Voir la source de Vitesse du son

[[Fichier:FA-18 Hornet breaking sound barrier (7 July 1999) - filtered.jpg|vignette|Un [[McDonnell Douglas F/A-18 Hornet|F/A-18 Hornet]] se déplaçant à une vitesse proche de celle du son lors d'un passage dans une zone de condensation d'air humide.]]

La '''vitesse du son''', ou '''célérité du son''', est la [[vitesse de propagation]] des vibrations dans tous les milieux gazeux, liquides ou solides. Elle peut être déterminée pour des matériaux autres que l'air, dans lesquels le son ne peut être perçu par l'oreille humaine.

Dans un [[Fluide (matière)|fluide]] quelconque, quelles que soient les conditions de pression et température, la vitesse du son dépend de la [[compressibilité isentropique]] et de la [[masse volumique]] du milieu de propagation de l'onde. Dans la plupart des fluides, et notamment dans l'air, elle dépend très peu de la [[fréquence]] et de l'amplitude de la vibration.

Pour les gaz sous des pressions proches de la pression atmosphérique, le modèle des [[gaz parfait]]s est applicable. La vitesse du son ne dépend alors que de la température. La formule <math>c = 20{,}05 \, \sqrt{T}</math> en donne une approximation dans l'air sec en m/s, avec <math>T</math> la température en [[kelvin]]s. La vitesse du son dans l'air à {{tmp|15|°C}} au [[niveau de la mer]] est d'environ {{unité|340 m/s}} (soit {{unité|1224 km/h}}). Dans l'eau, le son se propage plus de quatre fois plus vite, à environ {{unité|1500 m/s}} (soit {{unité|5400 km/h}}). Dans le [[fer doux]], la vitesse du son est d'environ {{unité|5960 m/s}} (soit {{unité|21456 km/h}}).

== Historique ==

Depuis l'Antiquité, on conçoit que le son se déplace rapidement, mais pas instantanément. Le phénomène de l'[[Écho (acoustique)|écho]] a nourri les premiers raisonnements : si la propagation du son était instantanée, on ne pourrait distinguer le son initial du son réfléchi sur une paroi ; et si le retard était dû à la paroi, il ne dépendrait pas, comme on le constate, de la distance. On vérifie aussi que cette vitesse ne dépend pas des qualités du son : fort ou faible, grave ou aigu, le retard est toujours le même. Enfin, le phénomène de l'écho fait également penser à la réflexion de la lumière sur un miroir, ou aux ondes à la surface de l'eau frappée par une pierre{{sfn|Liénard|2001|p=85}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=François|nom1=Bernier|lien auteur1=François Bernier (philosophe)|titre=Abrégé de la philosophie de Gassendi|lieu=Paris|éditeur=|année=1678|passage=368sq, 379|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64990f/f377}}.</ref>.

[[Marin Mersenne|Mersenne]] évalue en 1635 la vitesse du son dans l'air à {{unité|230|[[Toise (unité)|toises]]}} par seconde (soit {{unité|448|m/s}}), valeur que cite [[Pierre Gassendi|Gassendi]], qui montre que les sons graves et aigus se propagent à la même vitesse<ref name="Taillet">{{Ouvrage|prénom1=Richard|nom1=Taillet|prénom2=Loïc|nom2=Villain|prénom3=Pascal|nom3=Febvre|titre=Dictionnaire de physique|lieu=Bruxelles|éditeur=[[De Boeck]]|année=2013|passage=724-726|isbn=}} : « Vitesse de groupe » ({{p.|724}}), « Vitesse de phase » ({{p.|725-726}}), « Vitesse du son » ({{p.|726}}).</ref>{{,}}{{sfn|Bernier|1678|p=379}}, mais estime que le son réfléchi ne se propage pas à la même vitesse, trouvant pour celui-ci {{unité|162|toises}} par seconde ({{unité|315|m/s}}). Il n'indique pas son [[mode opératoire]]<ref name="Auger">{{article|prénom=Léon |nom=Auger |titre=Le R. P. Mersenne et la physique |périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications |année=1948 |volume=2 |numéro=1 |passage=33-52 |doi= 10.3406/rhs.1948.2729 |lire en ligne=http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1948_num_2_1_2729}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=la|prénom1=Marin|nom1=Mersenne|lien auteur1=Marin Mersenne|titre=Harmonicorum libri, in quibus agitur de sonorum natura, causis et effectibus|lieu=Paris|éditeur=|année=1636|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86268318}}.</ref>. Durant les {{s2-|XVII|XVIII}}, les expériences de [[Edmond Halley|Halley]], de [[Robert Boyle|Boyle]], de [[Giovanni Domenico Cassini|Cassini]], de [[Christian Huygens|Huygens]] et autres, basées sur la différence de temps de propagation entre la lumière et le son, produisent des valeurs proches.

[[Galilée (savant)|Galilée]] explique le son par des « plissements » de l'air, qui se communiquent de proche en proche sans déplacement d'ensemble, où ses contemporains ne concevaient que la transmission par une particule matérielle se déplaçant à grande vitesse sur toute la trajectoire du son<ref>{{article|langue=fr|nom1=Baskevitch |prénom1=François |année= 2007 |titre= L’élaboration de la notion de vibration sonore : Galilée dans les ''Discorsi'' |journal=Revue d'histoire des sciences |volume=60 |numéro=2 |pages=387-418 |doi= 10.3917/rhs.602.0387|url= https://www.cairn.info/revue-d-histoire-des-sciences-2007-2-page-387.htm|consulté le= 15 juillet 2017}}.</ref>. [[Isaac Newton|Newton]] précise cette notion ; il applique au son, considéré comme mouvement d'une perturbation consistant en une succession de compressions et de détentes de l'air, les principes du [[calcul infinitésimal]] pour déterminer, le premier, la vitesse du son à partir des caractéristiques de l'air<ref name=":2">{{article|prénom=François|nom=Baskevitch|titre=L’air et le son dans l’Encyclopédie, un curieux silence|périodique=Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie|numéro=44|mois=octobre|année=2009|date=|lire en ligne=https://journals.openedition.org/rde/4556}}.</ref>.

À la fin du {{s-|XVII}}, l{{'}}''Acoustique'' de [[Joseph Sauveur|Sauveur]] explique la vibration de l'air dans les tuyaux des [[instrument à vent|instruments de musique à vent]]. Comme cette vibration dépend de la vitesse de propagation du son, elle constitue un autre moyen de l'établir. L'accord des tuyaux est bien connu des facteurs d'instruments, les lois de la vibration des cordes et des diapasons, qui peut s'observer à des cadences bien inférieures, fournissent des bases de comparaison, et la méthode des [[Battement (acoustique)|battements]] un moyen de mesure précis, et le calcul donne les mêmes résultats<ref>{{article|prénom=Léon |nom=Auger |titre=Les apports de J. Sauveur (1653-1716) à la création de l'Acoustique |périodique=Revue d'histoire des sciences et de leurs applications |année=1948 |volume=1 |numéro=4 |passage=323-336 |doi= 10.3406/rhs.1948.2670|lire en ligne=http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1948_num_1_4_2670?}}.</ref>.

