Voir la source de Vergence (optique géométrique)

{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Vergence 
| image          = 
| légende        = 
| unités         = [[dioptrie]]
| autres unités  = 
| symbole        = ''V'' ou ''D''
| unités de base ={{USI|kg=|m=-1|s=|A=|K=|mol=|cd=}}
| dimension      =  {{dimension|kg=|m=-1|s=|A=|K=|mol=|cd=}}
| extensive      = oui
| intensive      = 
| conservative   = 
| nature         = scalaire
| expressions    = <math>V=n'/f'</math>
| conjuguée      = 
| complémentaire = 
}}

En [[optique géométrique]], '''la vergence''', dans certains cas nommée puissance{{Sfn|Le Grand|1952|p=39}}, [[puissance intrinsèque]]<ref name="Hecht215">{{Ouvrage
 | langue           = fr
 | langue originale = en
 | prénom1          = Eugène
 | nom1             = Hecht
 | titre            = Optique
 | lieu             = Paris
 | éditeur          = Pearson Education France
 | année            = 2005
 | numéro d'édition = 4
 | pages totales    = 715
 | passage          = 215
 | isbn             = 2-7440-7063-7
 | id               = Hecht2005
}}</ref>, ou pouvoir dioptrique{{Sfn|Le Grand|1952|p=39}}, est une [[Grandeur_physique|grandeur algébrique]] notée ''V'', ''D''{{Sfn|Le Grand|1952|p=39}}{{,}}{{Sfn|Bruhat|Maréchal|p=100}}, ou ''Φ''{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=147}}, qui caractérise les propriétés de focalisation d'un système optique.  Elle est [[Analyse dimensionnelle|homogène]] à l'inverse d'une [[longueur]] et s'exprime en [[dioptrie|dioptries]] (δ). La vergence d'un système optique est positive pour un système [[convergent]] et négative pour un système [[divergent]] : elle prend le même signe que la [[distance focale|distance focale image]].

Pour un système optique séparant des milieux dont les [[indice de réfraction|indices de réfraction]], ''n'' et ''<nowiki>n'</nowiki>'' dans le sens de la propagation de la lumière, sont différents, la vergence est définie à partir des [[distance focale|distances focales]] objet ''f'' et image ''<nowiki>f'</nowiki>'' par :

<center><math>V=\frac {n'}{f'}=-\frac {n}{f}.</math></center>

Dans le cas d'un système optique plongé dans l'air ou le vide, la vergence peut être définie simplement comme l'[[inverse]] de la [[distance focale|distance focale image]].

De manière plus générale, en prenant en compte les systèmes optiques constitués d'un nombre impair de miroirs, ''m'' étant le nombre d'éléments [[Catoptrique|catoptriques]], la vergence s'exprime<ref name="dictphys p117">{{harvsp|Taillet|Febvre|Villain|p = 117|id = Physdic}}</ref> (si l'on ne tient pas compte des miroirs qui ne servent qu'à couder le faisceau) :

<center><math>V=\frac{(-1)^m \cdot n'}{f'}.</math></center>

La vergence est tout particulièrement utilisée pour caractériser les [[Lentille optique|lentilles]] correctrices ([[Verre correcteur|verres correcteurs]] et [[lentilles de contact]]) en [[optique physiologique]]<ref name="Hecht215" />.

En [[optique physiologique]] et en [[ophtalmologie]], la [[vergence (ophtalmologie)| '''vergence''']] est aussi<ref>[https://www.academie-medecine.fr/le-dictionnaire/index.php?q=vergence/ Dictionnaire médical de l'Académie de médecine, version 2024]</ref> le mouvement des deux yeux lorsque leurs axes visuels ne sont pas parallèles : convergence en cas de rapprochement, divergence en cas d'éloignement. Il existe d'ailleurs entre [[Accommodation#Synergies|autres]] une [[synergie]]{{Sfn|Le Grand|1952|p=214}} entre la vergence (au sens de l'ophtalmologie) et l'[[accommodation]], c'est-à-dire la modification de la vergence de chaque œil (au sens de l'optique géométrique) en fonction de la distance de l'objet observé.

