Déterminant par blocs

En algèbre linéaire, la formule de déterminant par blocs généralise à la fois les formules de Laplace de calcul du déterminant d'une matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne ou le calcul du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

Formule

Si $A$ est une matrice carrée de taille $n$, on forme un procédé d'extraction de $k\le n$ colonnes, noté $\phi$, c'est-à-dire une application strictement croissante de $[[1,k]]$ dans $[[1,n]]$, et un procédé d'extraction de $k\le n$ lignes, noté ${\phi }^{\prime }$.

On note $D_{\phi ,{\phi }^{\prime }}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices $\phi ([[1,k]])$ et les lignes d'indices ${\phi }^{\prime }([[1,k]])$.

On note $D{\text{'}}_{\phi ,{\phi }^{\prime }}$ le déterminant de la matrice extraite de $A$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans $\phi ([[1,k]])$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans ${\phi }^{\prime }([[1,k]])$.

On note $\mathrm{\Phi }$ l'ensemble des applications strictement croissantes de $[[1,k]]$ dans $[[1,n]]$ et l'on fixe $\phi \in \mathrm{\Phi }$.

On note $\epsilon (\phi )$ la signature de $\phi$, définie comme la signature de l'unique permutation de $[[1,n]]$ prolongeant de $\phi$ et dont la restriction à $[[k+1,n]]$ est également croissante.

On obtient alors $\det A=\epsilon (\phi )\sum _{{\phi }^{\prime }\in \mathrm{\Phi }}\epsilon ({\phi }^{\prime })D_{\phi ,{\phi }^{\prime }}D{\text{'}}_{\phi ,{\phi }^{\prime }}$.

Cas particulier

Si $n=4$ et $k=2$, cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

• $p_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux premières colonnes et
• $q_{i,j}$ le déterminant des lignes $i,j$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

$\det A=p_{1,2}{q}_{3,4}+p_{1,3}{q}_{4,2}+p_{1,4}{q}_{2,3}+q_{1,2}{p}_{3,4}+q_{1,3}{p}_{4,2}+q_{1,4}{p}_{2,3}$.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article (§ 8, p. 298-299),
  traduit dans Modèle:Ouvrage (§ 8, p. 20-22)
• Modèle:Ouvrage