{article détaillé|Centre du triangle}}
Le centre du [[cercle d'Euler]] du triangle heptagonal est aussi son premier [[point de Brocard]]<ref name="Yiu">{{article|langue=en |auteur=Paul Yiu<!-- Wikidata : Q102168805 --> |titre=Heptagonal Triangles and Their Companions |périodique={{lang|la|[[Forum Geometricorum]]}} |volume=9 |année=2009 |pages=125–148 |lire en ligne=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf}}.</ref>{{rp|Propos. 12}}. Le second point de Brocard se trouve sur le cercle d'Euler<ref name="BG">{{article|langue=en |auteur1=[[Leon Bankoff]] |auteur2=Jack Garfunkel |titre=The heptagonal triangle |périodique=''{{lang|en|[[Mathematics Magazine]]}}'' |numéro=46 (1) |date=janvier 1973 |pages=7–19 |doi=https://doi.org/10.1080/0025570X.1973.11976267 |lire en ligne=http://math.fau.edu/yiu/PSRM2015/yiu/New%20Folder%20(4)/Downloaded%20Papers/0.pdf}}.</ref>{{rp|p. 19}}.

[[File:HeptagonalTriangleFermat.svg|droite|420px]]
Le centre du [[cercle circonscrit]] et les [[Point de Fermat|points de Fermat]] du triangle heptagonal forment un [[triangle équilatéral]]<ref name="Yiu" />{{rp|Thm. 22}}.

{{clr}}

En notant {{mvar|R}} le rayon du cercle circonscrit et {{mvar|r}} le centre du [[cercle inscrit]], on peut exprimer la distance entre le centre du cercle circonscrit ''O'' et l'[[orthocentre]] ''H'' par<ref name="BG" />{{rp|p. 19}}
:<math>OH=R\sqrt{2},</math>
et la distance entre le centre du cercle circonscrit ''I'' à l'orthocentre par<ref name="BG" />{{rp|p. 19}}
:<math>IH^2=\frac{R^2+4r^2}{2}.</math>

Les deux tangentes au cercle circonscrit issues de l'orthocentre sont [[Perpendicularité|perpendiculaires]]<ref name="BG" />{{rp|p. 19}}.

== Relations entre les distances ==

=== Longueurs des côtés ===

Les côtés du triangle heptagonal {{math|''a'' < ''b'' < ''c''}} coïncident, par définition, avec le côté de l'heptagone régulier, sa diagonale courte et sa diagonale longue. Ces trois longueurs vérifient<ref name="Altintas">{{article|langue=en |auteur=Abdilkadir Altintas |titre=Some Collinearities in the Heptagonal Triangle |périodique={{lang|la|[[Forum Geometricorum]]}} |volume=16 |année=2016 |pages=249–256 |lire en ligne=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf}}.</ref>{{rp|Lemma 1}}

:<math>
a^2 =c(c-b), \ b^2 =a(c+a), \ c^2 = b(a+b), \ \frac1a =\frac1b + \frac1c 
</math>
(la dernière est connue sous le nom d'{{lien|fr=équation optique|trad=Optic equation}}<ref name="BG" />{{rp|p. 13}}) et donc
:<math> ab+ac=bc,</math>
et<ref name="Altintas" />{{rp|Coro. 2}}

:<math>b^3+2b^2c-bc^2-c^3=0, </math>
:<math>c^3-2c^2a-ca^2+a^3=0, </math>
:<math>a^3-2a^2b-ab^2+b^3=0.</math>

Ainsi, les rapports {{math|–''b''/''c''}}, {{math|''c''/''a''}}, et {{math|''a''/''b''}} sont les racines de l'[[équation cubique]]

:<math>t^3-2t^2-t + 1=0.</math>

Il n'existe aucune [[expression algébrique]] réelle pour les solutions de cette équation, car c'est un exemple de ''{{lang|la|[[casus irreducibilis]]}}''.
On a cependant les approximations
:<math>b\approx 1,80193\cdot a, \qquad c\approx 2,24698\cdot a.</math>

