Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est, en géométrie euclidienne, une mesure de la surface plane déterminée par trois points et les segments joignant ces points. L'intérêt de l'aire d'un triangle provient du fait que tout polygone peut être scindé en triangles. Il existe plusieurs méthodes de calcul de cette aire, suivant ce qui est connu du triangle, la plus connue étant celle utilisant une hauteur h et la base b associée :

$S=\frac{b\times h}{2}.$

Une autre formule, dite formule de Héron, permet le calcul de l'aire connaissant les longueurs des trois côtés a, b et c d'un triangle et donc aussi leur demi-somme p :

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Plus simplement : $S=\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}/4.$

Un triangle de côtés a et b formant un angle γ au sommet C.

Elle peut se déduire de la loi des sinus, l'aire du triangle étant déduite d'un angle et de ses côtés adjacents. Si les deux côtés adjacents au sommet C d'un triangle ont pour longueur a et b et si l'angle en C a pour mesure γ, alors l'aire est donnée par :

$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma .$

Calcul de l'aire

À partir d'une hauteur

L'aire d'un triangle peut être calculée en le décomposant en deux triangles rectangles.

Si le triangle est rectangle, il est immédiat que son aire est

$S=\frac{ah}{2},$

où a est la longueur d'un côté différent de l'hypoténuse et h la longueur de la hauteur issue de ce côté. Si le triangle n'est pas rectangle, la relation reste vraie, car le triangle se décompose en deux triangles rectangles (comme sur la figure).

Démonstration par la méthode du cisaillement

À partir de la formule donnant l'aire d'un rectangle, Euclide démontre d'une part (proposition Modèle:Rom du premier livre des Éléments) : Modèle:Citation d'autre part (proposition Modèle:Rom) : Modèle:Citation Modèle:Démonstration

À partir des longueurs des trois côtés

Pour une expression de l'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c et le demi-périmètre $p=\frac{a+b+c}{2}$, on peut utiliser la formule de Héron :

$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

À partir des coordonnées des sommets

L'aire d'un triangle est calculée à partir d'un parallélogramme.

L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ est la norme de leur produit vectoriel :

$S_p=\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\Vert .$

On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :

$S=\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert .$

Un repère orthonormé étant donné, l'aire du triangle ABC peut être calculée à partir des coordonnées des sommets.

Dans le plan, si les coordonnées de A, B et C sont données par $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$, alors l'aire S est la moitié de la valeur absolue du déterminant

$S=\frac{1}{2}|\det \left(\begin{array}{cc}{x}_B-x_A& x_C-x_A\\ y_B-y_A& y_C-y_A\end{array}\right)|=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|.$

L'aire du triangle ABC peut aussi se calculer à partir de la formule

$S=\frac{1}{2}|\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_A& x_B& x_C\\ y_A& y_B& y_C\\ 1& 1& 1\end{array}\right)|=\frac{1}{2}|x_A{y}_C-x_A{y}_B+x_B{y}_A-x_B{y}_C+x_C{y}_B-x_C{y}_A|.$

Cette méthode se généralise en trois dimensions. L'aire du triangle ABC où $A=(x_A,y_A,z_A)$, $B=(x_B,y_B,z_B)$ et $C=(x_C,y_C,z_C)$ s'exprime comme

$S=\frac{1}{2}\sqrt{{(\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_A& x_B& x_C\\ y_A& y_B& y_C\\ 1& 1& 1\end{array}\right))}^2+{(\det \left(\begin{array}{ccc}{y}_A& y_B& y_C\\ z_A& z_B& z_C\\ 1& 1& 1\end{array}\right))}^2+{(\det \left(\begin{array}{ccc}{z}_A& z_B& z_C\\ x_A& x_B& x_C\\ 1& 1& 1\end{array}\right))}^2}.$

Voir aussi

Articles connexes

• Formulaire de géométrie classique
• Théorème de Routh
• S = rp : l'aire du triangle est le produit du rayon du cercle inscrit par le demi-périmètre.

Lien externe

Outil de calcul en ligne de l'aire du triangle