On procède à plusieurs expériences au cours du siècle suivant, en tirant des coups de canon la nuit et en mesurant à distance la durée entre la perception de la lumière émise par la flamme à la bouche du canon et la perception du son. Le prestige de Newton est considérable, et l'on ne dispose alors d'aucune autre théorie que la sienne ; néanmoins, les vitesses déduites de ces expériences, qu'on refait à plusieurs reprises, sont toujours supérieures de 16 % environ à celle que l'on obtient avec sa formule<ref>{{Lien web |auteur=Claude Gabriel |titre=Chapitre 1 : brève histoire de l’acoustique |url=https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.claudegabriel.be%2FAcoustique%2520chapitre%25201.pdf |format=pdf |site=archive.wikiwix.com |page=38}}.</ref>{{,}}<ref>Dans l'article [https://books.google.fr/books?id=nANdAAAAcAAJ&pg=PA94 Vitesse du son] de l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers]], {{vol.|54}}, il est déjà relevé que {{citation|Depuis Newton, qui le premier eut le talent de développer cette théorie, on a été généralement d'accord qu'elle donne la vitesse du son considérablement trop petite}}.</ref>{{,}}<ref name=":2" />.

En 1738, l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences française]] charge {{MM.}} [[César-François Cassini|de Thury]], [[Giovanni Domenico Maraldi|Maraldi]] et l'[[Nicolas-Louis de Lacaille|abbé de la Caille]] d'organiser des nouvelles expériences<ref name="Taillet"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Dictionnaire technologique ou nouveau dictionnaire universel des arts et métiers et de l'économie industrielle et commerciale|volume=19|éditeur=Thomine et Fortic|date=1831|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=h0lRAAAAYAAJ&pg=PA383&lpg=PA383|consulté le=2024-03-11}}.</ref>. Ils font leurs opérations sur une ligne de {{unité|14636|[[Toise (unité)|toises]]}} (soit {{unité|28.5|km}}) qui a pour termes la tour de [[Montlhéry]] et la [[Mire du Nord|pyramide de Montmartre]]. Ils concluent que :
# Le son parcourt {{unité|173|toises}} ({{unité|337.2|m}}) en une seconde de temps, de jour et de nuit, par un temps serein ou par un temps pluvieux ;
# S'il fait un vent dont la direction est perpendiculaire à celle du son, celui-ci a la même vitesse qu'il aurait par temps calme ;
# Mais si le vent souffle dans la même ligne que parcourt le son, il le retarde ou l'accélère selon sa propre vitesse ;
# La vitesse du son est uniforme, c'est-à-dire que dans des temps égaux et pris de suite, il parcourt des espaces semblables ;
# L'intensité ou la force du son ne changent rien à sa vitesse.

Cette expérience est rapportée par l'[[Jean Antoine Nollet|abbé Nollet]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=Jean Antoine|nom1=Nollet|lien auteur1=Jean Antoine Nollet|titre=Leçons de Physique Expérimentale|tome=3|éditeur=|année=1745|passage=421|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5701347f/f460}}.</ref> qui, dans le même ouvrage, démontre que « le son décroît comme le carré de la distance qui augmente »<ref>{{Ouvrage|prénom1=Jean Antoine|nom1=Nollet|lien auteur1=Jean Antoine Nollet|titre=Leçons de Physique Expérimentale|tome=3|éditeur=|année=1745|passage=429|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5701347f/f460}}.</ref>.

En 1816, [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]]<ref name="Laplace"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pascal|nom1=Febvre|prénom2=Richard|nom2=Taillet|prénom3=Loïc|nom3=Villain|titre=Dictionnaire de physique|éditeur=De Boeck Superieur|date=2013-02-18|pages totales=12, 387 et 726|isbn=978-2-8041-7554-2|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=BKOqDgAAQBAJ&pg=PA12|consulté le=2024-03-11}}.</ref> montre que l'hypothèse de Newton selon laquelle le son est un [[processus isotherme]] est erronée, et qu'il s'agit d'un [[processus adiabatique]] ; il conclut :

{{citation|La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant.}}

En [[1822]], [[François Arago|Arago]] et [[Gaspard de Prony|Prony]] réalisent de nouvelles expériences, sur ordre du [[Bureau des longitudes]]. Ils utilisent des coups de canons croisés entre [[Villejuif]] et [[Montlhéry]] tirés en même temps. De cette manière, les expérimentateurs espèrent limiter les perturbations dues à l'[[hygrométrie]], à la vitesse du vent, à la [[pression]] et à la [[température]]. De plus, des chronomètres plus précis sont utilisés. Les expériences ont lieu dans les nuits du 21 et {{date|22 juin 1822}}. Ils obtiennent la valeur de {{unité|341|m/s}} à une température de {{tmp|15.9|°C}}. Après correction, la vitesse à {{tmp|0|°C}} est de {{unité|331|m/s}}. Cette valeur est compatible avec la formule de Laplace.

Au tournant du {{s-|XIX}}, [[Thomas Young|Young]], [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] et [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] relient la vitesse du son à l'[[Module d'élasticité|élasticité]] du milieu. Pour vérifier ces calculs théoriques, [[Jean-Baptiste Biot|Biot]] mesure en [[1808]] la vitesse du son dans les solides ; en [[1826]], [[Jean-Daniel Colladon|Colladon]] confirme la valeur prévue pour l'eau à 0,5 % près par des expériences dans le lac [[Léman]]<ref>{{article|prénom1=Jean-Daniel |nom1=Colladon |lien auteur1=Jean-Daniel Colladon|prénom2=Charles |nom2=Sturm |lien auteur2=Charles Sturm|titre=Mémoire sur la compression des liquides|périodique=Annales de chime et de physique|tome=36|année=1827|passage=236sq |lire en ligne=http://iris.univ-lille1.fr/handle/1908/1452}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |auteur=Stéphane Fischer |titre=Jean-Daniel Colladon, savant et industriel genevois |url=http://institutions.ville-geneve.ch/fileadmin/user_upload/mhn/documents/Musee_histoire_des_sciences/aide_colladon.pdf |format=pdf |site=geneve.ch |page=5–6}}.</ref>.

Les publications s'intéressent aussi à des sujets moins techniques. Dès le {{s-|XVII}}, Mersenne pose la question « un boulet pourrait-il atteindre une personne avant qu'il ait entendu le son du canon qui l'a lancé ? »<ref name="Auger" />. Les projectiles atteindront une [[Vitesse à la bouche|vitesse initiale]] [[supersonique]] à la fin du {{s-|XIX}}. Au milieu du siècle suivant, la question se posera pour l'aviation, avec le franchissement de ce qu'on appelle le [[mur du son]].

Le problème de la détermination de la vitesse du son a été fondamental dans l'établissement des bases de l'[[acoustique]].

{{refnec|Au {{s-|XX}}, la mesure de la vitesse du son dans un matériau sert à calculer son [[module d'élasticité]], tandis qu'en milieu naturel, elle sert à évaluer la température moyenne de lieux inaccessibles, comme les profondeurs océaniques.}}

== Définition ==

La vitesse du [[Son (physique)|son]] peut se définir rigoureusement de deux manières<ref>{{harvsp|Taillet|Villain|Febvre|2013}}.</ref> :
; Vitesse de groupe : La [[vitesse de groupe]] du son est le quotient de la distance que parcourt un ébranlement sonore par le temps nécessaire à son arrivée. Les premières évaluations de la vitesse du son dans l'atmosphère et dans l'eau ont été réalisées à partir du calcul [[topographie|topographique]] des distances et du [[chronométrie|chronométrage]] du délai entre la transmission de la lumière, supposée instantanée, et celle du son.
; Vitesse de phase : La [[vitesse de phase]] est le quotient de la [[longueur d'onde]] par la [[Phénomène périodique|période]] de la vibration. Cette définition implique que le son ne comporte qu'[[monochromatique|une seule fréquence]]. Ce quotient équivaut au produit de la longueur d'onde par la fréquence, qui est l'[[inverse]] de la période, ou encore au quotient de la pulsation (en radians par seconde) par la [[norme (mathématiques)|norme]] du [[vecteur d'onde]] (en radians par mètre), dont l'usage est plus commode dans certains calculs de la [[physique]]. Elle se mesure en déterminant la [[fréquence]] d'une [[onde stationnaire dans un tuyau]]. Dans cet espace, dont la [[longueur]] domine les autres dimensions, la vitesse de phase et la longueur déterminent l'[[onde stationnaire]] qui constitue la [[résonance]]. Cette méthode de mesure, implicite dans le calcul d'un [[tuyau d'orgue]], est la seule praticable quand le milieu ne se trouve pas en grande quantité dans la nature.