On a aussi<ref name="Wang2">{{article|langue=en |auteur=Kai Wang |titre=Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities |périodique={{lang|la|Forum Geometricorum}} |volume=19 |année=2019 |pages= 29–38 |lire en ligne=https://www.researchgate.net/profile/Kai-Wang-227/publication/331020508_Heptagonal_Triangle_and_Trigonometric_Identities/links/5c616e3592851c48a9ca6b12/Heptagonal-Triangle-and-Trigonometric-Identities.pdf}}.</ref>{{,}}<ref name="Wang2a">{{lien web|langue=en |auteur=Kai Wang |titre=On cubic equations with zero sums of cubic roots of roots |url=https://www.researchgate.net/publication/335392159_On_cubic_equations_with_zero_sums_of_cubic_roots_of_roots}}.</ref>
:<math>\frac{a^2}{bc}, \quad -\frac{b^2}{ca}, \quad -\frac{c^2}{ab} </math> 
qui vérifient l'équation cubique
:<math>t^3+4t^2+3t-1=0.</math>

On a <ref name="Wang2" />
:<math>\frac{a^3}{bc^2}, \quad -\frac{b^3}{ca^2}, \quad \frac{c^3}{ab^2} </math> 
qui vérifient l'équation cubique
:<math>t^3-t^2-9t+1=0.</math>

On a <ref name="Wang2" />
:<math>\frac{a^3}{b^2c}, \quad \frac{b^3}{c^2a}, \quad -\frac{c^3}{a^2b} </math> 
qui vérifient l'équation cubique
:<math>t^3+5t^2-8t+1=0.</math>

On a <ref name="BG" />{{rp|p. 14}}

:<math>b^2-a^2=ac,\ c^2-b^2=ab, \ a^2-c^2=-bc,</math>
et<ref name="BG" />{{rp|p. 15}}
:<math>\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}=5.</math>

On a aussi<ref name="Wang2" />
:<math>ab-bc+ca=0,   </math>  
:<math>a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,   </math>  
:<math>a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,  </math>  
:<math>a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.   </math>

{{refnec|Il n'existe aucun autre couple d'entiers strictement positifs (''m'', ''n''), ''m'', ''n'' > 0, ''m, n'' < 2000 tel que}}
:<math>a^{m}b^{n} \pm b^{m}c^{n} \pm c^{m}a^{n}=0.   </math>

=== Hauteurs ===

Les hauteurs {{mvar|h{{ind|a}}}}, {{mvar|h{{ind|b}}}} et {{mvar|h{{ind|c}}}} vérifient<ref name="BG" />{{rp|p. 13-14}}
:<math>h_a=h_b+h_c</math>
et
:<math>h_a^2+h_b^2+h_c^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}</math><ref name="BG" />{{rp|p. 14}}.

La hauteur pour le côté ''b'' (d'angle opposé ''B'') est la moitié de la bissectrice interne {{mvar|w{{ind|A}}}} de ''A''<ref name="BG" />{{rp|p. 19}} :
:<math>2h_b=w_A.</math>
Ici, l'angle ''A'' est le plus petit angle, et ''B'' le second plus petit.

=== Bissectrices internes ===

Les longueurs des bissectrices internes {{mvar|w{{ind|A}}}}, {{mvar|w{{ind|B}}}} et {{mvar|w{{ind|C}}}} (bissectrices des angles ''A'', ''B'' et ''C'' respectivement) vérifient<ref name="BG" />{{rp|p. 16}} :

:<math>w_A=b+c,\ w_B=c-a, w_C=b-a.</math>

=== Rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits ===

On note {{mvar|R}} le rayon du cercle circonscrit au triangle heptagonal. Son aire vaut alors<ref name="Weisstein" /> :
:<math>A=\frac{\sqrt{7}}{4}R^2.</math>
On a aussi<ref name="BG" />{{rp|p. 12,15}}{{,}}<ref name="Wang1">{{lien web|langue=en |auteur=Kai Wang |titre=Trigonometric Properties For Heptagonal Triangle |url=https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle}}.</ref>
:<math>a^2+b^2+c^2=7R^2,\quad a^4+b^4+c^4=21R^4,\quad a^6+b^6+c^6=70R^6,</math>
:<math>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{2}{R^2},\quad \frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=\frac{2}{R^4}, \quad \frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{c^6}=\frac{17}{7R^6}.</math>