== Définition élargie ==
Pour un système optique de points principaux ''H'' et ''H' '', les indices de réfraction des milieux objet et image étant respectivement ''n'' et ''n' '', et pour un point objet ''A'' et son image ''A' '', on appelle{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=147}}
<math>\textstyle\frac{1}{\overline{H'A'}}</math> la ''proximité'' de l'image, <math>\textstyle\frac{n'}{\overline{H'A'}}</math> la '''vergence''' de l'image, <math>\textstyle\frac{1}{\overline{HA}}</math> la ''proximité'' de l'objet et <math>\textstyle\frac{n}{\overline{HA}}</math> la '''vergence''' de l'objet.

Ainsi, la vergence du système est égale à la vergence de son foyer image, ou, ce qui revient au même, à l'opposé de la vergence de son foyer objet.

== Vergence de l’œil ==
Le foyer image de l’œil "normal" au repos est sur la [[rétine]], de sorte que l'observateur emmétrope voit nettement et sans effort les objets éloignés. La distance focale image ''f' '' de l’œil humain vaut dans ce cas en moyenne{{Sfn|Bruhat|Maréchal|p=148}}{{,}}{{Sfn|Le Grand|1952|p=51}} {{Unité|22,3|mm}} et l'indice de réfraction ''n' '' du milieu image (le [[corps vitré]]) vaut{{Sfn|Bruhat|Maréchal|p=148}}{{,}}{{Sfn|Le Grand|1952|p=51}} 1,336. La vergence de l’œil vaut ainsi environ{{Sfn|Le Grand|1952|p=51}}{{,}}{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=442}} 
:<math>V=\frac{n'}{f'}=\frac{1{,}336}{0{,}0223 \ \mathsf {m}}  \approx 60 \ \delta</math>.
À elle seule, la surface antérieure de la [[cornée]] a une vergence d'environ {{Unité|48|δ}}{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=440}}, mais sa surface postérieure de {{Unité|-6|δ}}{{Sfn|Le Grand|1952|p=52}}. Le [[cristallin]] au repos a une vergence d'environ {{Unité|20|δ}}. La vergence totale de l’œil se calcule avec la ''formule de Gullstrand'' (voir plus bas). 

Lors de l'[[accommodation]], la vergence de l’œil augmente, grâce à la [[déformation élastique]] et à la légère variation de l'indice de réfraction du [[cristallin]]{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=442}}{{,}}{{Sfn|Bruhat|Maréchal|p=149}}{{,}}{{Sfn|Le Grand|1952|p=52}}. Elle passe ainsi de {{Unité|60|δ}} en vision de loin à {{Unité|62,5|δ}} pour voir net un objet à {{Unité|40|cm}}{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=442}}, et à {{Unité|64|δ}} pour voir net un objet à {{Unité|25|cm}}<ref>Voir exemple dans le paragraphe Formule des vergences ci-dessous.</ref>.

== Formules ==

=== Formule des vergences ===
La [[relation de conjugaison]] pour les [[système centré|systèmes centrés]], avec origines aux points principaux (ou relation de Descartes) est :
: <math>\frac{n'}{\overline{H'A'}}- \frac{n}{\overline{HA}}=V</math>.

Cette relation est parfois appelée ''formule des vergences''{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=147}}, et se lit, conformément à la définition élargie de la vergence : la vergence de l'image est égale à la vergence ''V'' du système, plus la vergence de l'objet.

{{Exemple|Quand l’œil accommode, sa vergence augmente mais la position du point principal image varie peu et la rétine reste fixe. Donc, si l'on néglige le déplacement du point principal image{{Sfn|Fleury|Mathieu|p=442}} (ce qui n'est pas tout à fait légitime{{Sfn|Le Grand|1952|p=68}}), la vergence de l'image ne change pas. Si un objet éloigné se rapproche à {{Unité|25|cm}} de l’œil, la vergence de l'objet passe de 0 à {{Unité|-4|dioptries}} et la formule des vergences montre que la vergence de l’œil augmente de {{Unité|4|dioptries}}.}}

=== Formule de Gullstrand ===

La formule de Gullstrand, énoncée par le suédois [[Allvar Gullstrand]], donne la vergence d'un [[système centré]] en fonction des vergences <math>V_{1}</math> et <math>V_{2}</math> des deux systèmes centrés qui le composent, de l’indice <math>n</math> du milieu qui les sépare et de l'interstice <math>e=\overline{H_{1}'H_{2}}</math> qui sépare leurs [[Plan principal|plans principaux]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Goure|titre=L'optique dans les instruments|sous-titre=Généralités|lieu=Paris|éditeur=Lavoisier|date=2011-02-01|pages totales=324|isbn=978-2-7462-1917-5|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=xwmv7XbXILkC&pg=PA46&dq=formule+de+gullstrand|consulté le=2017-11-27}}</ref> 