Ces deux vitesses ne diffèrent que dans un milieu [[Dispersion (mécanique ondulatoire)|dispersif]], c'est-à-dire dans lequel la vitesse de propagation dépend de la [[fréquence]]. Dans l'air, comme dans tout fluide homogène, elles sont pratiquement égales, quels que soient les caractères du son, qu'il soit puissant ou faible, grave ou aigu.

== Méthodes de mesure ==
=== Mesure d'un temps de propagation ===

En envoyant depuis un émetteur des impulsions sonores et en les détectant à une certaine distance, on peut mesurer le temps que met l'impulsion à parcourir la distance séparant les deux équipements. Cela revient à mesurer la vitesse de transmission de l'énergie sonore, c'est-à-dire la [[vitesse de groupe]].

Ce procédé simple montre ses limites dès qu'on désire effectuer une mesure précise. L'[[incertitude de mesure]] sur chacun des deux termes du quotient se répercute sur le résultat.

Les expériences historiques ont été effectuées en milieu naturel. Dans l'atmosphère, les différences de température et de vitesse du vent entre les couches de l'atmosphère provoquent une [[réfraction]] de l'onde sonore<ref>{{harvsp|Fischetti|2001|p=14}}.</ref>. Le son parcourt donc une distance légèrement supérieure à celle entre le point de départ et le point de mesure. Si cette distance est faible, le milieu est à peu près homogène et la déviation est négligeable ; mais il faut savoir mesurer avec précision de courtes durées.

Si on effectue la mesure au moyen d'un [[guide d'ondes]]<ref>{{Lien brisé |url=http://www.palais-decouverte.fr/fr/au-programme/expositions-permanentes/toutes-les-salles/salles-de-physique/les-expose |format= |titre=Démonstration au Palais de la Découverte à Paris}}.</ref>, il faut être sûr que la paroi du [[tuyau acoustique]] ne participe pas à la propagation, soit en conduisant la vibration plus vite que l'air, soit en réagissant avec lui pour la ralentir.

La mesure dans un milieu solide, sous pression ou à haute température est difficile avec ce procédé.

=== Mesure de la fréquence et de la longueur d'onde ===

En mesurant la [[longueur d'onde]] du son et en la multipliant par sa fréquence on obtient sa vitesse. Cela correspond à la [[vitesse de phase]]. Plusieurs méthodes le permettent.

{{exemple|nom=Vitesse de phase et tuyau d'orgue|
Dans un [[instrument à vent]] comme un [[sifflet]], la note produite dépend de la longueur du tuyau. La note exprime la [[hauteur (musique)|hauteur]] de la [[fréquence fondamentale]] du son. Cette [[fréquence]] est celle d'une [[onde stationnaire dans un tuyau]], elle dépend du temps que la perturbation prend pour aller jusqu'à l'extrémité du tuyau et revenir à la source. Elle dépend donc de la vitesse de propagation dans le fluide qui remplit le conduit. La vitesse est [[Homogénéité (physique)|homogène]] au rapport entre une longueur et un temps. Elle s'obtient ici par la multiplication de la longueur du tuyau par la fréquence fondamentale.

[[Joseph Sauveur]], qui a inventé le terme « acoustique », tenait ce raisonnement dans les premières années du {{s-|XVII}}, mais les mathématiciens n'ont pas utilisé ses explications pour le calcul de la vitesse du son, les concepts de longueur d'onde et de phase étant mal établis ; ils ne le seront qu'au {{s-|XIX}} avec les travaux de [[Joseph Fourier]]<ref>{{harvsp|Liénard|2001|p=96}}.</ref>.
}}

Dans un dispositif similaire à un [[tube de Kundt]], un conduit est bouché à l'une de ses extrémités et couplé à un [[haut-parleur]] à l'autre. La [[pression acoustique]] issue de ce haut-parleur est [[Réflexion acoustique|réfléchie]] par le côté bouché du tube. Une [[Onde stationnaire dans un tuyau |onde stationnaire]] s'installe dans le tube si cette réflexion arrive au haut-parleur en [[Phase (onde)|phase]] avec la vibration du haut parleur. On en déduit que l'onde sonore a parcouru un aller-retour en une durée correspondant à un multiple de la période de la vibration. La longueur du tube est donc un multiple de la demi longueur d'onde. On peut s'assurer du nombre de longueurs d'onde dans le tube en déplaçant un microphone dans sa longueur pour détecter les ventres correspondant au maximum d'amplitude et les nœuds correspondant au minimum. En multipliant la longueur d'onde par la fréquence, on obtient la vitesse.

Si le tube est ouvert à l'autre extrémité, la pression acoustique issue du haut-parleur, ne trouvant plus de résistance, se transforme en vitesse acoustique sur l'ouverture. Une onde réfléchie repart en direction de la source. La résonance se produit si la longueur du tube est un multiple du quart de la longueur d'onde.

Cette mesure implique qu'on sache mesurer la fréquence, et que la paroi du tube n'interagisse pas notablement avec l'air.

On peut aussi réaliser des ondes stationnaires dans les liquides. Les ondes agissent sur la lumière de la même façon qu'un [[réseau optique]]. Il est donc possible, grâce à un montage optique, d'y mesurer la vitesse du son.

Dans les solides, il est impossible d'utiliser un microphone ; mais des capteurs en surface permettent la détection, et lorsque l'onde revient en phase sur le dispositif excitateur, elle change l'[[impédance mécanique]] à l'excitation, ce qui permet d'établir la fréquence de résonance pour un dispositif de la longueur considérée.

=== Comparaison des méthodes ===

La différence principale entre ces deux méthodes est le résultat obtenu : d'une part la vitesse de phase et d'autre part la vitesse de groupe. La différence entre ces deux grandeurs n'est cependant visible que lorsque la [[Dispersion (mécanique ondulatoire)|dispersion]] du milieu est importante, ce qui est rarement le cas.

== Calcul de la vitesse du son dans différents milieux ==
=== Principaux paramètres ===

Une onde sonore est une [[onde mécanique]] se propageant dans un milieu matériel qui se comprime et se relâche. En l'absence de tout milieu matériel, il n'y a donc pas de son dans le [[Vide (physique)|vide]]. Lors de la propagation d'un son dans un milieu, les [[Particule matérielle|particules]] de ce milieu ne se déplacent généralement pas à la vitesse de propagation de l'onde mais vibrent autour d'un point de repos. Dans les solides, les ondes transverses étant possibles, il peut même n'y avoir aucun déplacement des particules dans la direction de propagation de l'onde. Il ne faut pas confondre la vitesse du son avec la [[Impédance acoustique|vitesse acoustique]], qui est celle des [[particule matérielle|particules matérielles]] constituant le milieu de propagation, dans leur très petit déplacement alternatif.