De façon générale, pour tout entier ''n'', 
:<math>a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}</math>
avec
:<math>g(-1) = 8,  \quad g(0)=3, \quad g(1)=7 </math>
et 
:<math>g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3), </math>

on a<ref name="Wang1" />
:<math>2b^2-a^2=\sqrt{7}bR,  \quad
2c^2-b^2=\sqrt{7}cR,  \quad
2a^2-c^2=-\sqrt{7}aR. </math>

On a aussi<ref name="Wang2" />
:<math>a^{3}c + b^{3}a - c^{3}b = -7R^{4},  </math>  
:<math>a^{4}c - b^{4}a + c^{4}b = 7\sqrt{7}R^{5},  </math>  
:<math>a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3} - c^{11}b^{3}  = -7^{3}17R^{14}.  </math>

Le rapport {{math|''r''/''R''}} entre le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit est la racine positive de l'équation cubique<ref name="Weisstein" />
:<math>8x^3+28x^2+14x-7=0.</math>

Le rayon du cercle exinscrit au côté {{mvar|a}} est égal au rayon du cercle d'Euler du triangle heptagonal<ref name="BG" />{{rp|p. 15}}.

== Triangle orthique ==

[[File:HeptagonalTriangleOrthic.svg|430px|droite]]

Le [[triangle orthique]] du triangle heptagonal, dont les sommets sont les pieds des [[Hauteur (géométrie)|hauteurs]], est [[Similitude (géométrie)|semblable]] au triangle heptagonal, dans le {{nobr|rapport {{fraction|1|2}}}}. Le triangle heptagonal est le seul [[triangle obtusangle]] qui est semblable à son triangle orthique (le [[triangle équilatéral]] est le seul [[triangle acutangle]] ayant la même propriété, et ce avec le même rapport de proportionnalité)<ref name="BG" />{{rp|pp. 12–13}}.

Le cercle circonscrit au triangle orthique du triangle heptagonal est le [[cercle d'Euler]] du triangle heptagonal.

{{clr}}

== Trigonométrie ==
{{article détaillé|Formules trigonométriques en kπ/7}}
Les nombreuses [[Identité trigonométrique|identités trigonométriques]] associées au triangle heptagonal incluent<ref name="BG" />{{rp|pp. 13–14}}{{,}}<ref name="Weisstein">{{MathWorld|nom_url=HeptagonalTriangle|titre=Heptagonal Triangle}}.</ref>

:<math>A=\frac{\pi}{7}, \quad B=\frac{2\pi}{7}=2A, \quad C=\frac{4\pi}{7} = 4A=2B</math>

