Théorème de Jung

En géométrie, le théorème de Jung fournit une inégalité entre le diamètre d'un ensemble de points d'un espace euclidien et celui de la boule englobante minimum de cet ensemble. Il porte le nom du mathématicien allemand Heinrich Jung, qui a obtenu cette inégalité Modèle:Nobr.

Énoncé

Toute partie bornée non vide Modèle:Mvar de l'espace euclidien de dimension Modèle:Mvar est incluse dans une unique boule fermée de rayon minimal, et le diamètre Modèle:Mvar de cette boule est relié au diamètre

$d_X=\underset{M,N\in X}{\sup }MN$

de la partie Modèle:Mvar par les inégalités :

$d_X⩽d⩽d_{max}=d_X\sqrt{\frac{2n}{(n+1)}}.$

Le cas d'égalité dans l'inégalité de droite est atteint par le simplexe régulier de dimension Modèle:Mvar.

Théorème de Jung dans le plan

Le cas le plus commun du théorème de Jung est celui du plan euclidien avec Modèle:Mvar = 2. Dans ce cas, le théorème assure qu'il existe un cercle entourant tous les points dont le diamètre satisfait

$d⩽\frac{2}{\sqrt{3}}{d}_X<1,155.d_X$

Le cas d'égalité est obtenu pour un triangle équilatéral.

Démonstration

Existence d'une boule de rayon minimum : l'application qui, à tout point Modèle:Mvar, associe la borne supérieure des distances de Modèle:Mvar aux points de Modèle:Mvar, est continue (car 1-lipschitzienne) et tend vers Modèle:Math quand Modèle:Mvar s'éloigne à l'infini, donc elle atteint son minimum Modèle:Mvar, en un point Modèle:Mvar, centre d'une telle boule de diamètre $d=2r$.

Unicité de Modèle:Mvar : se déduit du théorème de la médiane.

Majoration : d'après le théorème de Helly, il suffit de la démontrer dans le cas où Modèle:Mvar est fini et de cardinal inférieur ou égal à Modèle:Mvar + 1. Notons alors

$M_0{,}_{\cdots },M_m$

(

$m⩽n$

) les points de Modèle:Mvar dont la distance au centre Modèle:Mvar vaut exactement Modèle:Mvar. On se convainc rapidement par un argument variationnel que Modèle:Mvar appartient à leur enveloppe convexe. Il existe donc des réels

${\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_m⩾0\text{ tels que }\sum {\lambda }_i=1\text{ et }C=\sum {\lambda }_i{M}_i.$

Pour chaque indice Modèle:Mvar de 0 à Modèle:Mvar on a alors :

$(1-{\lambda }_k)d_X^2=\sum _{i\ne k}{\lambda }_i{d}_X^2⩾\sum _{i\ne k}{\lambda }_i(M_k{M}_i{)}^2=\sum _{i=0}^m{\lambda }_i\stackrel{2}{\overrightarrow{M_k{M}_i}}=\sum _{i=0}^m{\lambda }_i(2r^2-2\overrightarrow{C{M}_k}\cdot \overrightarrow{C{M}_i})=2r^2=d^2/2$

d'où, en sommant :

$m{d}_X^2⩾(m+1)d^2/2\text{ donc }\frac{d_X^2}{d^2}⩾2(1+\frac{1}{m})⩾2(1+\frac{1}{m}),$

ce qui conclut.

Le simplexe régulier de dimension Modèle:Mvar a pour diamètre la longueur Modèle:Mvar de ses côtés. Sa sphère circonscrite a pour diamètre $a\sqrt{\frac{2n}{(n+1)}}$ qui est aussi le diamètre de sa boule englobante minimale, d'où l'égalité dans l'inégalité.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage (pour une partie finie du plan)

Voir aussi

• Le théorème de Blashke qui affirme que dans un convexe du plan de plus petite largeur $l$ le disque de plus grand diamètre inclus a un diamètre $⩾2l/3$.
• Sphère englobante
• Disque minimum
• Problème du recouvrement universel de Lebesgue