Coordonnées grassmanniennes

Les coordonnées grassmanniennes sont une généralisation des coordonnées plückeriennes qui permettent de paramétrer les sous espaces de dimension $k$ de l'espace vectoriel ${ℝ}^n$ par un élément de l'espace projectif de l'espace vectoriel des produits extérieurs des familles de $k$ vecteurs de ${ℝ}^n$.

Le plongement plückerien

Le plongement plückerien est un plongement naturel de la variété grassmannienne $G(k,n)$ dans l'espace projectif $P({\mathrm{\Lambda }}^k({ℝ}^n))$: Modèle:Centrer

Ce plongement est défini comme suit. Si $W$ est un sous-espace de dimension $k$ de ${ℝ}^n$, on définit d'abord une base $(e_1,\dots ,e_k)$ de $W$, puis on forme le produit extérieur $\varphi (W)=e_1\wedge \cdots \wedge e_k.$ Ce produit extérieur dépend de la base, mais comme deux familles de $k$ vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel si et seulement si leurs produits extérieurs sont colinénaires, un passage au quotient fait de $\psi$ un plongement de $G(k,n)$ dans l'espace projectif de l'espace des produits extérieurs (de dimension $C_n^k-1,$).

Ce plongement est naturellement injectif car on obtient $W$ comme le sous-espace de dimension $k$ des vecteurs $w$ satisfaisant à $w\wedge \varphi (W)=0$. Lorsque $k=2,n=4$ on retrouve les coordonnées plückeriennes.

D'autre part les images de la grassmannienne satisfont une relation polynomiale quadratique assez simple, appelée la relation de Plücker ; de sorte que la grassmannienne se réalise par ce biais comme une sous-variété de $𝐏({\wedge }^k({ℝ}^n))$. Les relations de Plücker s'obtiennent en prenant deux sous-espaces vectoriels $k$-dimensionnels W et V de ${ℝ}^n$ respectivement munis des bases $(w_1,\cdots ,w_k)$ et $(v_1,\cdots ,v_k)$. Alors, dans le système de coordonnées homogènes de $𝐏({\wedge }^k({ℝ}^n))$, on a pour tout $r\in \{1,\cdots ,k\}$ :

Dans le cas de la dimension $n=4$ et des coordonnées de Plücker ($k=2$), on obtient une seule équation, qui s'écrit : Modèle:Centrer

Bibliographie

• Laurent Lafforgue : Chirurgie des grassmanniennes
• Les coordonnées de Plücker revisitées par Lilian Aveneau de l'Université de Poitiers
• Des planches de Jussieur sur le plongement de Plucker : ici ou là

Liens internes

• Hermann Grassmann
• Coordonnées plückeriennes
• Déterminant par blocs