:<math>\cos A=\frac{b}{2a}, \quad \cos B=\frac{c}{2b}, \quad \cos C =-\frac{a}{2c},</math><ref name="Wang2" />{{rp|Proposition 10}}
:<math>\cos A \cos B \cos C = -\frac{1}{8}.</math>
{{Démonstration|
On applique la [[loi des sinus]] au triangle heptagonal :
:<math>\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R</math>.
D'autre part, la valeur des angles donne :
:<math>\sin(4A) = \sin(3A) \Longrightarrow \cos^2(A) - \cos(A)\cos(2A) = \frac14, \sin(A) = \sin(6A), \cos(C) = -\cos(3A).</math>
On a donc :
:<math>\frac{b}{a} = \frac{\sin(2B)}{\sin(A)} = 2 \cos(A),\ \frac{c}{b} =  \frac{\sin(2B)}{\sin(B)} =2 \cos(B),\quad \frac{a}{c} = \frac{\sin(A)}{\sin(C)}= \frac{\sin(6A)}{\sin(3A)} = 2\cos(3A) = -2\cos(C).</math>
Le produit de ces trois identités donne :
:<math>\cos A \cos B \cos C = \frac{b}{2a} \times \frac{c}{2b} \times \left(-\frac{a}{c}\right) = -\frac18.</math>
}}
Par différentes méthodes (comme l'utilisation judicieuse de la [[formule de Moivre]]), on peut trouver les égalités suivantes :
:<math>\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C = \frac{5}{4},</math>
:<math>\cos^4A+\cos^4B+\cos^4C=\frac{13}{16},</math>
:<math>\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{7},</math>
:<math>\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C=5,</math>
:<math>\csc^2A+\csc^2B+\csc^2C=8,</math>
:<math>\csc^4A+\csc^4B+\csc^4C=32,</math>
:<math>\sec^2A+\sec^2B+\sec^2C=24,</math>
:<math>\sec^4A+\sec^4B+\sec^4C=416,</math>
:<math>\sin A\sin B\sin C =\frac{\sqrt{7}}{8},</math>
:<math>\sin^2A\sin^2B\sin^2C=\frac{7}{64},</math>
:<math>\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\frac{7}{4},</math>
:<math>\sin^4A+\sin^4B+\sin^4C=\frac{21}{16},</math>
:<math>\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-\sqrt{7},</math>
:<math>\tan^2A+\tan^2B+\tan^2C=21.</math>

La racine positive de l'équation cubique<ref name="Gleason">{{article|lang=en |nom1=Gleason |prénom1=Andrew Mattei |lien auteur1=Andrew M. Gleason |titre=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon |journal={{lang|en|[[The American Mathematical Monthly]]}} |date=mars 1988 |volume=95 |numéro=3 |pages=185–194 |url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archive-date=2015-12-19 }}.</ref>{{rp|p. 186–187}}
:<math>x^3+x^2-2x-1=0</math>
est égale à <math>2\cos\frac{2\pi}{7}.</math>

=== Avec les sinus ===
Les racines de l'équation cubique<ref name="Wang2" />
:<math>x^3-\frac{\sqrt{7}}{2}x^2+ \frac{\sqrt{7}}{8}=0 </math>
sont <math>\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right), \sin\left(\frac{4\pi}{7}\right), \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right).</math>

Les racines de l'équation cubique<ref name="BG" />{{rp|p. 14}}
:<math>64y^3-112y^2+56y-7=0</math>
sont <math>\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{2\pi}{7}\right), \sin^2\left(\frac{4\pi}{7}\right).</math>

On a aussi<ref name="Wang1" /> :
:<math>  \sin A - \sin B - \sin C = - \frac{\sqrt{7}}{2},</math>   
:<math> \sin A\sin B - \sin B\sin C + \sin C\sin A = 0,  </math>  
:<math> \sin A\sin B\sin C = \frac{\sqrt{7}}{8}.</math>

Pour un entier {{mvar|n}}, on pose {{math|''S''(''n'') {{=}} (–sin ''A''){{exp|''n''}} + sin{{exp|''n''}} ''B'' + sin{{exp|''n''}} ''C''}}.
On a alors

