Secteur sphérique

Extraction (en bleu) d'un secteur sphérique

En géométrie, un secteur sphérique est une portion de sphère - plus exactement de boule - délimitée par un demi-cône de révolution dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère.

C'est un solide de révolution dont la frontière est constituée d'une portion de cône et d'une calotte sphérique.

Plus précisément, le demi-cône découpe dans la boule deux solides, l'un, convexe, dont le volume est inférieur à une demi-boule est appelé secteur mineur, l'autre est appelé secteur majeur. C'est le secteur mineur que l'on appelle communément secteur sphérique.

Ne pas confondre: les vannes dites à secteur sphérique en robinetterie sont en réalité composées à l'aide d'une portion de sphère creuse proche d'un fuseau sphérique.

Volume

Secteur sphérique (en bleu) en perspective et en vue de face

Si on note Modèle:Mvar le rayon de la sphère et Modèle:Mvar la hauteur de la calotte sphérique, le volume du secteur sphérique est: Modèle:Retrait

Ce volume peut également s'exprimer à l'aide de l'angle au sommet φ du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices) : Modèle:Retrait

Enfin, ce volume est entièrement déterminé par le rayon Modèle:Mvar de la sphère et l'aire Modèle:Mvar de la calotte sphérique par la formule: Modèle:Retrait

Il est lié à l'angle solide $\mathrm{\Omega }$ du cône par la formule : Modèle:Retrait

Le théorème de Guldin permet de relier ce volume avec l'aire Modèle:Mvar et le centre de gravite Modèle:Mvar du secteur circulaire engendrant par rotation le secteur sphérique. Si Modèle:Mvar est la distance entre Modèle:Mvar et l'axe de rotation on a : Modèle:Retrait avec Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Ce qui donne : Modèle:Retrait

Aire

L'aire de la surface enveloppant le secteur sphérique est constituée de la somme de l'aire de la surface conique et de l'aire Modèle:Mvar de la calotte sphérique: Modèle:Retrait où Modèle:Mvar est le rayon du cercle faisant la jonction entre les deux surfaces.

Centre de gravité

Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité Modèle:Mvar d'un secteur sphérique est situé sur l'axe de révolution. Il est à une distance du centre Modèle:Mvar donnée par la formule: Modèle:Retrait

Calcul intégral

En coordonnées sphériques, le volume peut être calculé en intégrant l'élément de volume Modèle:Retrait avec

• $\theta$ variant de 0 à Modèle:Math
• $\rho$ variant de 0 à Modèle:Mvar
• $\varphi$ variant de 0 à Modèle:Mvar où Modèle:Mvar est l'angle au sommet du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices)

$V=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \times \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sin \varphi d\varphi \times \underset{0}{\overset{r}{\int }}{\rho }^{2}d\rho =2\pi \times {[\cos \varphi ]}_0^{\phi }\times {\left[\frac{{\rho }^3}{3}\right]}_0^r=\frac{2\pi r^3}{3}(1-\cos \phi ).$

L'intégrale a pu être décomposée en un produit de trois intégrales car l'intégrande est composé d'un produit de trois termes contenant chacun une seule variable.

Voir aussi

Article connexe

• Sphère
• Zone sphérique
• Calotte sphérique
• Segment sphérique

Liens externes

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