Sous-groupe sous-normal

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.

Définition formelle

Formellement, $H$ est $k$-sous-normal dans $G$ s'il existe des sous-groupes

$H=H_0,H_1,H_2,\dots ,H_k=G$

de $G$ tels que $H_i$ est normal dans $H_{i+1}$ pour chaque $i$.

Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est $k$-sous-normal pour un entier positif $k$.

Historique

Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe de longueur finie (en particulier fini), le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc dans ce cas, que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.

Exemple

Le sous-groupe $Z=\{e,((12)(34))\}$ du groupe symétrique $S_4$ est un sous-groupe normal du groupe de Klein $V$ qui lui-même est un sous-groupe normal de $S_4$. Ainsi, $Z$ est un sous-groupe sous-normal de$S_4$, sans être un sous-groupe normal puisque $((12)(34){)}^{(123)}=(13)(24)$ n'est pas dans $Z$.

Propriétés

Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :

• Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
• Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
• Un sous-groupe Modèle:Lien et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
• Un Modèle:Lien qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
• Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.

La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.

Articles liés

• Sous-groupe caractéristique
• Cœur d'un sous-groupe

Bibliographie

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