Les principaux facteurs influant sur la valeur de la vitesse du son sont la [[température]], la [[masse volumique]] et la [[Module d'élasticité|constante d'élasticité]] (ou compressibilité) du milieu de propagation :

{{énoncé|La propagation du son est d'autant plus rapide que la masse volumique du milieu et sa compressibilité sont petites.}}

D'un milieu à l'autre, les deux paramètres changent. Dans l'[[hélium]], dont la compressibilité est à peu près égale à celle de l'air, mais dont la masse volumique est, dans les mêmes conditions de température et de pression, bien plus faible, la vitesse du son est presque trois fois plus grande que dans l'air. Dans un [[gaz]] à [[pression atmosphérique]], la vitesse du son est bien plus faible que dans un [[liquide]] : bien que la masse volumique du gaz soit bien plus faible, celui-ci est presque infiniment plus compressible que le liquide (qui est souvent considéré incompressible). Par exemple, le son se propage [[Qualité métrologique des appareils de mesure#Exactitude de mesure|exactement]] à {{unité|1482.343|m/s}} ({{unité|5336.435|km/h}}) dans l'[[Molécule d'eau|eau pure]] à {{tmp|20|°C}}<ref name="TDI" />, approximativement à {{unité|340|m/s}} ({{unité|1224|km/h}}) dans l'air à {{tmp|15|°C}} et à environ {{unité|1500|m/s}} ({{unité|5400|km/h}}) dans l'[[eau de mer]].

Cette propriété est notamment utilisée pour déterminer la qualité d'un [[béton]], car une propagation plus rapide signifie que le béton contient peu de bulles d'air (la vitesse du son dans le béton est beaucoup plus élevée que dans l'air). La célérité dans l'eau de mer intervient notamment dans les systèmes de repérage des [[Banc (poisson)|bancs de poissons]] et des [[sous-marin]]s<ref name="TDI" />.

L'[[hygrométrie]] influe peu sur la vitesse du son dans l'air.

=== Vitesse théorique maximale ===

En [[2020 en science#Octobre|2020]] une équipe internationale de physiciens établit que la vitesse théorique maximum du son serait d'environ {{nb|36 km/s}}. Cette limite est calculée à partir de [[constantes physiques]]<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Kostya Trachenko|et al.=oui|titre=Speed of sound from fundamental physical constants|périodique=Science Advances|lien périodique=Science Advances|volume=6|numéro=41, eabc8662|date=9 octobre 2020|doi=10.1126/sciadv.abc8662}}.</ref>{{,}}<ref name=Deluzarche>{{Article|prénom1=Céline|nom1=Deluzarche|url=https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-voici-vitesse-theorique-maximum-son-83562/|titre=Voici la vitesse théorique maximum du son|périodique=Futura-Sciences|lien périodique=Futura-Sciences|date=13 octobre 2020|consulté le=14 octobre 2020}}.</ref>.

=== Dans un fluide ===
==== Dans un fluide quelconque ====

Sans onde de [[Contrainte de cisaillement|cisaillement]], la vitesse du son se propage seulement par compression. Si le son n'est pas trop fort (<math>\Delta P_\text{sonore} \ll P_\text{ambiant}</math>), la compression et la détente du fluide peuvent être considérées comme étant [[Processus isentropique|isentropiques]] et la vitesse du son est :

<center><math>c_\text{fluide}=\sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_S}</math></center>

La [[racine carrée]] de la [[dérivée partielle]] de la [[pression]] <math>P</math> par la [[masse volumique]] <math>\rho</math> à [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] <math>S</math> constante.

La [[Vitesse d'une onde|célérité]] du son dans un fluide peut être aussi exprimée en une fonction du coefficient de [[compressibilité isentropique]] <math>\chi_S = -{ 1 \over V} \left( { \partial V \over \partial P} \right)_S</math> selon<ref name="Taillet"/> :

<center><math>c_\text{fluide} = \sqrt{\frac{1}{\chi_S \, \rho}}</math></center>

{{démonstration/début|titre= Démonstration}}
Soit un fluide non [[Viscosité|visqueux]], initialement au repos. Les propriétés du milieu en un point <math>\mathrm M</math> situé à une distance <math>r</math> de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :
* masse volumique : <math>\rho \! \left(\mathrm M,t \right) = \rho_0 + \rho' \! \left( r,t \right)</math> ;
* pression : <math>P \! \left(\mathrm M,t \right) = P_0 + P' \! \left( r,t \right)</math> ;
* vitesse : composante radiale uniquement, de moyenne temporelle nulle, notée <math>u \! \left(r,t\right)</math>.

Les [[équations de Navier-Stokes]] relient les variations de <math>\rho</math>, <math>P</math> et <math>u</math>, tandis qu'une [[équation d'état]] est nécessaire pour relier <math>\rho</math> à la pression <math>P</math>.

; Bilan de masse ([[équation de continuité]]) :

::<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div} \left( \rho \cdot \vec{v} \right) = 0</math>

:Soit : <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \cdot \text{div} \left( \vec{v} \right) + \vec{v} \cdot \vec{\text{grad}} \rho = 0</math>

:En négligeant le terme convectif <math>\vec{v} \cdot \vec{\text{grad}} \rho</math> puisque <math>\vec{v} \approx \vec{0}</math>, en assimilant <math>\rho</math> à sa moyenne temporelle <math>\rho_0</math>, et en développant le tout en coordonnées sphériques, il vient :

<center>{{equarefa|E1}} <math>\frac{\partial \rho'}{\partial t} = -\frac{\rho_0}{r^2} \frac{\partial \left(r^2 u \right)}{\partial r}</math></center>

;[[Équation de bilan de la quantité de mouvement|Bilan de quantité de mouvement]] ([[Équations d'Euler|équation d'Euler]] en l'absence de prise en compte de la viscosité) :

::<math>\rho \frac{\text{D} \vec{v}}{\text{D} t} = -\vec{\text{grad}} P</math>

:Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit : <math>\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \frac{\partial u}{\partial r} \right) = -\frac{\partial P}{\partial r}</math>
:En négligeant le terme <math>u \cdot \frac{\partial u}{\partial r}</math> puisque <math>u \approx 0</math> et en assimilant <math>\rho</math> à sa moyenne temporelle <math>\rho_0</math>, il vient :

<center>{{equarefa|E2}} <math>\frac{\partial P'}{\partial r} \approx -\rho_0 \frac{\partial u}{\partial t}</math></center>

; Équation d'état

:La masse volumique est reliée à la pression par l'[[équation d'état]] du fluide <math>P = f \! \left( \rho \right)</math>, dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropique <math>\chi_S = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial \rho}{\partial P} \right)_S</math>. On peut donc écrire :

<center>{{equarefa|E3}} <math>\rho' \approx \rho_0 \chi_S P'</math></center>

; Expression du champ de pression

:En éliminant <math>\rho'</math> de l'équation {{equarefl|E1}} grâce à l'équation {{equarefl|E3}}, on obtient :

::<math>\frac{\partial P'}{\partial t} = -\frac{1}{\chi_S} \left( \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2u}{r} \right)</math>
::<math>\frac{\partial P'}{\partial r} = -\rho_0 \frac{\partial u}{\partial t}</math>

:La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport à <math>r</math> donne :

::<math>\frac{\partial^2 P'}{\partial t^2} = -\frac{1}{\chi_S} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial r} + \frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial t} \right)</math>
::<math>\frac{\partial^2 P'}{\partial r^2} = -\rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial r \partial t}</math>

:En éliminant <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial r}</math> et <math>\frac{\partial u}{\partial t}</math>, on aboutit à :

::<math>\frac{\partial^2 P'}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial P'}{\partial r} = \rho_0 \chi_S \frac{\partial^2 P'}{\partial t^2}</math>

:Soit :

<center><math>\Delta P' = \rho_0 \chi_S \frac{\partial^2 P'}{\partial t^2}</math></center>

:où le symbole <math>\Delta</math> désigne l'[[opérateur laplacien]]. Il s'agit de l'équation de propagation d'une '''[[onde sphérique]]''' de célérité :

<center>'''Célérité : '''<math>c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}}</math></center>

:La solution générale du champ de pression est de la forme :