{| class="wikitable centre" style="text-align:center;"
! width=12% | ''n'' 
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20
|-
! ''S''(''n'') 
| 3 || <math>\tfrac{\sqrt{7}}{2}</math> || <math>\tfrac{7}{2^{2}}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{7}}{2}</math> || <math>\tfrac{7\cdot3}{2^{4}}</math> || <math>\tfrac{7\sqrt{7}}{2^{4}}</math>|| <math>\tfrac{7\cdot5}{2^{5}}</math>|| <math>\tfrac{7^{2}\sqrt{7}}{2^{7}}</math>|| <math>\tfrac{7^{2}\cdot5}{2^{8}}</math>|| <math>\tfrac{7\cdot25\sqrt{7}}{2^{9}}</math> || <math>\tfrac{7^{2}\cdot9}{2^{9}}</math>|| <math>\tfrac{7^{2}\cdot13\sqrt{7}}{2^{11}}</math>  || <math>\tfrac{7^{2}\cdot33}{2^{11}}</math>|| <math>\tfrac{7^{2}\cdot3\sqrt{7}}{2^{9}}</math> || <math>\tfrac{7^{4}\cdot5}{2^{14}}</math>|| <math>\tfrac{7^{2}\cdot179\sqrt{7}}{2^{15}}</math> || <math>\tfrac{7^{3}\cdot131}{2^{16}}</math>|| <math>\tfrac{7^{3}\cdot3\sqrt{7}}{2^{12}}</math> || <math>\tfrac{7^{3}\cdot493}{2^{18}}</math>|| <math>\tfrac{7^{3}\cdot181\sqrt{7}}{2^{18}}</math>|| <math>\tfrac{7^{5}\cdot19}{2^{19}}</math>
|-
! ''S''(-''n'') 
| 3 || 0 || 2{{exp|3}} || <math>-\tfrac{2^{3}\cdot3\sqrt{7}}{7}</math> || 2{{exp|5}} || <math>-\tfrac{2^{5}\cdot5\sqrt{7}}{7}</math>|| <math>\tfrac{2^{6}\cdot17}{7}</math>|| <math>{\scriptstyle -2^{7}\sqrt{7}}</math>|| <math>\tfrac{2^{9}\cdot11}{7}</math>||<math>-\tfrac{2^{10}\cdot33\sqrt{7}}{7^{2}}</math> || <math>\tfrac{2^{10}\cdot29}{7}</math>||<math>-\tfrac{2^{14}\cdot11\sqrt{7}}{7^{2}}</math>  || <math>\tfrac{2^{12}\cdot269}{7^{2}}</math>|| <math>-\tfrac{2^{13}\cdot117\sqrt{7}}{7^{2}}</math> || <math>\tfrac{2^{14}\cdot51}{7}</math>|| <math>-\tfrac{2^{21}\cdot17\sqrt{7}}{7^{3}}</math> || <math>\tfrac{2^{17}\cdot237}{7^{2}}</math>||<math>-\tfrac{2^{17}\cdot1445\sqrt{7}}{7^{3}}</math> || <math>\tfrac{2^{19}\cdot2203}{7^{3}}</math>|| <math>-\tfrac{2^{19}\cdot1919\sqrt{7}}{7^{3}}</math>|| <math>\tfrac{2^{20}\cdot5851}{7^{3}}</math>
|}

=== Avec les cosinus ===
Les cosinus aux angles {{math|cos ''A''}}, {{math|cos ''B''}}, {{math|cos ''C''}} sont les racines de l'équation cubique :  
:<math> x^3 + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x- \frac{1}{8}= 0.</math>

Pour un entier {{mvar|n}}, on pose {{math|''C''(''n'') {{=}} (-cos ''A''){{exp|''n''}} + cos{{exp|''n''}} ''B'' + cos{{exp|''n''}} ''C''}}.
On a alors

{| class="wikitable center" style="text-align:center;"
! ''n'' 
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 
|-
! ''C''(''n'') 
| 3 || <math>-\frac12</math> || <math>\frac54</math>|| <math>-\frac12</math>|| <math>\frac{13}{16}</math> || <math>-\frac12</math> || <math>\frac{19}{32}</math> || <math>-\frac{57}{128}</math> || <math>\frac{117}{256}</math> || <math>-\frac{193}{512}</math> || <math>\frac{185}{512}</math>
|-
! ''C''(-''n'') 
| 3 || -4 || 24 || -88 || 416 || -1824 || 8256 || -36992 || 166400 || -747520 || 3359744
|}

=== Avec les tangentes ===

Les tangentes aux angles {{math|tan ''A''}}, {{math|tan ''B''}}, {{math|tan ''C''}} sont les racines de l'équation cubique :  
:<math> x^3 + \sqrt{7} x^2 - 7x + \sqrt{7} = 0.</math>

