Théorème de la médiane

En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, ou formules de la médiane, désigne les trois identités suivantes^[1], sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :

\begin{matrix} A B^{2} + A C^{2} & = \frac{1}{2} B C^{2} + 2 A I^{2}, \\ \vec{A B} \cdot \vec{A C} & = A I^{2} - \frac{1}{4} B C^{2}, \\ | A B^{2} - A C^{2} | & = 2 B C \times I H . \end{matrix}

Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius

Modèle:Théorème

Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.

Démonstration par le produit scalaire

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ , par la relation de Chasles : Modèle:Retrait On développe : Modèle:Retrait Le point I est milieu de [BC], donc $\vec{I B}$ et $\vec{I C}$ sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et ICModèle:2 = IBModèle:2 donc Modèle:Retrait

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

Modèle:Retrait

On en déduit :

Modèle:Retrait

On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,

Modèle:Retrait

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de $A B^{2} + A C^{2}$ , la sous-expression Modèle:Retrait

En remplaçant, on obtient : Modèle:Retrait

Généralisation à toute cévienne

La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

Modèle:Énoncé

Modèle:Démonstration

Deuxième théorème de la médiane

Modèle:Théorème

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ que ci-dessus : Modèle:Retrait