<center>'''Champ de pression : '''<math>P = P_0 + \frac{1}{r} \left[ f_1 \! \left( t - \frac{r}{c} \right) + f_2 \! \left( t + \frac{r}{c} \right) \right]</math></center>

{{démonstration/fin}}

{{démonstration/début|titre= Formule de Newton}}

Dans son ''Traité de mécanique céleste'', Laplace rappelle sa formule publiée en 1816 dans les ''Annales de Physique et de Chimie''<ref name="Laplace">Pierre Simon de Laplace, [https://books.google.fr/books?id=7MsBqOkKIAwC&pg=PA95#v=onepage&q&f=false ''Traité de mécanique céleste''], {{t.|5}}, {{p.|96}}, 1825.</ref> :

{{citation|La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant.}}

La vitesse du son fait intervenir la masse volumique <math>\rho</math> et la compressibilité isentropique <math>\chi_S</math> du milieu selon l'hypothèse [[processus adiabatique|isentropique]] de Laplace :

:<math>c_\text{Laplace} = \sqrt{\frac{1}{\chi_S \, \rho}}</math>

Newton avait basé son modèle sur une hypothèse [[processus isotherme|isotherme]] du son, ce qui le conduisit à une formule équivalente à :

:<math>c_\text{Newton} = \sqrt{\frac{1}{\chi_T \, \rho}}</math>

Les compressibilités isentropique <math>\chi_S = -{1 \over V} \left( {\partial V \over \partial P} \right)_S</math> et isotherme <math>\chi_T = -{1 \over V} \left( {\partial V \over \partial P} \right)_T</math> sont liées par la [[relation de Reech]] au [[indice adiabatique|coefficient de Laplace]] <math>\gamma</math> :
:<math>\gamma = {c_P \over c_V} = \frac{\chi_T}{\chi_S}</math>

avec :
* <math>c_P</math> la [[capacité thermique isobare]] [[grandeur massique|massique]] (anciennement ''chaleur spécifique sous une pression constante'') ;
* <math>c_V</math> la [[capacité thermique isochore]] massique (anciennement ''chaleur spécifique sous un volume constant'').

Ainsi, les expressions des vitesses du son selon Laplace et Newton sont liées par :

:<math>c_\text{Laplace} = \sqrt{\frac{1}{\chi_S \, \rho}} = \sqrt{\frac{\chi_T}{\chi_S}} \sqrt{\frac{1}{\chi_T \, \rho}} = \sqrt{\gamma} \, c_\text{Newton}</math>
<center><math>c_\text{Laplace} = \sqrt{\frac{c_P}{c_V}} \, c_\text{Newton}</math></center>

Pour l'air, gaz diatomique, <math>\gamma \approx 1{,}4</math>, d'où :

:<math>c_\text{Laplace} \approx 1{,}183 \cdot c_\text{Newton}</math>
:<math>c_\text{Newton} \approx 0{,}845 \cdot c_\text{Laplace}</math>

La formule de Laplace donnant la vitesse du son correcte dans l'air, la formule de Newton donne une valeur d'environ 16 % inférieure à la réalité.

{{démonstration/fin}}

==== Dans un gaz parfait ====
===== Formules générales =====

La vitesse du son dans un [[gaz parfait]] est fonction du coefficient de Laplace <math>\gamma</math> (gamma), de la [[masse volumique]] <math>\rho</math> ainsi que de la pression <math>P</math> du gaz et se calcule théoriquement ainsi :
<center>{{equarefa|I}} <math>c_\text{gaz parfait} = \sqrt{\frac{\gamma \, P}{\rho}}</math></center>

avec :
* <math>\gamma = {C_P \over C_V}</math>, [[indice adiabatique|coefficient de Laplace]] ;
* <math>C_P</math> et <math>C_V</math>, les [[capacité thermique|capacités thermiques]] respectivement [[capacité thermique isobare|isobare]] et [[capacité thermique isochore|isochore]].

La vitesse du son peut être aussi calculée à l'aide de la [[Constante universelle des gaz parfaits#Constantes spécifiques des gaz parfaits|constante spécifique du gaz parfait]] <math>R_s = {R \over M}</math> (avec <math>M</math> la [[masse molaire]] et <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]]) et de <math>T</math>, la [[température thermodynamique]] en [[kelvin]]s (K)<ref name="Taillet"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Robert N. Compton |auteur2=Michael A. Duncan |titre=Laser Experiments for Chemistry and Physics |éditeur=[[Oxford University Press]] |année=2016 |pages totales=403 |passage=124 |isbn=978-0-19-874297-5 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=KJYUDAAAQBAJ&pg=PA124 |id=Laser}}.</ref> :

<center>{{equarefa|II}} <math>c_\text{gaz parfait} = \sqrt{\gamma \, R_s \, T}</math></center>

{{démonstration/début|titre= Démonstration}}
La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

:<math>c = \sqrt{{1 \over \chi_S \, \rho}}</math>

Le coefficient de [[compressibilité isentropique]] est défini par :

:<math>\chi_S = -{1 \over V}\left( {\partial V \over \partial P}\right)_S</math>.

Il est relié au coefficient de Laplace <math>\gamma</math> par la [[relation de Reech]] :

:<math>\gamma = {\chi_T \over \chi_S}</math>

avec <math>\chi_T = -{1 \over V}\left( {\partial V \over \partial P}\right)_T</math> le [[compressibilité|coefficient de compressibilité isotherme]] qui vaut, pour un gaz parfait, <math>\chi_T = {1 \over P}</math>, puisque selon la [[loi des gaz parfaits]] <math>V = {nRT \over P}</math>.

La célérité du son dans un gaz parfait vaut donc :

<center><math>c= \sqrt{1 \over \rho \, \chi_S} = \sqrt{\gamma \over \rho \, \chi_T} = \sqrt{\gamma \, P \over \rho}</math></center>

<math>n</math> [[mole (unité)|moles]] de gaz parfait de [[masse molaire]] <math>M</math> ont une masse <math>m = nM</math> et occupent un volume <math>V = {nRT\over P}</math> sous la pression <math>P</math> et à la température <math>T</math>. La masse volumique vaut alors <math>\rho = {m \over V} = M {n \over V} = M {P \over RT}</math>. Avec <math>R</math>, la [[constante universelle des gaz parfaits]], on définit la constante spécifique du gaz parfait étudié : <math>R_s = {R \over M}</math>. On réécrit en conséquence :

<center><math>c = \sqrt{\gamma \, R_\mathrm{s} \, T}</math></center>

{{démonstration/fin}}

La formule {{equarefl|I}} montre que la célérité du son <math>c</math> dans un gaz parfait est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique ; la formule {{equarefl|II}} montre également qu'elle est indépendante de la pression du gaz et de la fréquence, mais qu'elle est proportionnelle à la racine carrée de la température<ref name="TDI">Techniques de l'Ingénieur, ''Célérité des ondes sonores et vibratoires'', {{chap.}}5 - ''Mesure de la célérité des ondes sonores et vibratoires'', R 3 111 - 2.</ref>. L'indépendance de la vitesse du son par rapport à la pression du gaz n'est toutefois vérifiée que pour des pressions voisines de la pression atmosphérique normale (condition d'application de la [[loi des gaz parfaits]]).

La constante <math>R_\mathrm{s}</math> est une grandeur indépendante de la température. Le coefficient adiabatique <math>\gamma</math> dépend peu de la température <math>T</math>. Les valeurs du ratio <math>\gamma</math> sont approximativement égales à :
* <math>\gamma</math> = 5/3 = 1,67 pour les [[gaz parfait]]s [[gaz monoatomique|monoatomiques]] ;
* <math>\gamma</math> = 7/5 = 1,40 pour les gaz parfaits [[Molécule diatomique|diatomiques]] ;
* <math>\gamma</math> = 1,33 pour les gaz parfaits polyatomiques.