Les carrés des tangentes aux angles {{math|tan{{2}}''A''}}, {{math|tan{{2}} ''B''}}, {{math|tan{{2}} ''C''}} sont les racines de l'équation cubique :  
:<math>x^3 - 21 x^2 +  35x - 7 = 0.</math>

Pour un entier {{mvar|n}}, on pose {{math|''T''(''n'') {{=}} tan{{exp|''n''}} ''A'' + tan{{exp|''n''}} ''B'' + tan{{exp|''n''}} ''C''}}.
On a alors

{| class="wikitable center" style="text-align:center;"
! ''n'' 
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 
|-
! ''T''(''n'') 
| 3 || <math>-\sqrt{7}</math> || <math>7\cdot3</math> || <math>-31\sqrt{7}</math> || <math>7\cdot53</math> || <math>-7\cdot87\sqrt{7}</math> || <math>7\cdot1011</math> || <math>-7^{2}\cdot239\sqrt{7}</math> || <math> 7^{2}\cdot2771</math> || <math>-7\cdot32119\sqrt{7}</math> || <math>7^{2}\cdot53189</math>
|-
! ''T''(-''n'') 
| 3 || <math>\sqrt{7}</math> || 5 || <math>\frac{25\sqrt{7}}{7}</math> || 19 || <math>\frac{103\sqrt{7}}{7}</math> || <math>\frac{563}{7}</math> || <math>7\cdot9\sqrt{7}</math> || <math>\frac{2421}{7}</math> || <math>\frac{13297\sqrt{7}}{7^{2}}</math> || <math>\frac{10435}{7}</math> 
|}

=== Formules mixtes ===

On a aussi<ref name="Wang1" />{{,}}<ref name="Moll">{{en}} [[Victor Moll|Victor Hugo Moll]], ''{{lang|en|An elementary trigonometric equation}}'', https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007.</ref> 
:<math>  \tan A - 4\sin B = - \sqrt{7},    </math>
:<math>  \tan B - 4\sin C = - \sqrt{7},    </math>    
:<math>  \tan C + 4\sin A = - \sqrt{7}.    </math>

On a aussi<ref name="Wang2" />   
:<math>  \cot^{2} A = 1 - \frac{2 \tan C}{\sqrt{7}},        </math>
:<math>  \cot^{2} B = 1 - \frac{2 \tan A}{\sqrt{7}},        </math>
:<math>  \cot^{2} C = 1 - \frac{2 \tan B}{\sqrt{7}}.        </math>
  
:<math> \cos A = -\frac{1}{2} + \frac{4}{\sqrt{7}} \sin^{3} C,        </math> 
:<math> \cos^{2} A = \frac{3}{4} + \frac{2}{\sqrt{7}} \sin^{3} A,     </math>
:<math> \cot A = \frac{3}{\sqrt{7}} + \frac{4}{\sqrt{7}} \cos B,      </math>
:<math> \cot^{2} A = 3 + \frac{8}{\sqrt{7}} \sin A,                   </math> 
:<math> \cot A = \sqrt{7} + \frac{8}{\sqrt{7}} \sin^{2} B,            </math> 
:<math> \csc^{3} A = -\frac{6}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^2 C, </math> 
:<math> \sec A = 2 + 4 \cos C,                                        </math> 
:<math> \sec A = 6 - 8 \sin^{2} B,                                    </math> 
:<math> \sec A = 4 - \frac{16}{\sqrt{7}} \sin^{3} B,                  </math> 
:<math> \sin^{2} A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos B,                </math> 
:<math> \sin^{3} A = -\frac{\sqrt{7}}{8} + \frac{\sqrt{7}}{4} \cos B, </math>

