Représentation P

En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion ${\widehat{𝐩}}_x$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :

${\widehat{𝐩}}_x|p_x⟩=p_x|p_x⟩$

Comme l'opérateur ${\widehat{𝐩}}_x$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :

${\widehat{𝐩}}_x|\psi ⟩=p_x|\psi ⟩$

Dans cette représentation, l'opérateur de position $\widehat{𝐱}$ dans l'espace à une dimension est tel que :

$⟨p_x|\widehat{𝐱}|\psi ⟩=⟨p_x|i\hslash \frac{\partial }{\partial p_x}|\psi ⟩$

Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :

$\widehat{𝐱}|\psi ⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial p_x}|\psi ⟩$

Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement $x$.

Commutateur [X,P]

Le commutateur de $\widehat{𝐱}$ et ${\widehat{𝐩}}_{𝐱}$ est défini par :

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]=\widehat{𝐱}{\widehat{𝐩}}_{𝐱}-{\widehat{𝐩}}_{𝐱}\widehat{𝐱}$

On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]|\psi ⟩=\widehat{𝐱}{\widehat{𝐩}}_{𝐱}|\psi ⟩-{\widehat{𝐩}}_{𝐱}\widehat{𝐱}|\psi ⟩$

En réalisation P, cela s'écrit :

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]|\psi ⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial p_x}(p_x|\psi ⟩)-i\hslash p_x\frac{\partial }{\partial p_x}|\psi ⟩$

La dérivée d'un produit $uv$ étant $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cela donne :

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]|\psi ⟩=i\hslash ((\frac{\partial }{\partial p_x}{p}_x)|\psi ⟩+p_x\frac{\partial }{\partial p_x}|\psi ⟩-p_x\frac{\partial }{\partial p_x}|\psi ⟩)$

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]|\psi ⟩=i\hslash (1)|\psi ⟩=i\hslash |\psi ⟩$

La valeur du commutateur de $\widehat{𝐱}$ et ${\widehat{𝐩}}_{𝐱}$ est donc :

$[\widehat{𝐱},{\widehat{𝐩}}_{𝐱}]=i\hslash$

Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.