===== Formules approchées pour l'air =====

Pour l'air, composé principalement de [[dioxygène]] et de [[diazote]], gaz diatomiques :

* <math>R_\mathrm{s,air}</math> = {{unité|287|J||kg|-1|K|-1}} ;
* <math>\gamma_\mathrm{air}</math> = 1,4.

Avec l'équation {{equarefl|II}}, on obtient la vitesse théorique du son dans l'air sec assimilé à un gaz parfait en m/s en fonction de la température en kelvins :

<center>'''Pour l'air sec''' : selon les auteurs</center>
<center><math>c_\mathrm{air} = 20{,}05 \, \sqrt{T}</math><ref name ="Lesueur">Claude Lesueur, ''Acoustique'', {{chap.}}1 - ''Éléments de base en acoustique physiologique et physique'', 1997, {{p.}}15.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Lloyd Dingle |auteur2=Mike Tooley |titre=Aircraft Engineering Principles |éditeur=[[Routledge]] |année=2006 |pages totales=656 |passage=545 |isbn=978-1-136-43020-6 |lire en ligne=https://books.google.be/books?id=qM-FKqn5VqoC&pg=PA545}}.</ref></center>
<center><math>c_\mathrm{air} = 20{,}06 \, \sqrt{T}</math><ref>{{chapitre |langue=en |prénom1=Eugene T. |nom1=Patronis |titre chapitre=8. Stadiums and outdoor venues |auteurs ouvrage=Glen Ballou (direction) |titre ouvrage=Handbook for Sound Engineers |numéro d'édition=4 |lieu=New York |éditeur=Focal Press |année=2008|passage=204}}.</ref> </center>
<center><math>c_\mathrm{air} = 20 \, \sqrt{T}</math>{{sfn|Fischetti|2001|p=11}}{{,}}<ref>{{chapitre|prénom1=Patrice|nom1=Bourcet|prénom2=Pierre|nom2=Liénard|titre chapitre=Acoustique fondamentale|titre ouvrage=Le livre des techniques du son, {{nobr|tome 1}} - Notions fondamentales |auteurs ouvrage=Denis Mercier (direction)|lieu=Paris|éditeur=Eyrolles|année=2019|année première édition=1987|passage=29}}.</ref></center>

La vitesse <math>c_\mathrm{air}</math> est exprimée en {{nb|m/s}}, la température <math>T</math> en [[kelvin]] (K).

Les différences entre auteurs proviennent principalement de la prise en compte de constituants mineurs de l'air, principalement l'[[argon]] et le [[gaz carbonique]], et des incertitudes qui affectent les calculs des constantes. L'air n'étant pas un gaz parfait, ces formules ne donnent qu'un résultat approximatif. Des calculs plus raffinés tiennent compte des interactions entre molécules ([[Équation du viriel|viriel]]) et apportent des correctifs. De ce fait, la pression et la fréquence affectent les dernières décimales{{sfn|Zuckerwar|2002}}.

Au voisinage de la température ambiante, la célérité du son dans l'air peut être approchée par la linéarisation suivante<ref>{{Harvsp|Compton {{et al.}}|2016|p=124|id= Laser}}.</ref> :

<center><math>c_\mathrm{air} = 331{,}5 + 0{,}607 \cdot \theta</math> (en {{nb|m/s}})</center>

où <math>\theta</math> ([[thêta]]) est la température en [[degré Celsius|degrés Celsius (°C)]] : <math>\theta=T-273{,}15</math>. On peut simplifier cette formule en<ref>[http://www.cyberphon.ish-lyon.cnrs.fr/Partie2/P2C1P.htm La vitesse du son dans différents milieux], CyberPhon, site de phonétique acoustique de l'[[Université Lumière-Lyon-II|université Lumière Lyon 2]] : la vitesse du son dans l'air sec se calcule selon <math>c=331 + 0,6 \, t</math>, en m/s, avec <math>t</math> la température en °C.</ref> : <math>c_\mathrm{air} = 331 + 0{,}6 \cdot \theta</math>.

La vitesse du son dans l'air augmente faiblement avec l'[[humidité]], la différence pouvant atteindre un peu plus d'un mètre par seconde<ref>{{Ouvrage|prénom1=Marie-Christine de|nom1=La Souchère|titre=Les sons en 150 questions|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2013|passage=10|isbn=|lire en ligne=https://www.editions-ellipses.fr/PDF/9782729882594_extrait.pdf}}.</ref>. L'air est un milieu faiblement [[Dispersion (mécanique ondulatoire)|dispersif]], surtout s'il est humide. La vitesse augmente peu avec la [[fréquence]], l'écart ne dépassant guère {{unité|0.1|m/s}} dans le spectre audible<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=William M. Haynes|titre=CRC Handbook of Chemistry and Physics|éditeur=CRC Press/Taylor & Francis|année=2016|numéro d'édition=97|pages totales=2652|passage=2432 (14-47)|isbn=978-1-4987-5428-6|isbn2=1-4987-5428-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=VVezDAAAQBAJ&pg=SA14-PA47|titre chapitre=Attenuation and Speed of Sound in Air as a Function of Humidity and Frequency}}.</ref>, mais peut être sensible pour les ultrasons à [[haute fréquence]].

===== Relation entre vitesse du son et vitesse des molécules de gaz =====

La masse volumique <math>\rho</math> d'un gaz parfait vaut :

:<math>\rho = {PM \over RT}</math>

avec :
* <math>P</math> la pression ;
* <math>M</math> la [[masse molaire]] du gaz ; 
* <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]].

En remplaçant <math>\rho</math> dans l'équation {{equarefl|I}}, on a par conséquent :

:<math>c = \sqrt{\gamma {RT \over M}}</math>

La [[vitesse quadratique moyenne]] <math>\hat v</math> des molécules d'un gaz parfait est corrélée à la température selon<ref>{{Ouvrage |langue=fr |langue originale=en |auteur1=Peter William Atkins |auteur2=Loretta Jones |auteur3=Leroy Laverman |traducteur=André Pousse |titre=Principes de chimie |sous-titre= |titre original=Chemical Principles |éditeur=De Boeck Supérieur |collection= |lieu= |année=2017 |numéro d'édition=4 |volume= |tome= |pages totales=1088 |passage=175 |isbn=9782807306387 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=ne2ZDgAAQBAJ&pg=PA175 |id= }}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Inge L. Ryhming |titre=Dynamique des fluides |sous-titre=un cours de base du deuxième cycle universitaire |éditeur=[[Presses polytechniques et universitaires romandes|EPFL Press]] |collection= |lieu= |année=2004 |numéro d'édition= |volume= |tome= |pages totales=462 |passage=304 |isbn=9782880744090 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=l4FzBcfRUBgC&pg=PA304 |id= }}.</ref> :

:<math>\hat v = \sqrt{3 {R T \over M}}</math>

On a donc la relation :

<center><math>c = \sqrt{{\gamma \over 3}} \, \hat v</math></center>

Dans le cas d'un gaz parfait diatomique comme l'air <math>\gamma = 7/5</math>, on a par conséquent :

:<math>c \approx 0,683 \, \hat v</math>

Cette relation montre que dans l'air la vitesse du son est inférieure à la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz au repos. En application, à {{unité|20 °C}}, avec {{nobr|<math>M</math> {{=}} {{unité|28,965 g mol-1}}}}, on obtient :
* {{nobr|<math>c</math> {{=}} {{unité|343,2 m s-1}}}} ;
* {{nobr|<math>\hat v</math> {{=}} {{unité|502,4 m s-1}}}}.

