Calotte sphérique

Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan

En géométrie, une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique.

Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on obtient un hémisphère.

Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides :

• le secteur sphérique, portion de boule découpée par un cône
• le segment sphérique à une base, portion de boule découpée par un plan.

Dimensions

Dimensions d'une calotte sphérique

Il existe plusieurs dimensions permettant de caractériser une calotte sphérique:

• sa hauteur : Modèle:Mvar
• le rayon de son cercle de base (Modèle:Mvar): Modèle:Mvar
• le rayon de la sphère d'origine (Modèle:Mvar) : Modèle:Mvar
• l'angle au centre entre le rayon passant par le pôle Modèle:Mvar de la calotte et un rayon passant par le cercle de base : Modèle:Mvar

La connaissance de deux de ces dimensions permet de déterminer, à une exception près, les deux autres :

Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar
Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$	$\theta =2\arctan (h/a)$
Modèle:Mvar	$a=\sqrt{h(2r-h)}$	Modèle:Mvar	$\theta ={\text{versin}}^{-1}(h/r)$ (*)
$\begin{array}{cc}h& =r\text{versin}\theta \\ & =r(1-\cos \theta )\end{array}$	$a=r\sin \theta$	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar
$h=r\pm \sqrt{r^2-a^2}$	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	$\begin{array}{cc}\theta & =\arcsin (a/r)\\ & ou\\ & =\pi -\arcsin (a/r)\end{array}$

Aire

L'aire d'une calotte sphérique s'exprime, en fonction de ses dimensions, par les formules suivantes :

• $S=2\pi rh$
• $S=\pi (a^2+h^2)$
• $S=2\pi r^2(1-\cos \theta )$

On retrouve ici facilement l'aire d'un hémisphère $S=2\pi r^2$ et d'une sphère $S=4\pi r^2$.

L'aire d'une calotte sphérique est liée à l'angle solide $\mathrm{\Omega }$ interceptant le cercle (Modèle:Mvar) par la formule : Modèle:Retrait

Centre de gravité

Comme dans tout surface de révolution, le centre de gravité Modèle:Mvar d'une calotte sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP) Il est de plus situé au milieu de la flèche.

Segment sphérique à une base

C'est la portion de boule découpée par un plan. Son volume est donné par les formules:

• $V=\pi h^2(r-\frac{h}{3})$
• $V=\frac{\pi }{6}(3a^2+h^2)h$

Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité Modèle:Mvar du segment sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Sa distance du pôle Modèle:Mvar est donnée par:

• Modèle:Sfn $PG=\frac{8r-3h}{12r-4h}h$
• $PG=\frac{4a^2+h^2}{6a^2+2h^2}h$

Sa distance au centre est donc de : Modèle:Retrait

Calcul intégral

Surface

Courbe engendrant, par rotation, la calotte sphérique

En considérant que la surface s'obtient en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la portion de cercle d'équation Modèle:Retrait on peut utiliser la formule de calcul d'une surface de révolution Modèle:Retrait On obtient alors : Modèle:Retrait

On peut aussi travailler en coordonnées sphériques (rayon, colatitude Φ, longitude φ) en intégrant l'élément de surface pour une sphère : Modèle:Retrait On obtient alors: Modèle:Retrait

Volume

Si on considère que le segment sphérique est engendré par la rotation du triangle curviligne O(0;0) H(h,0) M(h, f(h)), on peut utiliser le calcul de volume d'un solide de révolution: Modèle:Retrait

Centre de gravité

Pour trouver l'abscisse du centre de gravité de la calotte sphérique engendrée par la rotation de la portion de cercle d'équation Modèle:Retrait on peut calculer le moment Modèle:Mvar de la calotte par rapport au plan d'équation Modèle:Formule à l'aide de la formule: Modèle:Retrait On obtient alors : Modèle:Retrait Le centre de gravité est bien à une distance du pôle Modèle:Mvar égale à : Modèle:Retrait

Pour le centre de gravité du segment sphérique, on calcule le moment Modèle:Mvar du segment par rapport au plan d'équation Modèle:Formule à l'aide de la formuleModèle:Sfn: Modèle:Retrait On obtient alors : Modèle:Retrait Le centre de gravité du segment sphérique est alors à une distance du pôle Modèle:Mvar égale à : Modèle:Retrait

Voir aussi

Articles connexes

• Sphère
• Zone sphérique
• Segment sphérique
• Secteur sphérique

Liens externes

• Modèle:MathWorld