On a aussi<ref name="Wang3">{{lien web |langue=en |auteur=Kai Wang |lire en ligne=https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7 |titre=Topics of Ramanujan type identities for PI?7 |consulté le=14 février 2022}}.</ref>
:<math> \sin^{3}B\sin C-\sin^{3}C\sin A-\sin^{3}A\sin B = 0, </math>
:<math> \sin B\sin^{3}C-\sin C\sin^{3}A-\sin A\sin^{3}B = \frac{7}{2^{4}}, </math>
:<math> \sin^{4}B\sin C-\sin^{4}C\sin A+\sin^{4}A\sin B = 0, </math>
:<math> \sin B\sin^{4}C+\sin C\sin^{4}A-\sin A\sin^{4}B = \frac{7\sqrt{7}}{2^{5}}, </math>
:<math> \sin^{11}B\sin^{3}C-\sin^{11}C\sin^{3}A-\sin^{11}A\sin^{3}B = 0, </math>
:<math> \sin^{3}B\sin^{11}C-\sin^{3}C\sin^{11}A-\sin^{3}A\sin^{11}B = \frac{7^{3}\cdot17}{2^{14}}.  </math>

=== Identités de type Ramanujan ===
On peut également obtenir des identités similaires à celles découvertes par [[Srinivasa Ramanujan]]<ref name="Wang1" />{{,}}<ref name="WS1">{{article|langue=en |auteur1=Roman Wituła |auteur2=Damian Słota<!-- Wikidata : Q104107445 --> |titre=New Ramanujan-Type Formulas and Quasi-Fibonacci Numbers of {{nobr|Order 7}} |périodique={{lang|en|[[Journal of Integer Sequences]]}} |volume=10 |année=2007 |<!-- éventuellement ajouter dans les champs adaptés : http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.0-34250002341&partnerID=MN8TOARS |EID=2-s2.0-34250002341 -->}}.</ref>

:<math> 
  \sqrt[3]{2\sin \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{2\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)}
 +\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi}{7}\right)}
 = \left(-\sqrt[18]{7}\right)
\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7} + 6 +3\left(\sqrt[3]{5 -  3 \sqrt[3]{7}} + \sqrt[3]{4 -  3 \sqrt[3]{7}}\right)} 
</math>

:<math> 
 \frac{1}{\sqrt[3]{2\sin  \left(\frac{2\pi}{7}\right)}}
 + \frac{1}{\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{4\pi}{7}\right)}}
+ \frac{1}{\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi}{7}\right)}}
 = \left(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}}\right)
\sqrt[3]{6 +3\left(\sqrt[3]{5 -  3 \sqrt[3]{7}} + \sqrt[3]{4 -  3 \sqrt[3]{7}}\right)}
</math>

:<math> 
\sqrt[3]{4\sin^2  \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{4\sin^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{4\sin^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
=   \left(\sqrt[18]{49}\right)
\sqrt[3]{ \sqrt[3]{49} + 6 +3\left(\sqrt[3]{12 +  3( \sqrt[3]{49} +  2\sqrt[3]{7})} + \sqrt[3]{11 +  3( \sqrt[3]{49} +  2\sqrt[3]{7})}\right)}   
</math>

:<math> 
\frac{1}{\sqrt[3]{4\sin^2  \left(\frac{2\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{4\sin^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{4\sin^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)}} 
= \left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)
\sqrt[3]{ 2\sqrt[3]{7} + 6 +3\left(\sqrt[3]{12 +  3( \sqrt[3]{49} +  2\sqrt[3]{7})} + \sqrt[3]{11 +  3( \sqrt[3]{49} +  2\sqrt[3]{7})}\right)} 
</math>

:<math> 
\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
= 
 \sqrt[3]{5 - 3\sqrt[3]{7}}
</math>
:<math> 
\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{4\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos \left(\frac{8\pi}{7}\right)}} 
=  
  \sqrt[3]{4 - 3\sqrt[3]{7}} 
</math>

