Convergence inconditionnelle

En mathématiques, une série converge inconditionnellement si la série converge, quel que soit l'ordre des éléments. Par exemple, la série $\sum \frac{1}{2^n}$converge inconditionnellement car $1+1/2+1/4+1/8+\dots$ mais aussi n'importe quel autre ordre, comme $1/4+1/64+1+1/128+\dots$converge.

Définition

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et Modèle:Math une suite d'éléments de X. On dit que la série Modèle:Math converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente si, pour toute permutation Modèle:Math : ℕ → ℕ, la série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$ converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie.

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes :

Modèle:Démonstration/début Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :

$\mathrm{\forall }J\text{ fini }\subset \mathbb{N}\mathrm{\exists }K(J)\text{ fini }\subset \mathbb{N}K(J)\cap J=\varnothing \text{ et }\sum _{k\in K(J)}{x}_k\notin V.$

En posant JModèle:Ind = ∅ et, pour tout entier naturel n, JModèle:Ind = JModèle:Ind ∪ K(JModèle:Ind), on obtient une partition de ℕ par les K(JModèle:Ind). Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque K(JModèle:Ind) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy. Modèle:Démonstration/fin

Autres caractérisations

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre comme le lemme 1 :

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Page h
• Théorème d'Orlicz-Pettis
• Théorème de réarrangement de Riemann
• Théorème de réarrangement de Steinitz

Bibliographie

Modèle:En Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Modèle:Lang, 2000 Modèle:ISBN