Sous-groupe caractéristique

Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit

• caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G :Modèle:Retrait
• strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ;
• pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G :Modèle:Retrait

Propriétés

• Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si $\mathrm{\forall }\sigma \in Aut(G)\sigma (H)=H.$Modèle:Retrait
• Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un sous-groupe distingué de G.
• Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe caractéristique de G.Modèle:Retrait
• Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.Modèle:Retrait

Exemples

• Le sous-groupe dérivé D(G) d'un groupe G est un sous-groupe (pleinement) caractéristique de G.Modèle:Retrait
• Le centre d'un groupe G est un sous-groupe strictement caractéristique de G, mais pas toujours pleinement.Modèle:Retrait
• Généralement un sous-groupe défini par une expression qui ne mentionne aucun élément particulier (autre que l'élément neutre) est caractéristique, car le sens d'une telle expression ne change pas sous un automorphisme quelconque. Ainsi sont caractéristiques :
  • le sous-groupe dérivé, qui est engendré par $\{xy{x}^{-1}{y}^{-1}\mid x,y\in G\}$,
  • le centre, qui est égal à $\{x\in G\mid \mathrm{\forall }y\in G:xy=yx\}$,
  • le sous-groupe engendré par les éléments d'ordre deux (ou d'un autre ordre donné),
  • le sous-groupe engendré par $\{x^2\mid x\in G\}$, etc.
• Tout sous-groupe de Sylow sous-normal est pleinement caractéristique.

Histoire

L'expression « sous-groupe caractéristique » (« charakteristische Untergruppe ») a été introduite en 1895 par G. Frobenius.