<center><math>V=V_{1}+V_{2}-\frac{e}{n}\, V_{1} \,  V_{2}</math>.</center>

{{Démonstration
 |titre   = Démonstration
 |contenu =
La figure ci-dessous fait apparaître les notations utilisées pour la démonstration. Le choix de l'illustration avec deux systèmes centrés convergents est plus commode pour la démonstration, mais celle-ci serait la même avec des systèmes quelconques et avec une position quelconque pour l'objet. Les points notés par la lettre <math>H</math> sont les [[point principal|points principaux]], les points notés <math>F</math> sont les [[Foyer (optique)|foyers]].[[Fichier:Formule de Gullstrand démonstration.png|centré|718x718px]]

Dans les triangles <math>K'H'F'</math> et <math>G_2'F_2'H_2'</math>, <math>\frac{\overline{H' F'}}{\overline{H'_2 F'_2}} 
=\frac{f'}{f'_2}
=\frac{\overline{H' K'}}{\overline{H'_2 G'_2}}</math>.

Dans les triangles <math>K'_1H'_1F'_1</math> et <math>F_2Q_2F'_1</math>, <math>\frac{\overline{H'_1 F'_1}}{\overline{F_2 F'_1}} 
=\frac{f'_1}{F_2 F'_1}
=\frac{\overline{H'_1 K'_1}}{\overline{F_2 Q_2}}</math>.

Or <math>\overline{H' K'} = \overline{H'_1 K'_1}</math> et <math>\overline{H'_2 G'_2} = \overline{F_2 Q_2}</math> donc <math>\frac{f'}{f'_2}
=\frac{f'_1}{F_2 F'_1}</math>.

On peut alors exprimer la distance focale image :

:<math>f'=-\frac{f'_1 \, f'_2}{F'_1 F_2}  \qquad (1)</math>.

En procèdent de façon similaire, on pourrait obtenir la distance focale objet :

:<math>f=\frac{f_1 \, f_2}{F'_1 F_2}  \qquad (2)</math>.

Selon la définition de la vergence et compte tenu du fait que le rayon lumineux traverse successivement trois milieu d'indice <math>n_1</math>, <math>n</math> et <math>n_2</math>,

:<math>V_1 =  - \frac{n_1}{f_1} = \frac{n}{f'_1}  \qquad (3)</math>        et        <math>V_2 =  - \frac{n}{f_2} = \frac{n_2}{f'_2}  \qquad (4)</math>.

La vergence de l'ensemble doit satisfaire la définition :

<center>
<math>V =  - \frac{n_1}{f} = \frac{n_2}{f'}</math>

<math>(1) \Rightarrow V = -\frac{n_2\,\overline{F'_1 F_2}}{f'_1\, f'_2}</math> 
</center>

Si on observe que <math>\overline{F'_1 F_2} = \overline{F'_1H'_1}+\overline{H'_1H_2}+\overline{H_2F_2}
= - f'_1 + e + f_2</math>.

<center>
<math>V = -\frac{n_2\,(- f'_1 + e + f_2)}{f'_1\, f'_2}</math>

<math>V = + \frac{n_2}{f'_2}
- \frac{n_2\,e }{f'_1\, f'_2}
- \frac{n_2\, f_2}{f'_1\, f'_2}</math> 
</center>

On reconnait l'expression de <math>V_2</math> pour la première partie et dans la deuxième partie de l'expression, reste à exprimer <math>f'_1</math> et <math>f_2/f'_2</math>.

:<math>(4) \Leftrightarrow - \frac{f_2}{f'_2} = \frac{n}{n_2}</math> et <math>(3) \Leftrightarrow f'_1 = \frac{n}{V_1} \Leftrightarrow  \frac{1}{f'_1} = \frac{V_1}{n}</math>

Ce qui fait apparaître 

<center>
<math>V =  V_2
- \frac{ V_2\,e }{f'_1}
+ \frac{n}{f'_1}</math>, 
</center>

puis enfin :

<center>
<math>V = V_2
- \frac{ V_1 \, V_2\,e }{n}
+ V_1</math>. 
</center>
}}

Dans le cas de lentilles minces, la distance ''<math>e</math>'' est égale à la distance qui sépare les centres optiques. De plus, si les deux lentilles minces sont accolées, ''<math>e</math>'' est nul et on a : <math>V=V_{1}+V_{2}</math>.

