Formulaire de géométrie classique

Illustration tirée de l'encyclopédie Brockhaus et Efron (1890-1907) représentant deux globes terrestres entourés de diverses formes géométriques.

Ce formulaire de géométrie classique récapitule diverses formules reliant algébriquement des mesures de longueur, d'aire ou de volume pour des figures de géométrie euclidienne.

Figures du plan

Périmètre et aire

Nom	Représentation	Périmètre $p$	Aire intérieure $𝒜$	Relations supplémentaires
Carré		$4a$	$a^2$	$d=a\sqrt{2}$
Rectangle		$2(a+b)$	$a\times b$	$d=\sqrt{a^2+b^2}$
Triangle		$a+b+c$	$\frac{1}{2}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\times \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{r}$	$𝒜=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ où $s=\frac{1}{2}p$ (formule de Héron)
Triangle équilatéral		$3a$	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Triangle isocèle rectangle	c = côté de l'angle droit	$(2+\sqrt{2})c$	$\frac{1}{2}{c}^2$	$d=c\sqrt{2}$
Losange		$4a$	$\frac{D_1\times D_2}{2}$.	$a=\frac{1}{2}\sqrt{{D_1}^2+{D_2}^2}$
Parallélogramme		$2(a+b)$	$a\times h$	$𝒜=ab\sin \theta$
Trapèze		$a+b+c+d$	$\frac{1}{2}(a+c)\times h$
Disque		$2\pi r$	$\pi \times r^2$
Couronne circulaire			$\pi (R^2-r^2)$
Secteur circulaire		$r\cdot (2+\pi \cdot \frac{{\theta }^{\circ }}{180})$	$\pi r^2\cdot \frac{{\theta }^{\circ }}{360}$	$L=\pi r\cdot \frac{{\theta }^{\circ }}{180}$
Segment circulaire			$\frac{R^2}{2}(\theta -\sin \theta )$	$s=R\theta$ $c=2R\sin (\theta /2)$ $d=R\cos (\theta /2)$ $h=R(1-\cos (\theta /2))$
Ellipse		$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t}\mathrm{d}t$	$\pi \times a\times b$	$2\pi \frac{a+b}{2}<L<2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Autres relations

Triangle rectangle.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, les longueurs des côtés sont reliées par la formule :

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2.$

Configuration de Thalès.

Théorème de Thalès

Dans un triangle $ABC$ non plat, si une droite parallèle à $(BC)$ coupe $(AB)$ en $D$ et coupe $(AC)$ en $E$ alors les égalités suivantes sont vérifiées :

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$

Figures de l'espace

Nom	Représentation	Aire de la surface	Volume intérieur	Relations supplémentaires
Cube		$6c^2$	$c^3$	$𝒟=c\sqrt{3}$
Pavé droit		$2(ab+ah+bh)$	$abh$	$𝒟=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$
Prisme droit	B : aire de chaque base P : périmètre de chaque base h : hauteur du prisme	extrémités : $2\times B$ surface latérale : $Ph$	$ℬ\times h$
Cylindre de révolution		extrémités : $2\times \pi r^2$ surface latérale : $2\pi rh$ aire totale : $2\pi r(h+r)$.	$\pi r^{2}h$
Pyramide			$\frac{1}{3}ℬ\times h$
Tétraèdre régulier		$a^2\sqrt{3}$	$\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$	$h=a\sqrt{\frac{2}{3}}$
Cône de révolution		base : $\pi r^2$ surface latérale : $S=\pi rR=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$S=(\pi -\frac{\theta }{2})R^2$ $\theta =2\pi (1-\frac{r}{R})$ $h=R\sqrt{\frac{\theta }{2\pi }(2-\frac{\theta }{2\pi })}$
Sphère		$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$
Calotte sphérique		base : $\pi a^2$ surface courbe : $S=2\pi rh=\pi d^2$	$\frac{1}{6}\pi h(3a^2+h^2)$	$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$ $S=4\pi r^2{\sin }^2\frac{r^{\prime }}{2r}$ pour $r^{\prime }\ll r$, $S\approx \pi r{\text{'}}^2(1-\frac{1}{12}\frac{r{\text{'}}^2}{r^2})$
Ellipsoïde		(non algébrique)	$\frac{4}{3}\pi abc$
Tore		$S=2\pi r.2\pi R=4{\pi }^{2}rR$	$V=\pi r^2.2\pi R=2{\pi }^2{r}^{2}R$