==== Dans un gaz de van der Waals ====

La vitesse du son dans un [[équation d'état de van der Waals|gaz de van der Waals]] est fonction de deux variables thermodynamiques indépendantes, classiquement la température <math>T</math> et le [[volume molaire]] <math>\bar V</math> :
<center><math>c = \sqrt{ {\gamma \over M} \left( \frac{RT \bar V^2}{\left(\bar V - b \right)^2}- {2a \over \bar V} \right)}</math></center>

avec :
* <math>\gamma</math> l'[[indice adiabatique]], dépendant du fluide considéré ;
* <math>M</math> la [[masse molaire]], dépendant du fluide considéré ;
* <math>a</math> et <math>b</math>, deux paramètres propres à l'équation d'état de van der Waals, dépendant du fluide considéré ;
* <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]].

{{démonstration/début|titre= Démonstration}}
La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

<center><math>c = \sqrt{{1 \over \chi_S \, \rho}}</math></center>

Le coefficient de [[compressibilité isentropique]] est défini par : <math>\chi_S = -{1 \over V}\left( {\partial V \over \partial P}\right)_S</math>. Il est relié au coefficient de Laplace <math>\gamma</math> par la [[relation de Reech]] : <math>\gamma = {\chi_T \over \chi_S}</math>, avec <math>\chi_T = -{1 \over V}\left( {\partial V \over \partial P}\right)_T</math> le [[compressibilité|coefficient de compressibilité isotherme]]. On réécrit donc :
<center><math>c = \sqrt{{\gamma \over \chi_T \, \rho}}</math></center>

L'[[équation d'état de van der Waals]] s'écrit :

<center><math>P = {nRT \over V - nb } - {a n^2 \over V^2}</math></center>

avec :
* <math>a</math> le terme de cohésion (constant) ;
* <math>b</math> le covolume molaire (constant) ;
* <math>n</math> la [[quantité de matière]] (nombre de [[mole (unité)|moles]]) ;
* <math>P</math> la [[pression]] ;
* <math>R</math> la [[constante universelle des gaz parfaits]] ;
* <math>T</math> la [[température thermodynamique|température absolue]] ;
* <math>V</math> le [[volume]].

<math>n</math> moles de gaz de [[masse molaire]] <math>M</math> ont une [[masse]] <math>m = nM</math> et occupent un volume <math>V</math> sous la pression <math>P</math> et à la température <math>T</math>. La [[masse volumique]] vaut alors <math>\rho = {m \over V} = M { n \over V}</math> et le [[volume molaire]] <math>\bar V = {V \over n}</math>. Le coefficient de compressibilité isotherme vaut alors, pour un gaz de van der Waals :

<center><math>\chi_T \! \left( T, \bar V \right)
= {\left( \bar V - b \right)^2 \over RT \bar V \left( 1 - {2 a \left( \bar V - b \right)^2 \over RT \bar V^3} \right)}</math></center>

On réécrit en conséquence :

:<math>c = \sqrt{{\gamma \over M} {\bar V \over \chi_T}}
= \sqrt{{\gamma \over M} \left(
{RT \bar V^2 \left( 1 - {2 a \left( \bar V - b \right)^2 \over RT \bar V^3} \right)
\over
\left( \bar V - b \right)^2}
\right)}</math>

en réarrangeant, on trouve :

<center><math>c = \sqrt{ {\gamma \over M} \left( \frac{RT \bar V^2}{\left(\bar V - b \right)^2}- {2a \over \bar V} \right)}</math></center>

{{démonstration/fin}}

Si l'on définit :
* <math>a' = {a \over M^2}</math> et <math>b' = {b \over M}</math> ;
* <math>R_s = {R \over M}</math>, la [[constante universelle des gaz parfaits#Constantes spécifiques des gaz parfaits|constante spécifique]] du gaz ;
* <math>\rho = {M \over \bar V}</math>, la [[masse volumique]],

si l'on considère d'autre part que <math>c_P - c_V \approx R_s</math>, la [[relation de Mayer]] pour les gaz parfaits ([[Équation d'état de van der Waals#Relation de Mayer|ce qui n'est pas rigoureux pour un gaz de van der Waals]]), avec :
* <math>c_P</math> et <math>c_V</math> les [[Capacité thermique|capacités thermiques spécifiques (ou massiques)]] ;
* <math>\gamma = {C_P \over C_V} = {c_P \over c_V} \approx {R_s \over c_V} + 1</math>,

alors on a approximativement :

<center><math>c \approx \sqrt{
\left( {R_s \over c_V} + 1 \right)
\left( {R_s T \over \left( 1 - \rho b' \right)^2 } - 2a' \rho \right)
}</math></center>

==== Fluides diphasiques ====

Dans le cas d'un fluide diphasique (bulles d'air dans l'eau liquide par exemple), la vitesse du son se trouve fortement modifiée. Le calcul de la vitesse du son est alors assez complexe et dépend notamment des relations qui unissent les deux fluides (par exemple, dans le cas d'un liquide avec des bulles de vapeur, il faudra prendre en compte les changements de phase).

Néanmoins, un résultat général peut être donné. La vitesse du son dans ce mélange est bien inférieure à la plus petite des deux vitesses dans les milieux séparés. Par exemple, pour un mélange eau/vapeur la vitesse du son est autour de {{unité|30|m/s}} pour un taux de présence de 0,5. Cela s'explique en considérant la masse volumique moyenne du mélange, qui est comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur, et la compressibilité (ou la constante d'élasticité moyenne) qui est elle aussi comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur. En introduisant les bulles de vapeur dans l'eau, on a tout à la fois diminué la masse volumique moyenne du milieu (cette modification, seule, tend à augmenter la vitesse du son) et augmenté sa compressibilité (cette modification, seule, diminue la vitesse du son). Mais on a beaucoup plus augmenté la constante élastique que diminué la masse volumique. C'est pourquoi on a obtenu une vitesse du son plus faible dans ce mélange que dans l'eau pure.

=== Dans un solide ===

Dans un solide, la vitesse des [[Onde mécanique progressive|ondes mécaniques]] est dépendante de la [[masse volumique]] <math>\rho</math> et des constantes d'élasticité. Des ondes tant [[Onde longitudinale|longitudinales]] que [[Onde mécanique progressive|transverses]] peuvent se propager ({{nobr|ondes P}} et S en [[sismologie]]) dont les vitesses sont données par :

<center><math>c_{\mathrm{l}} = \sqrt{\frac{E \left( 1-\nu \right) }{\rho \left( 1+\nu \right) \left( 1-2\nu \right)}}</math></center>
<center><math>c_{\mathrm{t}} = \sqrt{\frac{E}{2\rho \left( 1+\nu \right)}}</math></center>

où :
* <math>c_{\mathrm{l}}</math> désigne la vitesse longitudinale ;
* <math>c_{\mathrm{t}}</math> désigne la vitesse transversale ;
* <math>E</math> désigne le [[module de Young]] ;
* <math>\nu</math> est le [[coefficient de Poisson]] du matériau.

== Exemples ==
=== Dans l'air ===
==== En fonction de la température ====

La table suivante<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=William M. Haynes|titre=CRC Handbook of Chemistry and Physics|éditeur=CRC Press/Taylor & Francis|année=2016|numéro d'édition=97|pages totales=2652|passage=2433 (14-48)|isbn=978-1-4987-5428-6|isbn2=1-4987-5428-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=VVezDAAAQBAJ&pg=SA14-PA48|titre chapitre=Speed of Sound in Dry Air}}.</ref> présente l'évolution de quelques propriétés de l'air sec sous une pression d'une [[atmosphère (unité)|atmosphère]] en fonction de la température, avec :
* <math>\theta</math> la température ;
* <math>c</math> la vitesse du son ;
* <math>\rho</math> la masse volumique ;
* <math>Z</math> l'[[impédance acoustique]].