=== Vergence d'un dioptre sphérique ===

Soit un [[dioptre]] sphérique de sommet ''<math>S</math>'' et de centre ''<math>C</math>'', son [[Rayon (géométrie)|rayon]] algébrique est noté : <math>R = {\overline{SC}}</math>.

Ce dioptre sépare, dans le sens du trajet de la [[lumière]], deux milieux successifs d'[[Indice de réfraction|indice]]s <math>n_1</math> et <math>n_2</math>. Alors, la vergence de ce dioptre est :

<center><math>V=\frac{n_2 - n_1}{R}</math>.</center>

{{exemple
 | Dioptre sphérique convexe de rayon {{unité|1|m}}, séparant l'[[air]] du verre (dans cet ordre)

<math>V=\frac{1,5 - 1}{1}= 0,5 \ \mathrm \delta</math>   ;   <math>f=\frac{- 1}{0,5}= - 2 \ \mathrm m</math>   ;   <math>f\,^'=\frac{1,5}{0,5}= 3\ \mathrm m</math>
}}

=== Vergence d'une lentille sphérique ===
{{article détaillé|Lentille_optique#Lentilles_sph.C3.A9riques{{!}}lentille sphérique}}

Une [[Lentille épaisse|lentille sphérique épaisse]] est constituée de deux dioptres sphériques consécutifs.<center><math>V=\frac{n_o}{f\,^'}=(n-n_o)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)+\frac{(n-n_o)^2}{n}\frac{e}{R_1 R_2}</math></center>

où <math>n</math> désigne l'indice du matériau utilisé, <math>n_o</math> l'indice du milieu, <math>f\,^'</math>la distance focale image, <math>R_1 = {\overline{S_1C_1}}</math> et <math>R_2 = {\overline{S_2C_2}}</math> les rayons de courbure des deux dioptres et <math>e=\overline{S_{1}S_{2}}</math> la distance entre les sommets des dioptres.

Dans le cas simplifié d'une [[lentille mince]], c'est-à-dire dont l'épaisseur est négligeable face aux rayons de courbure, plongée dans l'air, la relation se simplifie de la façon suivante.

<center>
<math>V=\frac{1}{f\,^'}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)</math>
</center>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|commons=Category:Geometric optics
|commons titre=Optique géométrique
|wiktionary=vergence
|wikiversity=Notions_de_base_d'optique_géométrique
|wikiversity titre=Notions de base d'optique géométrique
}}
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|prénom1=Richard|nom1=Taillet|prénom2=Pascal|nom2=Febvre|prénom3=Loïc|nom3=Villain|titre=Dictionnaire de physique|éditeur=[[De Boeck]]|collection=De Boeck Supérieur|année=2009|mois=novembre|pages totales=754|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|fts1ydufciQC}}|id=Physdic}}
* {{Ouvrage|titre=Optique physiologique|auteur1=[[Yves Le Grand]]|éditeur=Revue d'optique|année=1952|pages totales=372|prénom1=Yves|volume=1|titre volume=La dioptrique de l’œil et sa correction}}
* {{Ouvrage|titre=Images optiques|auteur1=[[Pierre Fleury (physicien)|Pierre Fleury]]|auteur2=[[Jean-Paul Mathieu (physicien)|Jean-Paul Mathieu]]| éditeur=Eyrolles|année=1968|prénom1=Pierre|prénom2=Jean-Paul|nom1=Fleury|nom2=Mathieu|pages totales=614}}
* {{Ouvrage|titre=Cours de physique|éditeur=Masson|année=1959|pages totales=423|prénom1=M.|prénom2=A.|nom1=Bruhat|nom2=Maréchal|volume=1|titre volume=Optique géométrique}}

=== Articles connexes ===
* [[vergence (ophtalmologie)]]
* [[Optique géométrique]]
* [[Système optique]]
* [[Focométrie]]

{{Portail|optique}}

[[Catégorie:Optique géométrique]]