:<math> 
\sqrt[3]{4\cos^2  \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{4\cos^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{4\cos^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)} = 
 \sqrt[3]{11+3(2\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49})}
</math>
:<math> 
\frac{1}{\sqrt[3]{4\cos^2  \left(\frac{2\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{4\cos^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{4\cos^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)}} =  
 \sqrt[3]{12+3(2\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49})} 
</math>
:<math> 
\sqrt[3]{\tan  \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{\tan \left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{\tan \left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
=    \left(-\sqrt[18]{7}\right)
\sqrt[3]{\sqrt[3]{7} + 6 +3\left(\sqrt[3]{5 +  3(\sqrt[3]{7} -  \sqrt[3]{49})} + \sqrt[3]{- 3 +  3(\sqrt[3]{7} -  \sqrt[3]{49})}\right)}
</math>
:<math> 
\frac{1}{\sqrt[3]{\tan  \left(\frac{2\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan \left(\frac{4\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan \left(\frac{8\pi}{7}\right)}} 
=  \left(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}}\right)
\sqrt[3]{-\sqrt[3]{49} + 6 +3\left(\sqrt[3]{5 +  3(\sqrt[3]{7} -  \sqrt[3]{49})} + \sqrt[3]{- 3 +  3(\sqrt[3]{7} -  \sqrt[3]{49})}\right)} 
</math>
:<math> 
\sqrt[3]{\tan^2  \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+\sqrt[3]{\tan^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)}
+\sqrt[3]{\tan^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)}
=  \left(\sqrt[18]{49}\right)
\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49} + 6 +3\left(\sqrt[3]{89 +  3(3\sqrt[3]{49} + 5\sqrt[3]{7})} + \sqrt[3]{25 +  3(3\sqrt[3]{49} + 5\sqrt[3]{7})}\right)}   
</math>
:<math> 
\frac{1}{\sqrt[3]{\tan^2 \left(\frac{2\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan^2 \left(\frac{4\pi}{7}\right)}} 
+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan^2 \left(\frac{8\pi}{7}\right)}} 
=  \left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)
\sqrt[3]{5\sqrt[3]{7} + 6 +3\left(\sqrt[3]{89 +  3(3\sqrt[3]{49} + 5\sqrt[3]{7})} + \sqrt[3]{25 +  3(3\sqrt[3]{49} + 5\sqrt[3]{7})}\right)}  
</math>

On a aussi<ref name="Wang3" /> 
:<math> 
  \sqrt[3]{\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)}
+ \sqrt[3]{\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
= -\sqrt[3]{7}. 
</math>

:<math> 
  \sqrt[3]{\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)} = 0. 
</math>

:<math> 
 \sqrt[3]{2\sin \left(\frac{2\pi}{7}\right)} + \sqrt[3]{2\sin \left(\frac{4\pi}{7}\right)} +\sqrt[3]{2\sin \left(\frac{8\pi}{7}\right)}= 
\left(-\sqrt[18]{7}\right)
\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7} + 6 +3\left(\sqrt[3]{5 -  3 \sqrt[3]{7}} + \sqrt[3]{4 -  3 \sqrt[3]{7}}\right)} 
</math>
:<math> 
  \sqrt[3]{\cos^{4}\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{4}\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{4}\left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)} = -\sqrt[3]{49}/2. 
</math>

:<math> 
  \sqrt[3]{\cos^{5} \left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos^{2}\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{5}\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos^{2}\left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{5}\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos^{2} \left(\frac{2\pi}{7}\right)} = 0. 
</math>
:<math> 
  \sqrt[3]{\cos^{5}\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos^{2}\left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{5}\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos^{2}\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{5}\left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos^{2}\left(\frac{8\pi}{7}\right)} = -3\sqrt[3]{7}/2. 
</math>
:<math> 
  \sqrt[3]{\cos^{14} \left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos^{5}\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{14}\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos^{5}\left(\frac{8\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{14}\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos^{5} \left(\frac{2\pi}{7}\right)} = 0. 
</math>
:<math> 
  \sqrt[3]{\cos^{14}\left(\frac{4\pi}{7}\right)/\cos^{5} \left(\frac{2\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{14}\left(\frac{8\pi}{7}\right)/\cos^{5}\left(\frac{4\pi}{7}\right)} 
+ \sqrt[3]{\cos^{14} \left(\frac{2\pi}{7}\right)/\cos^{5}\left(\frac{8\pi}{7}\right)} = -61\sqrt[3]{7}/8. 
</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Heptagonal triangle|995237464}}
{{Références}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie du triangle|Heptagonal]]