En ''italique'' sont reportées les vitesses calculées au moyen de la formule :

:<math>c = 331,5 + 0,607 \cdot \theta</math>

{| class="wikitable alternance"
|+ Influence de la température sur l'air
! scope=col | <math>\theta</math> en °C
! scope=col | <math>c</math> en {{nb|m/s}}
! scope=col | <math>\rho</math> en {{nb|kg/m3}}
! scope=col | <math>Z</math> en {{nb|N s/m3}}
|-
! scope=row | {{nb|-10}}
| 325,4<br>''325,4''
| 1,341
| 436,5
|-
! scope=row | {{nb|-5}}
| 328,4<br>''328,5''
| 1,316
| 432,4
|-
! scope=row | 0
| 331,5<br>''331,5''
| 1,293
| 428,3
|-
! scope=row | +5
| 334,5<br>''334,5''
| 1,269
| 424,5
|-
! scope=row | +10
| 337,5<br>''337,6''
| 1,247
| 420,7
|-
! scope=row | +15
| 340,5<br>''340,6''
| 1,225
| 417,0
|-
! scope=row | +20
| 343,4<br>''343,6''
| 1,204
| 413,5
|-
! scope=row | +25
| 346,3<br>''346,7''
| 1,184
| 410,0
|-
! scope=row | +30
| 349,2<br>''349,7''
| 1,164
| 406,6
|}

==== En fonction de l'altitude ====

La table suivante<ref>Çengel Y. et Boles M., ''Thermodynamics - An Engineering Approach'', {{6e}}{{éd.}}, McGraw-Hill, 2008 {{ISBN|978-0-07-352921-9}}.</ref> présente l'évolution de quelques propriétés de l'air en fonction de l'[[altitude]] en [[Atmosphère normalisée#Atmosphère standard|atmosphère ISA]], avec :
* <math>\theta</math> la température ;
* <math>P</math> la pression ;
* <math>c</math> la vitesse du son ;
* <math>\rho</math> la masse volumique.

{| class="wikitable alternance"
|+ Influence de l'altitude sur l'air
! scope=col | Altitude en m
! scope=col | <math>\theta</math> en °C
! scope=col | <math>P</math> en kPa
! scope=col | <math>c</math> en {{nb|m/s}}
! scope=col | <math>\rho</math> en {{nb|kg/m3}}
|-
! scope=row | 0
| 15,00
| 101,33
| 340,3
| 1,225 
|-
! scope=row | 200
| 13,70
| 98,95
| 339,5
| 1,202
|-
! scope=row | 400
| 12,40
| 96,61
| 338,8
| 1,179
|-
! scope=row | 600
| 11,10
| 94,32
| 338,0
| 1,156
|-
! scope=row | 800
| 9,80
| 92,08
| 337,2
| 1,134
|-
! scope=row | {{nb|1000}}
| 8,50
| 89,88
| 336,4
| 1,112
|-
! scope=row | {{nb|2000}}
| 2,00
| 79,50
| 332,5
| 1,007
|-
! scope=row | {{nb|3000}}
| {{nb|-4,49}}
| 70,12
| 328,6
| 0,909
|-
! scope=row | {{nb|4000}}
| {{nb|-10,98}}
| 61,66
| 324,6
| 0,819
|-
! scope=row | {{nb|6000}}
| {{nb|-24,0}}
| 47,22
| 316,5
| 0,660
|-
! scope=row | {{nb|8000}}
| {{nb|-36,9}}
| 35,65
| 308,1
| 0,526
|-
! scope=row | {{nb|10000}}
| {{nb|-49,9}}
| 26,50
| 299,5
| 0,414
|-
! scope=row | {{nb|12000}}
| {{nb|-62,9}}
| 19,40
| 295,1
| 0,312
|}

=== Pour différents matériaux ===

La table suivante donne la vitesse du son dans quelques milieux différents dans les [[conditions normales de température et de pression]].

{| class="wikitable"
|+ Exemples<!-- vitesse de groupe ou vitesse de phase ? différente pour certains matériaux -->
! scope=col | Matériau
! scope=col | <math>c</math> en {{nb|m/s}}
|-
![[Air]]
| 340
|-
![[Toluène]]
|{{Unité|926}}<ref name=":1">{{Lien web |titre=Sur la vitesse du son dans les liquides et sur ses relations
avec les chaleurs de vaporisation |url=https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205170/document}}.</ref>
|-
![[Acétone]]
|{{Unité|1120}}<ref name=":1" />
|-
![[Xylène|Xylol]]
|{{Unité|1165}}<ref name=":1" />
|-
![[Alcool (chimie)|Alcool]]
|{{Unité|1195}}<ref name=":1" />
|-
![[Éther de pétrole|Benzine]]
|{{Unité|1202}}<ref name=":1" />
|-
![[Pétrole]]
|{{Unité|1275}}<ref name=":1" />
|-
![[Eau]]
|{{unité|1480}}<ref name=":0">{{Lien web |langue=fr |prénom=Nathalie |nom=Mayer |titre=Vitesse du son |url=https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-vitesse-son-16089/ |site=Futura |consulté le=2021-09-16}}.</ref>
|-
![[Acide sulfurique]]
|{{Unité|1677}}<ref name=":1" />
|-
![[Béton de ciment|Béton]]
|{{Unité|3100}}<ref name=":0" />
|-
![[Acier]]
|{{Unité|5600}}<ref>{{Lien web |titre=StackPath |url=https://www.quebecscience.qc.ca/pose-ta-colle/quelle-est-la-vitesse-du-son-et-de-electricite/ |site=www.quebecscience.qc.ca |consulté le=2021-09-16}}.</ref>
|-
![[Diamant]]
| {{unité|18000}}<ref name=Deluzarche/>
|}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références}}

=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage|prénom1=Antonio|nom1=Fischetti|titre=Initiation à l'acoustique|sous-titre=Écoles de cinéma — BTS audiovisuel|lieu=Paris|éditeur=[[Belin éditeur|Belin]]|année=2001|pages totales=287|passage=10-15|isbn=}}.
* {{chapitre|prénom=Pierre |nom=Liénard |titre chapitre=Élaboration des théories de l'acoustique |titre ouvrage=Petite histoire de l'acoustique|lieu=Paris |éditeur=Lavoisier / Société française d'acoustique|collection=Hermès science |année=2001|isbn=2-7462-0294-8|passage=85-105}}.
* {{Chapitre|prénom=Michel |nom=Rival|titre chapitre=Mesurer la vitesse du son|titre ouvrage=Les grandes expériences scientifiques|éditeur=Seuil|lieu=Paris|année=1996 |passage=75-78 |isbn=2-0202-2851-3}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas D.|nom1=Rossing|responsabilité1=ed.|titre=Handbook of Acoustics|lieu=New York|éditeur=Springer|année=2007|pages totales=1182|passage=7-204 « Propagation of Sound »|isbn=978-0-387-30446-5|présentation en ligne=https://link.springer.com/referencework/10.1007/978-0-387-30425-0}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Allan J.|nom1=Zuckerwar|titre=Handbook of the Speed of Sound in Real Gases|sous-titre=Speed of Sound in Air|volume=3|éditeur=Elzevier|année=2002|pages totales=289|isbn=|présentation en ligne=https://books.google.fr/books?id=FiZPT_FVdQEC}}.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Son (physique)]]
* [[Nombre de Mach]]
* [[Mur du son]]
* [[Supersonique]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{portail|physique}}

[[Catégorie:Acoustique]]
[[Catégorie:Histoire de la physique]]
[[Catégorie:Vitesse|son]]