Intégrale de Fresnel

Modèle:Voir homonymes L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de Fresnel

Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées.

Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\mathrm{i}}{2}.$

Convergence de l'intégrale

Le calcul explicite Modèle:Infra montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :

• par le changement de variable Modèle:Math, la convergence de $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t$ équivaut à celle de $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}s}}{s^{1/2}}\mathrm{d}s$ ;
• d'après la règle d'Abel, pour tout Modèle:Math, l'intégrale $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}s}}{s^{\lambda }}\mathrm{d}s$ converge.

Définition

Les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math normalisées.

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.$

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument Modèle:Math dans les intégrales définissant Modèle:Math et Modèle:Math. Les intégrales sont alors multipliées par $\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ et les intégrandes sont divisés par Modèle:Mvar.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en Modèle:Math des deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar non normalisées.

Calcul de l'intégrale de Fresnel

Parmi les diverses méthodes, en voici deux : la première utilise la technique de Feynman, la seconde repose sur les intégrales de contour.

Par une intégrale à paramètre

On considère pour tout réel Modèle:Mvar la fonction de ℝ⁺ dans ℂ définie par

$u\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{-(u^2+\mathrm{i})t^2}}{u^2+\mathrm{i}}.$

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ⁺ et majorée en module par $u\mapsto \frac{1}{u^2}$, qui est intégrable en Modèle:Math.

Il est donc possible de poser Modèle:Mvar, la fonction définie pour tout Modèle:Mvar par l'intégrale à paramètre suivante :

$f(t)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-(u^2+\mathrm{i})t^2}}{u^2+\mathrm{i}}\mathrm{d}u.$

On montre que Modèle:Mvar est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe CModèle:1 sur ℝ⁺* avec

$\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{+*},f^{\prime }(t)=-2t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2{t}^2}\mathrm{d}u.$

En simplifiant l'expression de Modèle:Mvar et en l'intégrant de 0 à Modèle:Math, on en déduit que

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{u^2+\mathrm{i}}\mathrm{d}u.$

On se sert alors de l'expression $\frac{1}{u^2+\mathrm{i}}$ sous la forme $\frac{u^2-\mathrm{i}}{u^4+1}$ et d'une intégrale classique :

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^2}{u^4+1}\mathrm{d}u=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{u^4+1}\mathrm{d}u=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$

pour en déduire que

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\mathrm{i}}{2}$.

Par intégration complexe

Il est aussi possible d'intégrer $f(z)=\exp (-z^2)$ sur le bord du secteur circulaire $T_R$ de sommets $0,R,\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\mathrm{i})R$ puis de faire tendre $R$ vers l'infini.

Contour utilisé pour le calcul.

$\oint f(z)\mathrm{d}z=\underset{I_1(R)}{\underbrace{\underset{0}{\overset{R}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}}+\underset{I_2(R)}{\underbrace{\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\mathrm{i}R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}{\mathrm{e}}^{-R^2\exp (2\mathrm{i}t)}\mathrm{d}t}}-\underset{I_3(R)}{\underbrace{\underset{0}{\overset{R}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t}}$

Intéressons nous d'abord à Modèle:Math.

$|I_2(R)|\le \underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}R{\mathrm{e}}^{-R^2\cos (2t)}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{R}{2}{\mathrm{e}}^{-R^2\cos u}\mathrm{d}u$

après un changement de variable Modèle:Math. Or, sur $[0,\frac{\pi }{2}]$, la concavité de Modèle:Math donne

$\mathrm{\forall }u\in [0,\frac{\pi }{2}],1-\frac{2}{\pi }u\le \cos u\le 1$

donc

$\mathrm{\forall }u\in [0,\frac{\pi }{2}],{\mathrm{e}}^{-R^2\cos u}\le {\mathrm{e}}^{R^2(\frac{2}{\pi }u-1)}$

donc

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{R}{2}{\mathrm{e}}^{-R^2\cos u}\mathrm{d}u\le \frac{\pi }{4R}(1-{\mathrm{e}}^{-R^2})$

Le théorème des gendarmes donne ainsi $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_2(R)=0$. Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_1(R)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$. De plus, $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_3(R)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t$.

La fonction Modèle:Mvar est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que $\oint f(z)\mathrm{d}z=0.$

Dès lors,

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

donc

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\mathrm{i}}{2}$.

Remarque

Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe Modèle:Mvar dont la partie réelle appartient à Modèle:Math,

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\beta }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{t}^2}\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}(\beta +1)}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\beta +1}{2}\right)}{2},$

où Modèle:Math désigne la fonction gamma. En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour $\mathrm{R}\mathrm{e}(\beta )\in ]-1,1[$, ce qui, par changement de variable Modèle:Supra, équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy.

Articles connexes

• Clothoïde
• Théorie de la diffraction
• Diffraction de Fresnel